葉軒明, 林潔珠

(1. 中山大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 廣州 510275；2. 廣州大學數(shù)學與信息科學學院//數(shù)學與交叉學科廣東普通高校重點實驗室，廣東 廣州510006)

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帶tt*-結(jié)構(gòu)的Frobenius流形上兩個平坦亞純聯(lián)絡(luò)形式同構(gòu)的存在性*

葉軒明1, 林潔珠2

(1. 中山大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 廣州 510275；2. 廣州大學數(shù)學與信息科學學院//數(shù)學與交叉學科廣東普通高校重點實驗室，廣東 廣州510006)

Frobeniu流形；tt*-結(jié)構(gòu)；CDV-結(jié)構(gòu)；平坦亞純聯(lián)絡(luò)；Poincare秩

我們將在本文中用另一種構(gòu)造性方法給出任意半單的CDV-結(jié)構(gòu)中這個形式同構(gòu)的每一項展開的系數(shù)矩陣的表達式。

1 定義與結(jié)論

定義1[3-4]設(shè)M為m維復流形,M上的Frobenius流形結(jié)構(gòu)是指這樣多元組(M,g,°,e,ε)，其中g(shù)是M上的度量(非退化、雙線性和對稱的(2,0)-張量)， °是全純切叢TM上的交換結(jié)合乘法且光滑的依賴于底流形M。記▽為g的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，記ΘM為切叢TM局部自由OM-模層。所有這些元素需要滿足下面條件：

(i)g的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)▽是平坦的；

(ii)g(X°Y,Z)=g(X,Y°Z),?X,Y,Z∈TM； (iii)ΘM的整體截面e是乘法°的單位向量場，且e關(guān)于聯(lián)絡(luò)▽是平坦的；

(iv)令c(X,Y,Z):=g(X°Y,Z)，則c對稱3-張量，則我們要求它誘導的4-張量(▽zc)(U,V,W)關(guān)于四個向量場U,V,W,Z都是對稱的；

(v)ΘM的整體截面ε滿足以下條件：

▽(▽ε)=0;

?d∈,ε(g)=(2-d).g

在上面的定義中令Φ(X)Y:=-X°Y，則

(1)

給出了拉回叢π*TM上的亞純平坦聯(lián)絡(luò)，該聯(lián)絡(luò)就稱為Frobenius流形的結(jié)構(gòu)聯(lián)絡(luò)。

下面介紹變動Hodge結(jié)構(gòu)(variationofHodgestructures)的推廣結(jié)構(gòu)，也即CV-結(jié)構(gòu)。

定義2[3]設(shè)M是一復解析流形，設(shè)K是M上復光滑向量叢，h是K上Hermitian度量，記D=D′+D″為h的Chern聯(lián)絡(luò)，多元組(K→M,D,Φ,h,κ,U,Q)稱為M上的一個CV-結(jié)構(gòu)，如果(K→M,D,Φ,h,)是一個調(diào)和Higgs叢，且剩余其他元素滿足：

(a)κ給出向量叢K→M一個實結(jié)構(gòu)，且滿足

κ2=Id;

D(κ)=0;

Φ+=κΦκ

其中Φ+是Φ關(guān)于h的共軛算子；

(b)h是向量叢K→M的Hermitian度量，且滿足

h在κ定義的實子叢K:=ker(κ-Id)?K上取實值；

[Φ,U]=0

D′(U)-[Φ,Q]+Φ=0

D″(U)=0

D′(Q)=[Φ,κUκ]=0

κQκ+Q=0

h(Ua,b)=h(a,κUκb)

h(Qa,b)=h(a,Qb)

這里d∈是由關(guān)系式ε(g)=(2-d)·g給出。且滿足下面六個等價關(guān)系式成立

De-e=0?Dee=0?

本文通過為腦出血病人提供康復護理干預,臨床效果較好,有效的提高病人日常生活能力,主要原因是:護士在病人住院期間提供全方面的指導,在心理上,消除病人不良的心理狀態(tài),建立良好的心態(tài)去面對疾病,提高病人對治療的信心,在體位上,為病人提供正確的休息姿勢,提高病人的舒適度,有助于加快殘余腦細胞恢復,增強機體自主神經(jīng)功能恢復[4],更好的提高治療效果,在飲食上,多食用高蛋白質(zhì)的食物,增強患者的抵抗力及免疫力,在康復訓練上,為病人提供跨步行走及坐位平衡訓練方法,在鍛煉的過程中,逐漸增加訓練的難度,有助于增強肢體功能的靈活度,促進肢體功能的康復[2]。

