□ 張 孟 □ 范欽映 □ 梁春游 □ 周留洋

蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

針對(duì)多故障模式下緩存區(qū)容量有限的雙設(shè)備模型，提出了一種求解其生產(chǎn)能力的解析方法。多故障模式是指此雙設(shè)備模型的上下游機(jī)器有多種故障方式，每一種故障方式都有相對(duì)應(yīng)的MTTF（同一臺(tái)設(shè)備，兩次故障之間的平均工作時(shí)間）和MTTR（同一臺(tái)設(shè)備從發(fā)生故障到正常工作的平均維修時(shí)間），用這兩個(gè)參數(shù)來(lái)區(qū)分不同的故障方式。一臺(tái)設(shè)備通常有多種故障方式，因?yàn)橐慌_(tái)機(jī)器擁有許多零部件，每一個(gè)部件都有可能發(fā)生故障。以汽車(chē)自動(dòng)組裝線(xiàn)為例，每一個(gè)工作站都包含有：上料裝置、夾緊裝置、切削加工裝置、進(jìn)給裝置等，這些裝置的可靠性都是不同的，一旦發(fā)生故障，那么對(duì)應(yīng)的維修時(shí)間、維修方式都是不同的。正是有了這樣的情況，關(guān)于多故障模式下生產(chǎn)線(xiàn)的研究分析就具有實(shí)際意義。對(duì)于多故障模式下生產(chǎn)線(xiàn)的研究分析，單一故障模式的求解辦法是綜合多種故障方式對(duì)生產(chǎn)能力的影響，得到一個(gè)平均值，然后代入計(jì)算求解。但是，由于許多模型的MTTF和MTTR都是呈指數(shù)分布或是幾何分布，單一故障模式的求解結(jié)果對(duì)生產(chǎn)能力給出一個(gè)近似的解析值，而不同故障方式對(duì)生產(chǎn)能力的不同影響卻被忽略掉了。當(dāng)緩存區(qū)容量很小時(shí)，生產(chǎn)能力的差別會(huì)很大，采用單一故障模型求解結(jié)果就不再可靠，換言之，單一故障模式的求解方法的適用性差。多故障雙設(shè)備模型可以具體分析每一種故障方式對(duì)生產(chǎn)能力的影響。盡管分析雙設(shè)備模型只是分析兩臺(tái)設(shè)備和一個(gè)緩存區(qū)組成的生產(chǎn)單元，但是，這種分析卻是值得深究的。大型的生產(chǎn)線(xiàn)系統(tǒng)（Gershwin S B［1］；Dallery［2］；Tulliotolio，et al［3］） 是通過(guò)分解方法（Gershwin S B，et al［4］；Yeralan，et al［5］）或者綜合方法（Dallery ，et al［6］；Gershwin S B［7］）來(lái)具體求解的，但是這兩種方法都是以雙設(shè)備模塊為計(jì)算單元。更多方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［8～10］。針對(duì)多故障模式下緩存區(qū)容量有限的生產(chǎn)線(xiàn)，很多學(xué)者提出了自己的建模方法，參見(jiàn)文獻(xiàn)［7，11～13］。 筆者受 Tulliotolio［14］所提模型的啟發(fā)，對(duì)上下游均有兩種故障方式的模型做出了具體的分析。仿真結(jié)果表明，本方法更準(zhǔn)確可靠。

