李艷輝，劉 暢

（東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，大慶 163318）

網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的魯棒H∞濾波

李艷輝，劉 暢

（東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，大慶 163318）

以航天器空間交會(huì)對(duì)接為背景，探討了其網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的魯棒H∞濾波問(wèn)題?；趥鹘y(tǒng)的C-W方程，重新構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。選取時(shí)滯相關(guān)Lyapunov函數(shù)并結(jié)合自由權(quán)矩陣處理方法，給出網(wǎng)絡(luò)化濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能的充分條件，進(jìn)而將濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為受線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化求解問(wèn)題。仿真表明，最劣情況下最優(yōu)的H∞擾動(dòng)抑制水平達(dá)到γ=1.4142，得到的相對(duì)位置和速度估計(jì)誤差分別為0.07與0.02，證明該算法是可行且有效的。

航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)；魯棒H∞濾波；線性矩陣不等式；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

交會(huì)對(duì)接技術(shù)是執(zhí)行航天器之間人員運(yùn)輸、裝備維修、物資交換等一系列空間任務(wù)的前提[1]。實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地獲取航天器之間的狀態(tài)信息是實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接的關(guān)鍵，因此，在狀態(tài)信息的計(jì)算過(guò)程中引入濾波算法用以消除或消弱噪聲的干擾尤為重要。

研究近距離航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，廣泛應(yīng)用Clohessy-Wiltshire方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述[2-4]?？紤]到通信網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于一些航天器底層控制系統(tǒng)中[5]，導(dǎo)致航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)模型存在不確定性，這種不確定性會(huì)限制濾波精度。因此，研究網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及濾波問(wèn)題具有實(shí)際意義。Kalman濾波算法是航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的研究中最為常用的一種方法[6-7]，但這類算法應(yīng)用的先決條件是系統(tǒng)模型精確已知且噪聲統(tǒng)計(jì)特性為嚴(yán)格的高斯過(guò)程。實(shí)際的交會(huì)過(guò)程往往不能滿足以上條件，從而嚴(yán)重影響了此類算法的精度甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散。為此，魯棒H∞濾波方法得到了廣泛研究并應(yīng)用于航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)中[8]。這種方法保證了濾波器對(duì)系統(tǒng)不確定性及非高斯噪聲的魯棒性能。當(dāng)系統(tǒng)模型存在不確定性且噪聲統(tǒng)計(jì)特性未知時(shí)，H∞濾波方法能夠?qū)崟r(shí)地估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)，這種特點(diǎn)使其在工程中得到了發(fā)展和應(yīng)用[9]。

本文討論了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的魯棒H∞濾波問(wèn)題?；贑-W方程描述的航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，重新建立網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用線性矩陣不等式處理方法，給出網(wǎng)絡(luò)化濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能的充分條件，以及濾波器的參數(shù)化表達(dá)形式。最后仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)建模

航天器軌道坐標(biāo)系如圖1所示，取OXYZ為參考坐標(biāo)系，O點(diǎn)定義為目標(biāo)航天器，OZ軸沿矢徑方向，OX軸位于軌道平面內(nèi)并指向航天器運(yùn)動(dòng)方向，OY軸垂直于目標(biāo)航天器所在軌道平面。

圖1 航天器軌道坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Schematic of spacecraft orbit coordinate systems

航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以用如下的C-W方程進(jìn)行描述：

式中：x、y、z是追蹤航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的位置分量；n是目標(biāo)航天器的軌道角速度；m是追蹤航天器的質(zhì)量；Ti(i=x，y，z )是追蹤航天器在各個(gè)坐標(biāo)軸的控制推力；vi(i=x，y，z )是追蹤航天器分別在3個(gè)坐標(biāo)軸上的擾動(dòng)。

鑒于空間的復(fù)雜環(huán)境等各種不確定因素導(dǎo)致目標(biāo)航天器的軌道角速度n無(wú)法實(shí)時(shí)精確的測(cè)量，綜上所述并結(jié)合式(1)，構(gòu)建具有不確定性的航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)模型：

