韓 劍， 蔣 奎， 齊 勇

(1. 裝甲兵工程學(xué)院裝備指揮與管理系， 北京 100072;2. 河北軌道運(yùn)輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河北 石家莊 050022； 3. 空軍工程大學(xué)校務(wù)部， 陜西 西安 710051)

多網(wǎng)系綜魯棒性解析計(jì)算

韓 劍1， 蔣 奎2， 齊 勇3

(1. 裝甲兵工程學(xué)院裝備指揮與管理系， 北京 100072;2. 河北軌道運(yùn)輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河北 石家莊 050022； 3. 空軍工程大學(xué)校務(wù)部， 陜西 西安 710051)

多網(wǎng)系綜； 滲流； 解析計(jì)算方法

網(wǎng)絡(luò)(因特網(wǎng)、航路網(wǎng)和電力網(wǎng))功效的發(fā)揮顯著依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)之間的連接關(guān)系。隨著網(wǎng)絡(luò)間的依賴(lài)性增強(qiáng)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性提出了更高要求。目前,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究主要針對(duì)單個(gè)孤立網(wǎng)絡(luò)，較少考慮網(wǎng)絡(luò)之間的依賴(lài)關(guān)系;但由于現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)已變得越來(lái)越相互依賴(lài)，有關(guān)相互依賴(lài)的耦合網(wǎng)系(依賴(lài)網(wǎng)絡(luò))的研究也取得了一定進(jìn)展。依賴(lài)網(wǎng)絡(luò)具有如下基本特點(diǎn)：當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的若干節(jié)點(diǎn)失效時(shí)，可引起其他網(wǎng)絡(luò)中的依賴(lài)節(jié)點(diǎn)也發(fā)生失效，從而導(dǎo)致更進(jìn)一步地?fù)p毀，甚至造成全局范圍的級(jí)聯(lián)失效。Buldyrev等[1]通過(guò)級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象，對(duì)2個(gè)交互網(wǎng)絡(luò)的魯棒性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)面對(duì)隨機(jī)失效時(shí)，依賴(lài)網(wǎng)絡(luò)比獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)更加脆弱。Erdos等[2]對(duì)2個(gè)部分依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)所構(gòu)成的網(wǎng)系進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)部分節(jié)點(diǎn)功能的發(fā)揮并不直接依賴(lài)于其他網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，且稱(chēng)這類(lèi)節(jié)點(diǎn)為完全自治節(jié)點(diǎn)。

現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)通常包括2個(gè)以上的彼此相互依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)，由多個(gè)相互依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系綜簡(jiǎn)稱(chēng)“網(wǎng)系”，如由通信、油料、金融事務(wù)、能源站構(gòu)成的基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)。因此對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)，必須考慮各網(wǎng)絡(luò)之間的相互依賴(lài)性對(duì)網(wǎng)系魯棒性的影響。

網(wǎng)系魯棒性研究主要應(yīng)用滲流理論，筆者基于滲流理論提出了一種針對(duì)網(wǎng)系魯棒性的解析計(jì)算方法，該方法也適用于文獻(xiàn)[1]中n=1,2的情況。當(dāng)n=1時(shí)，滲流變換為二階變換；當(dāng)n>1時(shí)，發(fā)生級(jí)聯(lián)失效并引起一級(jí)變換。

1 多網(wǎng)系綜的圖形化表示

網(wǎng)系圖形化表示形式如圖1所示。圖中：圓圈為網(wǎng)絡(luò)，箭頭指向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)之間的依賴(lài)關(guān)系；qi1為網(wǎng)絡(luò)1中依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)i的節(jié)點(diǎn)比例，且qi1∈[0,1]，當(dāng)完全依賴(lài)時(shí)，qi1=1?？梢?jiàn)：網(wǎng)系拓?fù)鋱D中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，每條邊都為一對(duì)網(wǎng)絡(luò)之間的依賴(lài)關(guān)系。

