耿云海，陳炳龍，梁海朝

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，150080哈爾濱；2.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，100076北京）

改進(jìn)Twisting算法的相對(duì)位姿耦合控制

耿云海1，陳炳龍1，梁海朝2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，150080哈爾濱；2.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，100076北京）

為實(shí)現(xiàn)對(duì)非合作目標(biāo)航天器進(jìn)行在軌服務(wù)，將Twisting算法與線性補(bǔ)償項(xiàng)相結(jié)合，設(shè)計(jì)相對(duì)位置與姿態(tài)耦合的二階滑?？刂破?以航天器對(duì)接端口間耦合相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)兩種滑模平面的改進(jìn)Twisting控制器.選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)，證明所設(shè)計(jì)的改進(jìn)Twisting控制器對(duì)有界干擾具有有限時(shí)間收斂的特性，并估計(jì)出收斂時(shí)間的上界.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)仿真，將其與標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的二階滑?？刂破鲗?duì)模型不確定性及有界干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，并能夠有效抑制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的震顫.

航天器在軌服務(wù)；Twisting算法；線性補(bǔ)償；滑模平面；嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)

眾所周知，真實(shí)物理系統(tǒng)中含有不確定性、空間環(huán)境中存在擾動(dòng)作用，這些因素使得控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)變得更加復(fù)雜.針對(duì)這類問題，發(fā)展出自適應(yīng)控制［1-2］、魯棒控制［3-4］、滑模控制［5-7］等方法，抑制不確定性及干擾.其中，自適應(yīng)控制通過增加控制器參數(shù)、動(dòng)態(tài)計(jì)算控制器的增益，使系統(tǒng)對(duì)不確定性及干擾具有一定的魯棒性；但計(jì)算量隨著參數(shù)維數(shù)的增加而變大［8］.魯棒控制算法則通過擴(kuò)展含有不確定性的狀態(tài)變量，利用增廣系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器來增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)不確定性的魯棒性；但隨著增廣變量的增加計(jì)算量也隨之加大.文獻(xiàn)［9］建立了增廣狀態(tài)的系統(tǒng)方程，基于航天器質(zhì)心間相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系設(shè)計(jì)魯棒控制器，但該相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型屬于點(diǎn)質(zhì)量模型，忽略了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)相對(duì)平動(dòng)的耦合作用.

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法獨(dú)立于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，且對(duì)已知界限的不確定性及干擾具有魯棒性.利用已知不確定性及擾動(dòng)的上確界設(shè)計(jì)滑模平面，將系統(tǒng)狀態(tài)約束在滑模平面內(nèi).當(dāng)系統(tǒng)軌跡運(yùn)動(dòng)到滑模平面以后，系統(tǒng)響應(yīng)將不受不確定性和擾動(dòng)的影響，只由滑模平面唯一決定.因此，滑?？刂破鲗?duì)有界的不確定性及干擾具有較強(qiáng)的魯棒性.但標(biāo)準(zhǔn)滑?？刂破髦贿m用于系統(tǒng)輸出的相對(duì)階為1的情況［10］，且在高頻開關(guān)切換下產(chǎn)生震顫效應(yīng).為降低震顫現(xiàn)象，文獻(xiàn)［11］提出高階滑模算法，在保證系統(tǒng)特性的基礎(chǔ)上，通過改變間斷面附近區(qū)域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)模型來避免中斷.高階滑模算法繼承了標(biāo)準(zhǔn)滑?？刂破鞯膬?yōu)點(diǎn)，并且利用狀態(tài)偏差對(duì)時(shí)間的高階導(dǎo)數(shù)解決了相對(duì)階的限制，既有效地減弱震顫，又改善開關(guān)延遲和離散測(cè)量對(duì)控制精度產(chǎn)生的影響［12］.然而，高階滑?？刂破魉璧男畔⒘侩S滑模相對(duì)階數(shù)的增加而增大（r階滑模控制器需要計(jì)算s、˙s、…、s（r-1））．具備有限時(shí)間收斂特性的任意階滑?？刂破魅匀惶幱诶碚撗芯浚?3］，但2階滑?？刂破饕呀?jīng)成功解決了現(xiàn)實(shí)問題.被廣泛應(yīng)用的2階滑模算法有：Twisting［14-15］、Super Twisting［16-17］和終端滑模算法［18］.文獻(xiàn)［14］利用嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)證明了標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的收斂特性.將其與線性控制算法進(jìn)行對(duì)比：二階滑模算法對(duì)距離原點(diǎn)較近的有界干擾具有強(qiáng)魯棒性；線性算法處理距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的有界擾動(dòng)能力更強(qiáng)［19］.因此，在Twisting算法中加入線性補(bǔ)償項(xiàng)能有效改善閉環(huán)系統(tǒng)特性，減弱執(zhí)行機(jī)構(gòu)的震顫效應(yīng).

