周慧波，宋申民，鄭 重

（1. 哈爾濱師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150009；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

導(dǎo)彈編隊(duì)協(xié)同攻擊分布式魯棒自適應(yīng)控制

周慧波1,2，宋申民2，鄭 重2

（1. 哈爾濱師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150009；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

在有向通信拓?fù)湎卵芯苛藢?dǎo)彈編隊(duì)的魯棒自適應(yīng)協(xié)同跟蹤控制問題。針對(duì)導(dǎo)彈編隊(duì)系統(tǒng)中隊(duì)形跟蹤、外部擾動(dòng)和模型不確定性的情況，通過選取包含位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的輔助變量，提出了一種基于有向通信拓?fù)涞聂敯糇赃m應(yīng)編隊(duì)控制策略。提出了自適應(yīng)律對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并且利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。進(jìn)一步，對(duì)于通信時(shí)滯的情況，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定所需要滿足的條件。與滑模控制等傳統(tǒng)魯棒控制不同，所設(shè)計(jì)的魯棒自適應(yīng)控制器是連續(xù)的，更便于導(dǎo)彈編隊(duì)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，隊(duì)形跟蹤誤差小于0.03 m，隊(duì)形保持誤差小于0.07 m，所設(shè)計(jì)的控制器能實(shí)現(xiàn)高精度的編隊(duì)跟蹤控制。

導(dǎo)彈編隊(duì)；協(xié)同攻擊；通信時(shí)滯；魯棒自適應(yīng)控制；有向圖

由于反導(dǎo)防御系統(tǒng)的迅速發(fā)展，單枚導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)已經(jīng)越來越難以獨(dú)立完成作戰(zhàn)任務(wù)，難以適應(yīng)現(xiàn)代化戰(zhàn)爭的需要。多枚導(dǎo)彈組成編隊(duì)飛行系統(tǒng)，同時(shí)在作戰(zhàn)過程中導(dǎo)彈通過信息交互進(jìn)行協(xié)同攻擊，共同完成作戰(zhàn)任務(wù)，極大地增強(qiáng)了打擊能力和摧毀目標(biāo)的概率，顯著提高導(dǎo)彈的突防能力，因此對(duì)多彈協(xié)同攻擊的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在導(dǎo)彈協(xié)同攻擊過程中，為了合理有效地利用陸、海、空的地形信息形成有掩護(hù)的攻擊或規(guī)避，需要考慮所處的戰(zhàn)場環(huán)境，實(shí)時(shí)根據(jù)不同的地形和目標(biāo)信息設(shè)計(jì)編隊(duì)隊(duì)形控制律[1]。簡單地說，隊(duì)形控制就是指利用多個(gè)導(dǎo)彈在編隊(duì)飛行過程中組成一定的編隊(duì)構(gòu)形，并實(shí)時(shí)地保持或收縮。編隊(duì)成員通過通信相互聯(lián)系，進(jìn)行協(xié)同工作，控制編隊(duì)成員間的相對(duì)距離和方向，并保持所要求的幾何構(gòu)形。為了實(shí)現(xiàn)高精度的編隊(duì)飛行任務(wù)，需要對(duì)各編隊(duì)成員進(jìn)行有效的協(xié)同控制。編隊(duì)協(xié)同控制方法一般包括多輸入多輸出控制、虛擬結(jié)構(gòu)控制和基于行為的控制[2]。目前這些方法在機(jī)器人編隊(duì)[3-4]、航天器編隊(duì)[5-6]和導(dǎo)彈編隊(duì)[7]中得到了應(yīng)用。對(duì)于多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊的方法主要有動(dòng)態(tài)面控制法[8-9]、最優(yōu)控制理論等[10-11]。