假設(shè)不確定參數(shù)矩陣ΔA0(t)具有以下形式：

式中：H1、E1是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，反應(yīng)了不確定性的結(jié)構(gòu)信息；F(t)∈Ri×j是一個(gè)未知矩陣，滿足FT(t)F(t)≤I，?t≥0。

現(xiàn)考慮如下結(jié)構(gòu)的控制器：

本文研究航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的濾波問(wèn)題，設(shè)K為已知的控制器參數(shù)矩陣。則式(2)中x˙(t)可寫為

式中：Af、Bf和Lf是具有適當(dāng)維數(shù)的待求濾波器參數(shù)矩陣，xf(t )是濾波器的狀態(tài)向量，yf(t)是交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)的測(cè)量輸出，zf(t)是估計(jì)向量。

為了滿足工程實(shí)際的要求，考慮通信網(wǎng)絡(luò)的引入。網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的濾波基本結(jié)構(gòu)如圖2所示，數(shù)據(jù)包從傳感器出發(fā)，在傳輸過(guò)程中考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的影響,最后到達(dá)濾波器。

圖2 NCSs濾波示意圖Fig.2 Schematic diagram of NCSs filter

式中：ik∈{i1，i2，i3,…}?{1，2，3，…}表示傳感器采樣時(shí)刻序號(hào)。

定義d(t)=t-ikh，則有ikh=t-d(t)，式(7)可整理為

本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)可以描述為：對(duì)給定的標(biāo)量γ＞0，設(shè)計(jì)如(6)的濾波器，使濾波誤差系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定，并且從擾動(dòng)輸入ω(t)到估計(jì)誤差z(t)的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)不大于給定常數(shù)γ，即對(duì)任意外界擾動(dòng)成立。

2 H∞性能分析

本節(jié)選取時(shí)滯相關(guān)Lyapunov函數(shù)給出了濾波誤差系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件，所得到的條件在后續(xù)設(shè)計(jì)中具有關(guān)鍵作用。

定理1：考慮系統(tǒng)(2)，給定標(biāo)量γ＞0，α＞0，若存在適當(dāng)維數(shù)矩陣P=PT＞0，Q＞0，則M、N、R滿足如下線性矩陣不等式：

式中：

則網(wǎng)絡(luò)化濾波誤差系統(tǒng)(9)是魯棒漸近穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能指標(biāo)γ。

證明：首先選取如下形式的Lyapunov函數(shù)：

式中：

其中：P＞0，Q＞0，R＞0；V(t)的導(dǎo)數(shù)為

則根據(jù)引理1及Leibniz-Newton公式得

根據(jù)式(16)，當(dāng)擾動(dòng)輸入ω(t)=0時(shí),有

式中：

進(jìn)一步，根據(jù)Schur補(bǔ)引理以及式(11)得：

式(18)保證了V˙(t)＜0，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知濾波誤差系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的。

考慮如下的性能指標(biāo)：

在零初始條件下可得

根據(jù)式(16)和式(20)可得

式中：

注1：定理1的證明過(guò)程中，選取了時(shí)滯相關(guān)的Lyapunov函數(shù)，通過(guò)引入一些自由加權(quán)矩陣解除Lyapunov函數(shù)的矩陣變量和系統(tǒng)矩陣之間的耦合，在一定程度上降低了設(shè)計(jì)的保守性。

3 魯棒H∞濾波器設(shè)計(jì)

本節(jié)基于濾波器存在的充分條件，將濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式凸優(yōu)化求解問(wèn)題，并給出濾波器的參數(shù)化表示形式。

定理2：考慮系統(tǒng)(2)，對(duì)于給定常數(shù)γ＞0，α＞0，存在適當(dāng)維數(shù)矩陣X=XT＞0，G=GT＞0，Q＞0，M、N、R滿足式(12)及如下不等式：

其中：

則網(wǎng)絡(luò)化濾波誤差系統(tǒng)(9)是魯棒漸近穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能指標(biāo)γ，相應(yīng)的濾波器參數(shù)矩陣為