本文考慮相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)相對(duì)平動(dòng)的耦合作用，利用文獻(xiàn)［20-21］建立的航天器非質(zhì)心點(diǎn)間耦合動(dòng)力學(xué)模型，將標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制與線性算法相結(jié)合，以兩種滑模平面分別設(shè)計(jì)含線性補(bǔ)償項(xiàng)的改進(jìn)Twisting控制器，并選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)證明其對(duì)有界干擾具有有限時(shí)間收斂的特性.利用數(shù)學(xué)仿真，將其與標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制器進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所建立的姿軌耦合控制器對(duì)有界干擾具有更強(qiáng)的魯棒性，可以有效減弱執(zhí)行機(jī)構(gòu)震顫效應(yīng)，提高對(duì)非合作目標(biāo)航天器進(jìn)行在軌服務(wù)的可靠性.

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1 兩航天器對(duì)接端口間相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

假設(shè)干擾加速度ad是連續(xù)可導(dǎo)的有界慢變函數(shù)，干擾力矩Td［22］、重力梯度力矩Tg分別為如下形式：

其中：ad0是干擾加速度的初值，kd為常數(shù)；ωo為軌道角速度的模；r是地心矢徑的模，Z0為單位地心矢徑．

2 二階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制器

令滑模狀態(tài)為s，記x=s、y=˙s．閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程形式如下：

其中｜μ｜≤D．

由Twisting算法可知，當(dāng)α-D＞β＞D成立時(shí)系統(tǒng)（4）可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)．

記期望狀態(tài)為xd，狀態(tài)偏差e=x-xd．取滑模平面s=e，由Twisting算法設(shè)計(jì)式（1）的姿軌耦合控制器T1形式如下：

其中，α1、β1為主對(duì)角線矩陣．由式（2）、式（3）及擾動(dòng)力矩Td、Tg的形式可知，δ連續(xù)可導(dǎo)且有界．

取滑模平面s=˙e+λe，λ為正常數(shù)組成的主對(duì)角線矩陣，由Twisting算法設(shè)計(jì)式（1）的姿軌耦合控制器T2形式如下：

記X=s、Y=˙s，得到閉環(huán)系統(tǒng)方程為

因此，｜Δi｜≤χi，當(dāng)α2i-χi＞β2i＞χi時(shí)系統(tǒng)（6）也可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)．其中，

2.2 改進(jìn)Tw isting控制器

為改變閉環(huán)系統(tǒng)特性，將Twisting算法與線性補(bǔ)償項(xiàng)相結(jié)合，得到如下閉環(huán)系統(tǒng)方程：

選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)如下：

對(duì)W（x，y）進(jìn)行放大處理得

其中，

對(duì)W求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)得

其中，

求解如下微分方程：

因此，系統(tǒng)（8）收斂到原點(diǎn)的時(shí)間上限Tf為

2.3 改進(jìn)的姿軌耦合控制器

取滑模平面為s=e時(shí)，設(shè)計(jì)基于改進(jìn)Twisting算法的姿軌耦合控制器M1，形式如下：

令X=s，Y=˙s；則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

由2.1節(jié)可知，當(dāng)M1i-Εi＞M2i＞Εi，M3i，M4i＞0時(shí)系統(tǒng)（12）在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)．

取滑模平面為s=˙e+λe時(shí)，設(shè)計(jì)基于改進(jìn)Twisting算法的姿軌耦合控制器M2形式如下：

令X=s，Y=˙s，Δ=˙δ；則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

由2.1節(jié)可知，當(dāng)K1i-χi＞K2i＞χi，K3i，K4i＞0時(shí)系統(tǒng)（14）在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)．

分析上述控制的設(shè)計(jì)過程：M1控制器直接抑制有界干擾，M2控制器則通過抑制干擾對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)來提高魯棒性．因此，M1對(duì)相對(duì)位置的控制精度高于M2，而M2對(duì)相對(duì)速度的控制精度高于M1．

3 數(shù)學(xué)仿真

3.1 仿真參數(shù)

S與T的軌道六根數(shù)如表1所示，兩航天器質(zhì)量為：ms=240 kg，mt=320 kg；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

對(duì)接端口位置矢量在各自體系下表示為

表1 試件主要參數(shù)S和T的軌道參數(shù)

初始姿態(tài)四元數(shù)和姿態(tài)角速度的初值為

采用雙組元軌道和姿態(tài)發(fā)動(dòng)機(jī)做為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，控制力與力矩的輸出限制分別為amax=0.2 m／s2和Tmax=0.8 N·m.干擾加速度為：