對(duì)于導(dǎo)彈編隊(duì)協(xié)同問題，目前大多文獻(xiàn)主要研究基于到達(dá)時(shí)間一致的協(xié)同制導(dǎo)[12-14]，其主要思想是利用一致性算法的思想，通過設(shè)計(jì)制導(dǎo)律使得各導(dǎo)彈能夠同時(shí)到達(dá)目標(biāo)，即實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的協(xié)同攻擊。然而，當(dāng)導(dǎo)彈編隊(duì)執(zhí)行協(xié)同作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)，需要進(jìn)行隊(duì)形的調(diào)整：初始隊(duì)形的生成，隊(duì)形的保持、收縮、擴(kuò)展和重構(gòu)等等。因此對(duì)導(dǎo)彈編隊(duì)飛行控制系統(tǒng)的研究十分重要，直接決定上述導(dǎo)彈編隊(duì)動(dòng)作能否實(shí)現(xiàn)，以致影響到作戰(zhàn)任務(wù)能否順利完成[12]。文獻(xiàn)[15]利用線性LQ最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了一種導(dǎo)彈編隊(duì)隊(duì)形最優(yōu)保持控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)彈編隊(duì)隊(duì)形快速、穩(wěn)定的調(diào)整與保持控制。文獻(xiàn)[16]通過解黎卡提矩陣微分方程的形式設(shè)計(jì)了一種導(dǎo)彈協(xié)同攻擊編隊(duì)非線性最優(yōu)控制器。

然而以上文獻(xiàn)在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈編隊(duì)控制器時(shí)并沒有考慮外界擾動(dòng)的影響。在導(dǎo)彈飛行過程中，氣流、強(qiáng)風(fēng)等外界擾動(dòng)往往是不可忽略的，在導(dǎo)彈編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)中必須考慮抑制擾動(dòng)的要求。同時(shí)，為了形成編隊(duì)隊(duì)形，導(dǎo)彈之間往往會(huì)通過通信進(jìn)行協(xié)同控制，在此過程中可能發(fā)生通信時(shí)滯。因此在設(shè)計(jì)控制器時(shí)必須要考慮通信時(shí)滯的影響。

針對(duì)導(dǎo)彈編隊(duì)飛行系統(tǒng)，本文提出了魯棒自適應(yīng)導(dǎo)彈編隊(duì)協(xié)同控制策略，并嚴(yán)格分析了閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov 穩(wěn)定性。首先，在無通信時(shí)滯的情況下提出了自適應(yīng)律對(duì)擾動(dòng)的上界進(jìn)行估計(jì)，并進(jìn)一步設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈隊(duì)形控制算法。在此基礎(chǔ)上，考慮到外部擾動(dòng)和通信時(shí)滯的情況，通過Lyapunov 穩(wěn)定性分析給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定所需要的條件。最后數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出的魯棒自適應(yīng)控制器的有效性。

1 導(dǎo)彈編隊(duì)飛行系統(tǒng)

假設(shè)n枚導(dǎo)彈在三維空間中組成編隊(duì)飛行系統(tǒng)，則第i枚導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)可由下面方程描述[1]：

式中：(xi,yi,zi)表示導(dǎo)彈的位置；Vi、θi和ψi分別表示導(dǎo)彈速度、彈道傾角和彈道偏角；mi為導(dǎo)彈的質(zhì)量；Xi為阻力，具體數(shù)值與阻力系數(shù)cx、空氣密度ρ、速度Vi和導(dǎo)彈特征面積Si有關(guān)，計(jì)算公式為

Fi=[FxiFyiFzi]T表示導(dǎo)彈控制力向量；di=[di1di2di3]T表示導(dǎo)彈受到的擾動(dòng)，并假設(shè)di有界且滿足di∞≤。令pi=[xiyizi]T表示導(dǎo)彈的位置，vi=[iii]T表示導(dǎo)彈速度。則式(1)可表示為[1]

在導(dǎo)彈編隊(duì)進(jìn)行機(jī)動(dòng)控制中，往往有隊(duì)形保持要求。記第i枚編隊(duì)導(dǎo)彈期望位置=+piF，其中：為編隊(duì)中心的期望位置，為事先規(guī)劃好的路徑；piF為第i枚導(dǎo)彈相對(duì)于編隊(duì)中心的期望位置。注意到，pi→pid和i→意味著實(shí)現(xiàn)了跟蹤的要求，意味著實(shí)現(xiàn)了隊(duì)形保持要求。因此本文目的為針對(duì)導(dǎo)彈編隊(duì)運(yùn)動(dòng)模型(3)，設(shè)計(jì)控制器Fi，使得對(duì)于?i,j=1,2,…,n，當(dāng)t→∞時(shí)，有pi→和vi→；同時(shí)在跟蹤誤差pi-和vi-的暫態(tài)收斂過程中，在一定程度上保證pi-piF→pj-pjF和vi-viF→vj-vjF。