(c)關(guān)系式g所包含的常數(shù)d是實數(shù)。

(2)

(3)

在文[9]中，作者注意兩個形式同構(gòu)的在奇點的Poincare秩都是2，因此利用了這類亞純聯(lián)絡(luò)的分類證明了在整個M上存在形式同構(gòu)，從而證明了定理1。

2 定理的證明

由文[9]引理2.10，只需證明形式同構(gòu)在流形M上的某一點o上存在即可。我們用待定系數(shù)法來證明。

(4)

這里U,V,Q和U+分別記為映射U,V,Q和U+在框架si下所對應的矩陣，易證矩陣U=diag(u1,u2…,um)，且對角線元素各不相同；而V,Q是對角線為零的矩陣。

令

(5)

這里每個Bn是m階矩陣。把(5)式代入(4)式直接計算得到

(6)

這里每一個ci都是非零常數(shù)，adU:glm()→glm()；adU(Bi):=UBi-BiU，glm()為所有復常值矩陣所成的線性空間。不妨假設(shè)B0=Em為m階單位陣。由于矩陣U的為對角矩陣且對角線元素各不相同，因此有直和分解glm()=ker(adU)⊕Im(adU)，這里記號ker(adU)是映射adU的核，Im(adU)是映射adU:glm()→glm()的像。所以對任意n，得到分解式

Bn:=D[Bn]+A[Bn]

(7)

其中對角矩陣D(Bn)為矩陣Bn的對角線元素所組成的矩陣，而A(Bn)為矩陣Bn對角線為零的矩陣。

(8)

我們對n進行遞歸來求出所有的矩陣Bk：

(i)當k=0,B0=diag(c1,c2,…,cm)=Em; (ii)當k=1，因為adU(B1)=VBO-B0Q=V-Q，注意到V-Q∈Im(adU)，所以存在唯一的對角線為零的矩陣，記為A[B1]∈Im(adU)，使得adU(A[B1])=V-Q。接下來確定矩陣B1的對角矩陣D(B1)。為了使得(6)式當成立n=0，必須有VB1-B1Q+B1-U+∈Im(adU)。把(7)式代入得

V·(D[B1]+A[B1])-(D[B1]+A[B1])·Q+

((D[B1]+A[B1]))-U+∈Im(adU)

即V·A[B1]-A[B1]·Q+D[B1]-U+∈Im(adU)，因此

D[B1]=D[U+-V·A[B1]+A[B1]·Q]

(iii)假設(shè)當k≤n+1已經(jīng)構(gòu)造出Bk=D[Bk]+A[Bk]，且

V·A[Bn+1]+A[Bn+1]·Q]

(9)

待證當k=n+2時，仍然存在唯一的Bn+2滿足式。

先確定Bn+2的對角線為零的部分矩陣A[Bn+2]。類似的，由(9)式，我們得到

VBn+1-Bn+1Q+(n+1)Bn+1-BnU+∈Im(adU)

A[Bn+1]·Q]

(10)

接下來確定D[Bn+2]。

為了使得(6)式的等號右邊VBn+2-Bn+2Q+(n+2)Bn+2-Bn+1U+∈Im(adU)，則必須有

D[Bn+1U+-V·A[Bn+2]+A[Bn+2]·Q]

(11)

故(10)-(11)式確定了Bn+2=D[Bn+2]+A[Bn+2]，且Bn+2的對角線元素的取值是使得

VBn+2-Bn+2Q+(n+2)Bn+2-Bn+1U+∈Im(adU)

成立。

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An Constructional Proof for the Existence of the Formal Isomorphism Between Two Flat Meromorphic Connections on a Frobenius Manifold with a tt*-Structure

YEXuanming1,LINJiezhu2

(1. School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China; 2. School of Mathematics and Information Science//Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Frobenius manifolds; tt*-structures; CDV-structures; flat meromorphic connections; Poincare rank

2014-03-11

國家自然科學基金青年基金資助項目(11201491，11201090)；博士點新教師類資助項目(20120171120009，20124410120001)；高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費青年教師培育資助項目(34000-3161248)

葉軒明( 1977 年生) ，男；研究方向：微分幾何；通訊作者：林潔珠；E-mail:ljzsailing@163.com

10.1347/j.cnki.acta.snus.2015.01.002

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0529-6579(2015)01-0005-05