圖1 網(wǎng)系圖形化表示形式

假設(shè)網(wǎng)系中包含n個(gè)相互依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)，其中網(wǎng)絡(luò)i有Ni個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間通過(guò)連接邊實(shí)現(xiàn)互聯(lián)；網(wǎng)絡(luò)i中有確定比例qji>0的節(jié)點(diǎn)直接依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)，則網(wǎng)絡(luò)i和網(wǎng)絡(luò)j就組成了一個(gè)部分依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)對(duì)。網(wǎng)絡(luò)對(duì)之間的依賴(lài)關(guān)系是單向的，且由網(wǎng)絡(luò)j指向網(wǎng)絡(luò)i，若網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)發(fā)生失效，依賴(lài)于該失效節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)i中的節(jié)點(diǎn)也將失效，如：網(wǎng)絡(luò)i為包含各種通信設(shè)備的通信網(wǎng)，網(wǎng)絡(luò)j為指揮關(guān)系網(wǎng)，則網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)要發(fā)揮指揮功能，實(shí)現(xiàn)各節(jié)點(diǎn)之間指揮信息的傳遞就需要得到網(wǎng)絡(luò)i中通信設(shè)備的支持；否則網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)無(wú)法接收和發(fā)送指揮信息，也就不能發(fā)揮指揮功能。

2 解析計(jì)算方法

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)遭受蓄意攻擊或隨機(jī)失效后，網(wǎng)絡(luò)i中還剩下比例為pi的節(jié)點(diǎn)，且只有最大連接網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)可發(fā)揮作用，這將導(dǎo)致級(jí)聯(lián)失效：網(wǎng)絡(luò)i中不屬于最大連接網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)將引發(fā)其他網(wǎng)絡(luò)中依賴(lài)于該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)失效；而這些失效的節(jié)點(diǎn)又反過(guò)來(lái)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)i在更大范圍失效。

盡管各種特定情況的級(jí)聯(lián)失效和每個(gè)網(wǎng)絡(luò)最終的最大連接子網(wǎng)可通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)確定，但在簡(jiǎn)化假設(shè)條件下求出解析解非常重要，這是因?yàn)榻馕鼋饪勺鳛檎鎸?shí)情況仿真解的參考標(biāo)準(zhǔn)。

筆者主要研究多網(wǎng)系中網(wǎng)絡(luò)之間依賴(lài)關(guān)系根據(jù)度分布Pi(k)大小隨機(jī)連接的情況。Pi(k)為網(wǎng)絡(luò)i中節(jié)點(diǎn)度為k的概率。為了求得解析解，作如下假設(shè)[3]：1)唯一性條件，網(wǎng)絡(luò)i中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)a只依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)b；2)無(wú)反饋條件，若網(wǎng)絡(luò)i中的節(jié)點(diǎn)a依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)b，且網(wǎng)絡(luò)j中的節(jié)點(diǎn)b反過(guò)來(lái)又依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)i中的節(jié)點(diǎn)c，則節(jié)點(diǎn)c和a必須是同一個(gè)節(jié)點(diǎn)。于是可得到與基爾霍夫等式相類(lèi)似的迭代方程P∞,i=xigi(xi)，式中：xi為在經(jīng)受初始失效和級(jí)聯(lián)效應(yīng)后，不考慮網(wǎng)絡(luò)i內(nèi)部連接變化所導(dǎo)致的進(jìn)一步失效時(shí),網(wǎng)絡(luò)i中剩余的節(jié)點(diǎn)比例;gi(xi)為最大連接子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)占剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。gi(xi)函數(shù)可用度分布Pi(k)的生成函數(shù)來(lái)表示，即

(1)

式中：Mi為第i個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最大節(jié)點(diǎn)度。

對(duì)生成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行歸一化處理可得：

(2)

依據(jù)單網(wǎng)滲流理論可得[4]：gi(xi)=1-Gi(1-xi(1-fi))，其中輔助函數(shù)fi=Hi(1-xi(1-fi))。

xi可表示為

(3)