在導(dǎo)彈編隊(duì)系統(tǒng)中，導(dǎo)彈通過信息交互獲得其它導(dǎo)彈的狀態(tài)信息以完成編隊(duì)任務(wù)，這種信息交互可以通過圖論來描述。加權(quán)圖G=(ν, ζ, C)由節(jié)點(diǎn)集ν={1,2,…n}、邊集ζ和加權(quán)鄰接矩陣C=[cij]∈Rn×n組成。如果第j個(gè)節(jié)點(diǎn)有信息傳遞到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，則第j個(gè)節(jié)點(diǎn)有一條邊指向第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，記為(j,i)∈ζ。同時(shí)C中元素cij定義為：如果(j,i)∈ζ，則cij＞0，否則cij=0。有向圖的路徑指一列節(jié)點(diǎn)v0,…vr，(vi,vi+1)都是有向圖中的邊，i=0,…,r-1。如果有向圖中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)均有路徑相連，則稱為強(qiáng)連通的。

引理 1[17]圖G的Laplace矩陣L定義為

如果L是一個(gè)強(qiáng)連通的有向圖的Laplace矩陣，則存在一個(gè)所有元素均為正的向量使得ηTL=0。

2 隊(duì)形協(xié)同跟蹤控制器

為了實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈編隊(duì)的要求，導(dǎo)彈編隊(duì)成員需要跟蹤各自的期望位置和期望速度。本節(jié)首先給出無通信時(shí)滯的魯棒協(xié)同控制器；在此基礎(chǔ)上，考慮到通信時(shí)滯的情況，設(shè)計(jì)時(shí)滯魯棒自適應(yīng)協(xié)同控制器。

記跟蹤誤差ei=pi-，則˙i=vi-，定義輔助誤差變量為

式中：λi＞0為常數(shù)。首先給出下面引理。

引理2[18]對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x和非零實(shí)數(shù)y，下面不等式成立：

式中：α＞0，其最小值α*滿足α*=x*(1-tanhx*)，x*滿足方程e-2x*+1-2x*=0。

2.1 無通信時(shí)滯控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)導(dǎo)彈質(zhì)量已知且導(dǎo)彈之間的信息交互無通信時(shí)延，即導(dǎo)彈可以實(shí)時(shí)獲取相鄰導(dǎo)彈的信息。由式(3)和式(4)可得：設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒控制器為

式中：常數(shù)ki＞0；cij表示加權(quán)鄰接矩陣C的第i行j列元素；i為擾動(dòng)上界i的估計(jì)值，且滿足i(0)＞0；常數(shù)γd＞0；參數(shù)qi是時(shí)變的且滿足qi(0)＞0；常數(shù)α如引理2所定義。把式(7)代入到式(6)，可得系統(tǒng)閉環(huán)方程為

定理1 對(duì)于導(dǎo)彈編隊(duì)系統(tǒng)(3)，設(shè)計(jì)魯棒控制器(7)-(9)，如果導(dǎo)彈之間的通信拓?fù)錇閺?qiáng)連通的有向圖，則系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界，并且當(dāng)t→∞時(shí)，有ei→0和˙i→0成立，從而有pi-piF→pj-pjF，成立。即實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈對(duì)期望軌跡的跟蹤，同時(shí)形成并保持所期望的隊(duì)形。

證明 引理2中的不等式(5)可以寫為

式中，常數(shù)ηi＞0如引理1所定義。對(duì)式(13)求導(dǎo)，并且利用式(8)～(10)，可得：

把式(12)代入式(14)可得

由式(16)可以看出V有界，因此系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界。

由于V有界，則si,i∈L∞。由于擾動(dòng)di有界，由式(10)可得˙i∈L∞。此外，由V是有界的并且≤0可得，這表明si∈L2。因此由Barbalat>引理[19]可得，當(dāng)t→∞時(shí)，si→0，因而由si的定義可得ei→0和e˙i→0。由于因此pi-piF→pj-pjF成立。同理可得vi-→vj-。因此魯棒編隊(duì)控制器(7)-(9)能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)彈對(duì)期望軌跡的跟蹤，同時(shí)形成并保持所期望的隊(duì)形。