▲圖1 雙設(shè)備模型

1 模型描述

1.1 雙設(shè)備模型

雙設(shè)備模型由上游機(jī)器Mu、緩存區(qū)B、下游機(jī)器Md組成，如圖1所示。每一個(gè)零件進(jìn)入上游機(jī)器Mu，經(jīng)過(guò)緩存區(qū)B和下游機(jī)器Md，最后離開(kāi)此模型。上下游機(jī)器擁有相等的加工時(shí)間，傳送時(shí)間忽略不計(jì)。緩存區(qū)容量有限，上游緩存區(qū)為空的機(jī)器所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)記為饑餓，下游緩存區(qū)存滿(mǎn)的機(jī)器所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)記為阻塞，上游機(jī)器永不饑餓，下游機(jī)器永不阻塞，空閑狀態(tài)的機(jī)器（處于饑餓或阻塞狀態(tài)）不會(huì)發(fā)生故障。機(jī)器工作后，發(fā)生某種故障的概率是確定的，同一時(shí)間，一臺(tái)機(jī)器只能發(fā)生一種故障狀態(tài)。在一次工作循環(huán)中，一臺(tái)機(jī)器在循環(huán)開(kāi)始階段故障，那么，此機(jī)器的維修率也是確定的。故障和維修均出現(xiàn)在循環(huán)開(kāi)始，緩存區(qū)工件數(shù)目的變化發(fā)生在循環(huán)結(jié)束。工件不會(huì)被拒收或損壞，一臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障后，正在處理的工件自動(dòng)返回上游緩存區(qū)，等待新一輪循環(huán)。

1.2 模型狀態(tài)

假設(shè)此模型的狀態(tài)為 （n，α1，α2），n 代表緩存區(qū)即時(shí)工件數(shù)目 （0≤n≤N），α1為上游機(jī)器的維修狀態(tài),α2為下游機(jī)器的維修狀態(tài)。上游機(jī)器的正常工作狀態(tài)為α1=1，否則 α1=μi（i=1，2，...，s），μi為機(jī)器的故障模式。同樣的，下游機(jī)器的正常工作狀態(tài)為α2=1，否則α2=μj，（j=1，2，...，t），μj為機(jī)器的故障模式。 機(jī)器處于狀態(tài)（n，α1，α2）所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率記作 P（n，α1，α2），由于維修和故障在循環(huán)開(kāi)始時(shí)發(fā)生，緩存區(qū)盈余水平的變化在循環(huán)結(jié)束時(shí)發(fā)生。緩存區(qū)的盈余水平為：

式中：τ為一次工作循環(huán)。

定義l1（τ+1）為上游機(jī)器在此工步結(jié)束時(shí)的加工件數(shù)；l2（τ+1）為下游機(jī)器在此工步結(jié)束時(shí)的加工件數(shù)。如果 α1（τ+1）=1，且 n（τ）＜N，則 l1（τ+1）=1，否則 l1（τ+1）=0；同樣，如果 α2（τ+1）=1，且 n（τ）＞0，則 l1（τ+1）=1，否則 l1（τ+1）=0。

將正常工作的機(jī)器進(jìn)入某一故障模式i的概率記為pui，那么，在一次工作循環(huán)中，機(jī)器經(jīng)過(guò)維修可以正常工作的概率記為rui。同樣， pdj、rdj分別代表下游機(jī)器的故障率和維修概率。上游機(jī)器所有故障模式的概率之和記為；下游機(jī)器所有故障模式的概率之和記為

1.3 生產(chǎn)能力的指標(biāo)

衡量生產(chǎn)能力的指標(biāo)是此雙設(shè)備模型的生產(chǎn)率和緩存區(qū)的盈余水平，雙設(shè)備模型的生產(chǎn)率記為E1、E2。E2指在某工作循環(huán)τ內(nèi)下游機(jī)器Md正常工作的概率，E1指在某工作循環(huán)τ內(nèi)上游機(jī)器Mu正常工作的概率，由于生產(chǎn)線(xiàn)具有連續(xù)性，所以上下游機(jī)器正常工作的概率是相等的，也即E1=E2。根據(jù)生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)量的定義，E1=prob［（τ+1）=1，且 n（τ）＜N］；E2=prob［（τ+1）=1，且 n（τ）＞0］，進(jìn)一步推導(dǎo)可得:

緩存區(qū)的盈余水平為：

故要衡量模型的生產(chǎn)能力，必須計(jì)算得到每一個(gè)狀態(tài)的概率。

2 方程求解方法

此雙設(shè)備模型共有 M=（s+1）（t+1）（N+1） 個(gè)狀態(tài)，所以必須分析擁有M個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈。傳統(tǒng)的思路是，求得M個(gè)關(guān)于這些狀態(tài)概率的方程，建立方程組，求解這些未知數(shù)。但是，當(dāng)N特別大的時(shí)候，這樣的求解方法是行不通的?；谝陨峡紤]，筆者提出了一種解析方法，本方法需要求解一個(gè)關(guān)于k的s+t次方程和一個(gè)s+t-1個(gè)方程的方程組。因此，本方法的數(shù)學(xué)計(jì)算量大大減少。本方法是對(duì)Gershwin,S.B.,1994［7］方法的一個(gè)擴(kuò)展。核心思想是，首先對(duì)結(jié)果進(jìn)行猜想，進(jìn)而驗(yàn)證。驗(yàn)證過(guò)程為，將猜想的結(jié)果代入內(nèi)部狀態(tài)（2≤n≤N-2）方程，得到s+t組解。如果猜想是正確的，這些解的線(xiàn)性組合中肯定有一組會(huì)滿(mǎn)足邊界狀態(tài)方程，那么這組線(xiàn)性組合就是要找的解。

2.1 內(nèi)部狀態(tài)變遷方程

分析此多故障雙設(shè)備模型的馬爾可夫鏈，可以得到以下?tīng)顟B(tài)方程：

受Tulliotolio［14］的啟發(fā)，猜想內(nèi)部狀態(tài)的概率形式如下：

當(dāng) X、Ui、Dj一共有 1+s+t組，將式（9）代入式（5）～式（8），可以得到：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化后，假設(shè)：

進(jìn)一步整理，把 Ui、Dj代入式（11），可以得到：

這是一個(gè)關(guān)于K的 （s+t）次方程。約定Km（m=1，...，s+t）為方程的第 m 個(gè)根,那么,Ui，m、Dj，m、Xm即為對(duì)應(yīng)的解，整理可以得到：

假定所有的根Km都是實(shí)數(shù),容易得到其中一個(gè)KR=1，代入式（17）有：

以上R組解滿(mǎn)足內(nèi)部方程，接下來(lái)尋找這些解來(lái)滿(mǎn)足邊界方程的線(xiàn)性組合。

2.2 邊界狀態(tài)

部分狀態(tài)是暫時(shí)的，部分狀態(tài)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率等于零，也就是說(shuō)這些狀態(tài)是暫時(shí)的，記為邊界狀態(tài)：

2.2.1 低邊界狀態(tài)變遷方程

2.2.2 高邊界狀態(tài)變遷方程

如果式（9）是合理的，那么一定能找到這些解滿(mǎn)足邊界方程的線(xiàn)性組合，猜想內(nèi)部狀態(tài)的概率符合以下形式：

式（22）、式（25）中：p（1，ui，1）、p（N-1，1，dj）只包含內(nèi)部狀態(tài)的概率，可以參照內(nèi)部狀態(tài)的概率公式計(jì)算，利用式（20）、式（21）、式（23）、式（24）、式（26）、式（27），可以把邊界方程寫(xiě)成是關(guān)于常數(shù)C1,...Cm的函數(shù)：

經(jīng)過(guò)一系列處理，可以得到CR=0，將這些概率代入式（23）、式（26），可以得到：

所有的狀態(tài)概率之和必須滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)方程：

由式（45）～式（47）可以得到 1+s+t個(gè)方程組成的方程組，其中只有s+t+1個(gè)方程是與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。而未知數(shù)Cm（CR=0）也正好是1+s+t個(gè)，求解這個(gè)方程組，即可得到Cm。