式中：K為網(wǎng)絡(luò)i所依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)數(shù)量；yji為除網(wǎng)絡(luò)i外，網(wǎng)絡(luò)j所依賴(lài)的網(wǎng)絡(luò)通過(guò)依賴(lài)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)j進(jìn)行級(jí)聯(lián)影響后，網(wǎng)絡(luò)j中剩余的節(jié)點(diǎn)比例。

式(3)也可表示為

(4)

經(jīng)過(guò)級(jí)聯(lián)失效后，網(wǎng)絡(luò)j中的剩余節(jié)點(diǎn)比例xj為確定的，即

xj=yji[qijyijgi(xi)-qij+1]，

(5)

式中：[qijyijgi(xi)-qij+1]為網(wǎng)絡(luò)i對(duì)網(wǎng)絡(luò)j產(chǎn)生級(jí)聯(lián)影響后所剩余的節(jié)點(diǎn)比例。則

yji=xj/[qijyijgi(xi)-qij+1]，

(6)

這是考慮無(wú)反饋條件時(shí)得出的結(jié)論。如果不考慮無(wú)反饋條件，式(6)可簡(jiǎn)化為yji=xj。

利用式(4)、(6)可得到若干不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)系數(shù)值解。雖然所有的解析結(jié)果都比計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果小，但誤差并不大，吻合度較高。本文研究的解析和仿真網(wǎng)系中，網(wǎng)絡(luò)數(shù)量n≤10，且每個(gè)網(wǎng)絡(luò)都包含106的節(jié)點(diǎn)數(shù)[5]。

值得一提的是：若n=2，由式(6)可得y12=p1，y21=p2，則式(4)可以簡(jiǎn)化為

x1=p1[p2q21g2(x2)-q21+1]，

(7)

x2=p2[p1q12g1(x1)-q12+1]。

(8)

針對(duì)圖1(a)所示的無(wú)環(huán)樹(shù)型網(wǎng)系，設(shè)所有成對(duì)的連接網(wǎng)絡(luò)間都是完全依賴(lài)關(guān)系，且滿(mǎn)足無(wú)反饋條件，則網(wǎng)系中所有依賴(lài)網(wǎng)絡(luò)間的節(jié)點(diǎn)都構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，隨機(jī)移除網(wǎng)系每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中比例為1-pi個(gè)節(jié)點(diǎn)，就等價(jià)于從某個(gè)網(wǎng)絡(luò)中一次性隨機(jī)移除的節(jié)點(diǎn)比例，即

(9)

式中：p為剩余節(jié)點(diǎn)比例

由式(4)、(6)可得xigi(xi)=xjgj(xj)=P∞，可見(jiàn)樹(shù)型網(wǎng)系中所有網(wǎng)絡(luò)的最大連接子網(wǎng)大小都相等。從網(wǎng)絡(luò)中單連通節(jié)點(diǎn)開(kāi)始依次計(jì)算yij，可得

(10)

式中:xi=P∞/gi(xi)。

3 3種典型網(wǎng)系中的應(yīng)用

以完全依賴(lài)的樹(shù)型網(wǎng)系、部分依賴(lài)的星型網(wǎng)系和部分依賴(lài)的環(huán)型網(wǎng)系3種典型的網(wǎng)系為示例，進(jìn)行解析分析。

3.1 完全依賴(lài)的樹(shù)型網(wǎng)系

(11)

fc=exp[(fc-1)/nfc]。

(12)

式(10)可應(yīng)用Satorras等[7]提出的蘭伯特函數(shù)W(x)來(lái)描述，即fc=-[nW(-1/n)e-(1/n)]-1。

當(dāng)fc已知時(shí)，即可求得

(13)

(14)

圖2 不同值下pc隨n變化的情況

(15)

圖min隨n值變化的情況

(16)

式(16)的解對(duì)所有樹(shù)型網(wǎng)系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都是有效的。P∞隨p和n變化的情況如圖4所示。