2.2 通信時(shí)滯情況下的控制器設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的編隊(duì)控制，要求導(dǎo)彈獲得相鄰導(dǎo)彈的狀態(tài)信息，這些信息一般是通過無線傳輸進(jìn)行信息交互。由于導(dǎo)彈之間的距離和傳輸設(shè)備物理限制的影響，信息傳輸中不可避免地存在通信時(shí)滯，并且時(shí)滯一般是不可忽略的。在2.1節(jié)基礎(chǔ)上，本節(jié)進(jìn)一步考慮編隊(duì)系統(tǒng)中存在通信時(shí)滯的情況，即實(shí)際情況中第i枚導(dǎo)彈只能獲取時(shí)滯后的信息sj(t-Tij)，即此時(shí)控制器(7)變?yōu)?/p>

式中：Tij(t)≥0是時(shí)變的并且不要求Tij=Tji。假設(shè)Tij的精確值是未知的，而T˙ij的上界是已知的，且滿足ij≤hij＜1。下面給出了考慮通信時(shí)滯的導(dǎo)彈編隊(duì)控制器(17)的穩(wěn)定性分析，表明在控制器參數(shù)滿足一定條件下，對(duì)于時(shí)變的通信時(shí)滯，系統(tǒng)仍然能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)彈的編隊(duì)跟蹤控制。

定理 2 對(duì)于導(dǎo)彈編隊(duì)系統(tǒng)(3)，設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)控制器(17)和(8)(9)，如果導(dǎo)彈之間的通信拓?fù)錇閺?qiáng)連通的有向圖，且對(duì)于任意的i,j=1,2,…,n，控制器參數(shù)滿足

式中：常數(shù)ρ＞1，則系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界，并且當(dāng)t→∞時(shí)，有ei→0和˙i→0成立，從而有pi-piF→pj-pjF，vi-v→vj-v成立。即存在通訊時(shí)滯情況下，導(dǎo)彈仍然能實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤，同時(shí)形成并保持所期望的隊(duì)形。

證明 選取Lyapunov函數(shù)

由式(17)和定理1的證明過程可得，V的導(dǎo)數(shù)為

注意到

把式(21)和式(22)代入到式(20)中，可得

因此，如果條件(18)成立，則有

從而V有界，系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界。由于V有界，則si,i∈L∞。由于擾動(dòng)di有界，由式(10)可得˙i∈L∞。此外，由V是有界的并且≤0可得這表明si∈L2。因此由Barbalat引理[16]可得，當(dāng)t→∞時(shí)，si→0，因而由si的定義可得由于因此pi-piF→pj-pjF成立。同理可得

3 數(shù)值仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)定

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制器的有效性，下面針對(duì)存在通信時(shí)滯情況下的控制器(17)及(8)(9)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

2016年8月，新的北辰基督教堂建成啟用。新教堂建筑面積12000平方米，最高處24米，階梯式大廳可容納2500人。

4枚導(dǎo)彈進(jìn)行正方形編隊(duì)，設(shè)導(dǎo)彈質(zhì)量分別為m1=150 kg, m2=200 kg, m3=180 kg, m4=160 kg。令wi=[Viθiψi]T，編隊(duì)導(dǎo)彈初始狀態(tài)和速度設(shè)為

設(shè)定編隊(duì)導(dǎo)彈相對(duì)于編隊(duì)中心的期望位置為

編隊(duì)中心的期望位置和速度為

則編隊(duì)導(dǎo)彈要跟蹤的期望位置和速度為

控制器的參數(shù)選取為：λi=2，ki=0.2，

3.2 仿真結(jié)果與分析

圖1 編隊(duì)導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 Trajectory of relative motion of formation missiles

從4枚導(dǎo)彈編隊(duì)初始位置和期望的正四邊形編隊(duì)構(gòu)形可知，暫態(tài)過程中1μ越小，隊(duì)形跟蹤誤差越??；2μ越小，隊(duì)形保持性能越好。