假設(shè)相對(duì)位置、相對(duì)速度、相對(duì)姿態(tài)角速度均由狀態(tài)估計(jì)器給出，仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖球?yàn)證所設(shè)計(jì)姿軌耦合控制器對(duì)有界干擾的魯棒性，因而不考慮敏感器測(cè)量誤差影響.分別設(shè)計(jì)控制器T1、T2、M1、M2使與實(shí)現(xiàn)安全對(duì)接，具體參數(shù)如表2所示．

表2 控制器參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果

選取不同形式的干擾加速度分別進(jìn)行仿真，將150 s到200 s仿真時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值與其三倍標(biāo)準(zhǔn)方差之和定義為標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的控制精度；將50 s到100 s仿真時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值與其三倍標(biāo)準(zhǔn)方差之和定義為改進(jìn)Twisting算法的控制精度.由于M1，M2對(duì)不同形式干擾的控制效果相似，這里僅給出有界線性增長(zhǎng)干擾作用下的仿真結(jié)果，圖2～6為M1控制效果，圖7～11為M2控制效果．計(jì)算T1、M1與T2、M2的控制精度如表3所示．

圖2 M1在有界線性增加干擾作用下的相對(duì)平動(dòng)關(guān)系曲線（Fbs）

圖中，x、y、z為對(duì)接端口間相對(duì)位置分量，Vx、Vy、Vz為對(duì)接端口間相對(duì)速度分量；φr、θr、ψr為相對(duì)姿態(tài)角分量；ωrx、ωry、ωrz為相對(duì)姿態(tài)角速度分量；｜ρij｜為對(duì)接端口之間的距離，｜ρ00｜為航天器質(zhì)心間距離；Fcx、Fcy、Fcz為姿軌發(fā)動(dòng)機(jī)輸出控制力分量；Tcx、Tcy、Tcz為姿軌發(fā)動(dòng)機(jī)輸出控制力矩分量；相對(duì)姿態(tài)角速度分量；Sx、Sy、Sz是由相對(duì)平移關(guān)系組成的滑模面分量，Sq1、Sq2、Sq3是由相對(duì)四元數(shù)矢部組成的滑模面分量．

圖3 M1在有界線性增加干擾作用下的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系曲線（Fbt）

圖4 M1在有界線性增加干擾作用下的相對(duì)距離關(guān)系曲線

圖5 M1在有界線性增加干擾作用下的執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出關(guān)系曲線（Fbs）

圖6 M1在有界線性增加干擾作用下的控制器滑模平面

圖7 M2在有界線性增加干擾作用下的相對(duì)平動(dòng)關(guān)系曲線（Fbs）

圖8 M2在有界線性增加干擾作用下的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系曲線（Fbt）

圖9 M2在有界線性增加干擾作用下的相對(duì)距離關(guān)系曲線

圖10 M2在有界線性增加干擾作用下的執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出關(guān)系曲線（Fbs）

圖11 M2在有界線性增加干擾作用下的控制器滑模平面

T1與M1仿真結(jié)果對(duì)比可見，含線性補(bǔ)償項(xiàng)的改進(jìn)Twisting控制器M1對(duì)有界干擾的抑制能力更強(qiáng)，收斂速度更快．對(duì)比表3的計(jì)算結(jié)果，M1對(duì)各個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的控制精度以及消除執(zhí)行機(jī)構(gòu)震顫效應(yīng)等方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制器T1．類似地，T2與M2仿真結(jié)果對(duì)比后可以得出相似結(jié)論：M2對(duì)有界干擾的抑制能力更強(qiáng)，收斂速度更快，且M2的控制精度及消除執(zhí)行機(jī)構(gòu)震顫效應(yīng)等方面也都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于T2．綜上所述，含線性補(bǔ)償項(xiàng)的M1、M2控制器可以有效抑制不確定性和有界干擾，使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性；同時(shí)，顯著改善了執(zhí)行機(jī)構(gòu)因高頻切換而產(chǎn)生的震顫效應(yīng)，提高了標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的性能，同時(shí)繼承了滑?？刂破髟谟邢迺r(shí)間收斂到平衡點(diǎn)的特性．

對(duì)比控制器M1、M2的仿真結(jié)果可知，M1對(duì)相對(duì)位置的控制精度高于M2，而對(duì)相對(duì)速度的控制精度低于M2．由此證明了2.3節(jié)對(duì)控制器的特性分析：控制器M1抑制式（12）中的有界干擾δ，直接針對(duì)δ進(jìn)行補(bǔ)償；M2則通過抑制式（14）中有界的干擾變化率Δ來補(bǔ)償有界干擾δ對(duì)系統(tǒng)的影響．