證明：矩陣P具有如下分塊形式：

假設(shè)P2和P3可逆，定義，用=diag(J, I, I, I, I, I )對(duì)式(11)進(jìn)行全等變換得

式中：

定義以下矩陣變量：

將式(26)代入到式(25)，則式(22)成立。

由式(26)可知：

將式(27)代入濾波器傳遞函數(shù)中，化簡(jiǎn)得：

由式(28)可知式(23)成立。

注2：定理2將系統(tǒng)(2)濾波器存在的充分條件轉(zhuǎn)化為求解線性矩陣不等式的問(wèn)題，標(biāo)量2γ可作為線性矩陣不等式(22)中的一個(gè)優(yōu)化變量以獲得最優(yōu)的擾動(dòng)抑制水平，可以通過(guò)求解如下凸優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)魯棒H∞濾波器：

4 實(shí)例仿真

假設(shè)目標(biāo)航天器的軌道角速度n為7.2722×10-5rad/s，以24 h為周期運(yùn)轉(zhuǎn)，追蹤航天器、濾波器初始狀態(tài)如表1所示。

表1 追蹤航天器、濾波器初始狀態(tài)Tab.1 Initial state of the chase spacecraft and the filter

控制器參數(shù)矩陣K選取如下計(jì)算結(jié)果[10]：

噪聲輸入的系數(shù)陣為

L給定單位陣。系統(tǒng)不確定參數(shù)陣為：

通過(guò)求解定理2的凸優(yōu)化問(wèn)題，得到濾波器的參數(shù)矩陣：

仿真獲得網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的相對(duì)位置誤差及相對(duì)速度誤差如圖3、圖4所示。

由圖3～4可知，濾波誤差在50 s內(nèi)收斂，最劣情況下得到最優(yōu)的H∞擾動(dòng)抑制水平達(dá)到γ=1.4142，t=50 s處的相對(duì)位置估計(jì)誤差最大為0.07，相對(duì)速度估計(jì)誤差最大為0.02，仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的濾波器能夠很好地實(shí)現(xiàn)跟蹤。

圖3 相對(duì)位置估計(jì)誤差Fig.3 Relative position parameter estimation error

圖4 相對(duì)速度估計(jì)誤差Fig.4 Relative velocity parameter estimation error

5 結(jié) 論

本文基于傳統(tǒng)的C-W方程，重新構(gòu)建了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，將濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為求解線性矩陣不等式的凸優(yōu)化問(wèn)題，得到了濾波器的參數(shù)化表示形式。本文采用的H∞濾波方法對(duì)系統(tǒng)及外部干擾的不確定性具有較好的魯棒性，有效地克服了Kalman濾波方法存在的局限性。仿真結(jié)果表明，本文的設(shè)計(jì)方法能夠很好地滿足網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航天器交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)的濾波精度要求。

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Robust H∞filtering for spacecraft rendezvous and docking systems under networked environment

LI Yan-hui, LIU Chang
(College of Electrical and Information Engineering, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China)

The robust H∞filtering problem in networked environment is investigated within the context of spacecraft rendezvous and docking. Based on traditional C-W equations, the mathematical model of spacecraft rendezvous and docking system is reconstructed. By selecting the delay dependent Lyapunov functional and incorporating with free weighting matrices method, the sufficient condition for guaranteeing the filtering error system to be asymptotically stable with a prescribed H∞performance is obtained. Thus the filter design problem is transferred into solving a convex optimization problem constrained to linear matrix inequalities (LMIs). Numerical simulations show that the optimal H∞noise attenuation level in the worst case isγ=1.4142, and the obtained relative position and velocity estimation error are0.07and0.02respectively, verifying the feasibility and effectiveness of the proposed method.

spacecraft rendezvous and docking system; robust H∞filter; linear matrix inequality; networked control system

V448

A

1005-6734(2015)04-0522-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.04.019

2015-03-23；

2015-07-08

空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目（002008834000）；黑龍江省自然科學(xué)基金（F201403）；黑龍江省博士后科學(xué)研究發(fā)展基金（LBH-Q13177）；東北石油大學(xué)培育基金項(xiàng)目（XN2014112)

李艷輝（1970— ），女，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事魯棒控制、濾波和智能控制研究。E-mail：LY_hui@hotmail.com