圖4 P∞隨p和n值變化的情況

由圖4可知：1)當(dāng)n=1時(shí)，P∞的變化遵循ER單個(gè)網(wǎng)絡(luò)的二級(jí)滲流規(guī)律[9]；2)當(dāng)n>1時(shí)，P∞的變化遵循一級(jí)滲流規(guī)律，即P∞在閾值pc處表現(xiàn)出不連續(xù)性。對(duì)于由無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)組成的完全依賴(lài)的樹(shù)型網(wǎng)系，將無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成函數(shù)代入式(10)，可得如圖5所示的數(shù)值解。

圖5 完全依賴(lài)的樹(shù)型無(wú)標(biāo)度網(wǎng)系的P∞隨p和n值變化的情況

3.2 部分依賴(lài)的星型網(wǎng)系

(17)

(18)

由P∞,i、gi和fi的定義可得:

(19)

通過(guò)求解式(18)，可得f1和f2，然后代入式(19)即可求得中心節(jié)點(diǎn)的最大連接子網(wǎng)值P∞,1和其他節(jié)點(diǎn)的P∞,2。

圖6 部分依賴(lài)的星型網(wǎng)系中心網(wǎng)絡(luò)P∞,1隨p和n值變化的情況

若該星型網(wǎng)系是完全依賴(lài)的，即q=1且f1=f2，則式(18)、(19)可簡(jiǎn)化為式(16)。式(16)適用于qij=1的樹(shù)型網(wǎng)系；式(18)、(19)適用于qij<1的星型網(wǎng)系。因此與完全依賴(lài)網(wǎng)系相比，部分依賴(lài)網(wǎng)系的每種樹(shù)型拓?fù)渌鶎?duì)應(yīng)的解析解是不同的，其可通過(guò)式(5)、(6)得到。

3.3 部分依賴(lài)的環(huán)型網(wǎng)系

(20)

當(dāng)q=1時(shí)，式(20)只有唯一解P∞=0；當(dāng)q=0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)間彼此沒(méi)有相互依賴(lài)關(guān)系，則P∞將是單個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最大連接子網(wǎng)。圖7為q=0.2, 0.8時(shí)，部分依賴(lài)的環(huán)型網(wǎng)系P∞隨p變化的情況。

圖7 部分依賴(lài)的環(huán)型網(wǎng)系P∞隨p變化的情況

4 結(jié)論

筆者提出了一個(gè)應(yīng)用于多個(gè)依賴(lài)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系綜魯棒性的解析計(jì)算方法，該方法為研究不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)系滲流現(xiàn)象提供了參考。

1) 式(5)、(6)可用來(lái)研究由任一度分布網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的不同類(lèi)型網(wǎng)系的滲流現(xiàn)象。而單個(gè)網(wǎng)絡(luò)滲流現(xiàn)象是依賴(lài)網(wǎng)絡(luò)滲流的特例。

2) 對(duì)完全依賴(lài)的樹(shù)型網(wǎng)系、部分依賴(lài)的星型網(wǎng)系和環(huán)型網(wǎng)系，分別應(yīng)用魯棒性解析計(jì)算方法進(jìn)行了剖析。式(16)、(19)和(20)分別為由n個(gè)相互依賴(lài)的ER網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的3種網(wǎng)系的解析式。

[1] Buldyrev S V, Parshani R, Stanley P G, et al. Catastrophic Cascade of Failures in Interdependent Networks[J].Nature, 2010, 4(7):1025-1028.

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(責(zé)任編輯: 王生鳳)

Analytic Calculation Method of Multiplex Networks Robustness

HAN Jian1, JIANG Kui2, QI Yong3

(1. Department of Equipment Command and Administration, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China;2. Heibei Vocational College of Rail Transportation, Shijiazhuang 050022, China;3. Department of Affairs, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

multiplex networks; percolation; analytical solution

1672-1497(2015)06-0102-05

2015-09-27

軍隊(duì)科研計(jì)劃項(xiàng)目

韓 劍(1986-)，男，博士研究生。

O189

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.06.020