3.3 參數(shù)不確定性的魯棒性驗(yàn)證

選取轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)，對(duì)Js、Jt進(jìn)行正負(fù)拉偏10%，利用控制器M1、M2分別進(jìn)行仿真，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的二階滑?？刂破鲗?duì)模型參數(shù)不確定性的魯棒性.計(jì)算70 s到100 s內(nèi)的控制精度，如表4～7所示.由仿真結(jié)果可見：M1對(duì)相對(duì)位置和姿態(tài)角的控制精度數(shù)量級(jí)不變，相對(duì)速度和姿態(tài)角速度精度有所降低；M2與之相反，相對(duì)位置和姿態(tài)角的控制精度有所下降，但仍比標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的精度高一或兩個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)速度和姿態(tài)角速度的控制精度數(shù)量級(jí)不變.由此可見，本文所設(shè)計(jì)的帶線性補(bǔ)償器的二階滑模控制器對(duì)模型參數(shù)不確定性有較強(qiáng)的魯棒性.

表3 控制器精度對(duì)比

表4 Js+10%，Jt+10%的控制精度

表5 Js+10%，Jt-10%的控制精度

表6 Js-10%，Jt+10%的控制精度

表7 Js-10%，Jt-10%的控制精度

綜上所述，仿真結(jié)果證明包含線性補(bǔ)償項(xiàng)的改進(jìn)Twisting控制器對(duì)有界干擾及模型參數(shù)不確定性具有強(qiáng)魯棒性，并且達(dá)到較高的控制精度，足以保證與非合作目標(biāo)航天器對(duì)接端口間安全對(duì)接.

4 結(jié) 論

1）考慮相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)相對(duì)平動(dòng)的耦合作用，以航天器對(duì)接端口間耦合相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，利用兩種形式的滑模平面分別設(shè)計(jì)含線性補(bǔ)償項(xiàng)的改進(jìn)Twisting控制器，實(shí)現(xiàn)航天器相對(duì)位置與姿態(tài)協(xié)同控制，進(jìn)而滿足對(duì)失控的非合作目標(biāo)航天器進(jìn)行在軌服務(wù)的要求.

2）選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)，證明所設(shè)計(jì)的含有線性補(bǔ)償項(xiàng)的改進(jìn)Twisting控制器在有界干擾作用下不僅是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，還具備在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的特性.此外，給出了通過求解李雅普諾夫函數(shù)計(jì)算收斂時(shí)間上界的方法.

3）利用MATLAB-Simulink建立對(duì)比仿真，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的改進(jìn)Twisting控制器不但對(duì)有界不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，并且能夠有效抑制有限速率線性增長(zhǎng)的和周期性的慢變有界干擾，仿真結(jié)果證明該改進(jìn)Twisting控制器可以顯著減弱執(zhí)行機(jī)構(gòu)因高頻切換所產(chǎn)生的震顫效應(yīng).

后期的工作將在本文的基礎(chǔ)上，圍繞干擾及不確定性的形式深入研究減弱滑?？刂破鲌?zhí)行機(jī)構(gòu)震顫效應(yīng)的方法，結(jié)合自適應(yīng)控制思想設(shè)計(jì)變?cè)鲆娴淖赃m應(yīng)相對(duì)位姿耦合控制算法.

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（編輯張 宏）

Relative position and attitude coupled control based on modified tw isting algorithm

GENG Yunhai1，CHEN Binglong1，LIANG Haizhao2
（1.Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China；2.Beijing Institute of Space Long March Vehicle，100076 Beijing，China）

The relative position and attitude coupled second-order slidingmode controller is proposed by combining twisting algorithm with linear compensator for on-orbit servicing to a non-cooperative target spacecraft.On the basis of a coupled relativemotion model between docking ports on two spacecrafts，themodified twisting controllerswith linear compensation items are designed by using two different sliding surfaces.A strict Lyapunov function is proposed to prove that the modified twisting controllers have the property of finite time convergence for bounded perturbations and the upper bound for the time convergence is estimated.Simulation results are presented to validate strong robustness of the proposed second-order controllers formodel uncertainties and limited perturbationswith the comparison with the standard twisting algorithm.The chattering alleviation and attenuation is also achieved in actuatingmechanism.

spacecrafton-orbit servicing；twisting algorithm；linear compensation；sliding surface；strict Lyapunov function

V448.2

：A

：0367-6234（2015）11-0006-09

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.11.002

2014-09-26.

耿云海（1970—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

陳炳龍，chenbinglonghit＠163.com.