3 求解方法

（1） 求解式（16），得到的所有根 Km（m=1，...，R）。

（2） 每個(gè) Km可以產(chǎn)生一組 Xm、Ui,m、Dj,m， 通過(guò)式（17），求得 Xm、Ui，m、Dj、m。

（3） 求解由式（45）～式（47）組成的方程組，得到：Cm（m=1，...，R）。

（4） 通過(guò)式（28）～式（44），分別得到內(nèi)部狀態(tài)概率和邊界狀態(tài)概率。

（5） 通過(guò)式（2）～式（4），得到系統(tǒng)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)E1、E2、n。

4 數(shù)據(jù)仿真

多故障模型方法針對(duì)性能指標(biāo)的準(zhǔn)確性，與Gershwin,S.B.［7］的單一故障模型分析作一對(duì)比。在基于單故障模型的分析方法中，每一臺(tái)機(jī)器只有一種故障模式，而基于多故障模型的分析方法中，每一臺(tái)機(jī)器有兩種故障模式。

4.1 仿真參數(shù)

故障率和維修率之間的關(guān)系：

器故障率，ri代表機(jī)器維修率。

上下游機(jī)器的運(yùn)行效率

可以得到上游機(jī)器的平均故障率、維修率和下游機(jī)器的平均故障率、維修率，也即單一故障模型的求解所需要的參數(shù)［7］。

4.2 仿真結(jié)果

圖2中，虛線(xiàn)代表基于多故障雙設(shè)備模型生產(chǎn)能力的解析結(jié)果，星型線(xiàn)代表基于單故障雙設(shè)備模型生產(chǎn)能力的解析結(jié)果［7］。圖2為平均產(chǎn)量與上游機(jī)器故障率ru1的關(guān)系圖。圖3為緩存區(qū)庫(kù)存水平與上游機(jī)器故障率ru1的關(guān)系圖。其中，rd1=0.09，rd2=0.09，pu1=pu2=0.005，eu=0.9，pd1=pd2=0.005，ed=0.9，N=10，ru=0.09，ru2隨著ru1而變化，也即ru2可以用ru1和ru表示，這樣，就可以得到系統(tǒng)性能隨自變量ru1的變化關(guān)系。

▲圖2 平均產(chǎn)量與上游機(jī)器故障率ru1的關(guān)系圖

▲圖3 緩存區(qū)庫(kù)存水平與上游機(jī)器故障率ru1的關(guān)系圖

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，可以看出，基于多故障雙設(shè)備模型生產(chǎn)能力的解析方法得到的平均產(chǎn)量會(huì)隨著上游機(jī)器維修率的變化而變化，當(dāng)上游機(jī)器兩種故障狀態(tài)維修率相等時(shí)（ru1=ru2=0.09），系統(tǒng)的平均生產(chǎn)率達(dá)到最大，緩存區(qū)庫(kù)存水平最小；當(dāng)＜0.09時(shí)，平均產(chǎn)量隨著ru1的增大而增大，緩存區(qū)庫(kù)存水平隨著ru1的增大而減??；當(dāng) ru1＞0.09時(shí)，平均產(chǎn)量隨著ru1的增大而減小，緩存區(qū)庫(kù)存水平隨著ru1的增大而增大。而基于單故障雙設(shè)備模型生產(chǎn)能力的解析方法得到的平均產(chǎn)量圖和緩存區(qū)的庫(kù)存水平不會(huì)隨著上游機(jī)器維修率的變化而變化，只得到了近似解，這說(shuō)明本解析方法更準(zhǔn)確可靠。

5 結(jié)論

筆者以多故障雙設(shè)備模型為主要研究對(duì)象，受Tulliotolio［14］所提模型的啟發(fā)，結(jié)合對(duì)馬爾可夫鏈和內(nèi)部狀態(tài)及邊界狀態(tài)的變遷關(guān)系的分析，提出了一種對(duì)多故障雙設(shè)備模型生產(chǎn)能力的解析方法。對(duì)上下游均有兩種故障方式的模型做出了具體的分析，并將本解析方法與基于單故障模式解析方法所得結(jié)果相比較，結(jié)果顯示，在多故障模式下，本解析方法更準(zhǔn)確可靠。

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