控制器(17)及(8)(9)作用下的編隊(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。在仿真圖中角標(biāo)i表示第i枚導(dǎo)彈。圖1給出了4枚編隊(duì)導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系下的三維運(yùn)動(dòng)軌跡，可以看到編隊(duì)導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)了正四邊形的隊(duì)形要求。圖2和圖3分別給出了編隊(duì)導(dǎo)彈位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差曲線。從圖2中可以看出，在設(shè)計(jì)的控制器(17)及(8)(9)作用下，即使存在外部擾動(dòng)和通信時(shí)滯的限制，位置跟蹤誤差仍能夠較快收斂到零附近。從圖3可以看出，編隊(duì)導(dǎo)彈速度跟蹤誤差最終也收斂到零附近，同時(shí)具有較高的跟蹤精度。圖4進(jìn)一步給出了控制器(17)及(8)(9)作用下的隊(duì)形跟蹤誤差μ1和隊(duì)形保持誤差μ2的變化曲線，從圖中可以看出隊(duì)形跟蹤誤差和隊(duì)形保持誤差收斂速度較快，同時(shí)最終隊(duì)形跟蹤誤差小于0.03 m，隊(duì)形保持誤差小于0.07 m，具有較高的精度。圖5給出了控制器中自適應(yīng)參數(shù)i和的變化曲線。從圖5中可以看出，自適應(yīng)參數(shù)i最終收斂到常值，單調(diào)下降，由于下降速度遠(yuǎn)小于位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的收斂速度，既保證了抑制外界干擾的魯棒性又避免了控制器抖振。

圖2 位置跟蹤誤差Fig.2 Position tracking errors

圖3 速度跟蹤誤差Fig.3 Velocity tracking errors

圖4 隊(duì)形跟蹤誤差和隊(duì)形保持誤差Fig.4 Errors of formation tracking and formation keeping

圖5 自適應(yīng)參數(shù)i和的變化曲線Fig.5 Adaptive parametersiand

4 結(jié) 論

針對(duì)導(dǎo)彈編隊(duì)協(xié)同攻擊問題，本文提出了魯棒自適應(yīng)編隊(duì)控制策略，能夠克服外部干擾和內(nèi)部參數(shù)不確定性的影響，同時(shí)滿足導(dǎo)彈編隊(duì)控制的要求。對(duì)于有無通信時(shí)滯的情況，均給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定所需要的條件。與傳統(tǒng)的滑?？刂频确沁B續(xù)魯棒控制不同的是，本文提出的控制器是連續(xù)的，更便于導(dǎo)彈編隊(duì)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。數(shù)值仿真驗(yàn)證了文中給出的控制方法的有效性，各編隊(duì)導(dǎo)彈穩(wěn)態(tài)誤差較小，能夠滿足導(dǎo)彈編隊(duì)飛行控制精度要求。在僅有部分導(dǎo)彈獲取期望信息的情況下，設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)隊(duì)形控制策略，是今后進(jìn)一步需要做的工作。

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Distributed robust adaptive control for missile cooperative engagement within formation

ZHOU Hui-bo1,2, SONG Shen-min2, ZHENG Zhong2
(1. School of Mathematical Sciences, Harbin Normal University, Harbin 150009, China; 2. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The problem of robust adaptive cooperative tracking control of missile formation is investigated under directed communication topology. According to the formation tracking, external disturbance and model uncertainties in the system of missile formation, a robust adaptive formation control scheme with directed communication topology is proposed by selecting an auxiliary variable including position tracking error and velocity tracking error. The adaptive laws are presented to estimate the unknown parameters, and the asymptotical stability of closed-loop system is analyzed using Lyapunov stability theory. Furthermore, the conditions to satisfy the asymptotical stability of the system are given for the case of communication delays. Being different from traditional robust controls such as sliding mode control, the designed robust adaptive controller is continuous, so it is convenient to be implemented in the system of missile formation. Simulation results show that the tracking error and the keeping error of the formation are less than 0.03 m and 0.07 m, respectively, so the designed controller can achieve high-precision formation tracking control.

missile formation; cooperative engagement; communication delay; robust adaptive control; directed graph

V448.133

A

1005-6734(2015)04-0516-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.04.018

2015-02-26；

2015-06-12

國家自然科學(xué)基金（61174037）；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項(xiàng)目（61021002）；上海航天科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目（SAST201402）；航空科學(xué)基金項(xiàng)目（20140177002）

周慧波（1977—），女，博士研究生，研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制。E-mail：zhouhb0306@sina.com

聯(lián) 系 人：宋申民（1968—）男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、魯棒控制、導(dǎo)彈制導(dǎo)與飛行器控制。E-mail：songshenmin@hit.edu.cn