汪健龍

(蘭州交通大學機電工程學院，甘肅蘭州 730070)

0 引言

機械系統(tǒng)中的零部件往往存在著間隙，在外激勵的作用下，零部件之間會發(fā)生碰撞、摩擦，從而影響工作人員的舒適度與設備的壽命。因此，有必要對碰撞問題進行研究，以便機械系統(tǒng)工作在最理想狀態(tài)。近年來，國內(nèi)外許多學者在這一方面展開了研究。Wen［1］等以兩自由度碰撞系統(tǒng)為研究對象，分析了系統(tǒng)由周期倍化分岔［2］、概周期分岔向混沌轉(zhuǎn)遷的過程。Wagg［3］在粘滯的條件下考慮了兩自由度碰撞振子的分岔類型。馬永靖［4］等研究了三自由度碰撞系統(tǒng)在四階強共振情形下Hopf分岔和次諧分岔以及向混沌的演化過程。文獻［5］、［6］針對因周期運動［7］失穩(wěn)而出現(xiàn)的Hopf－flip余維二分岔，分析了在共振與非共振情形下的動力學特性。

文中以工程實際中常見的碰撞系統(tǒng)為力學模型，運用解析法求得其周期解?；赑oincaré映射理論，通過計算機編程仿真了沖擊碰撞系統(tǒng)的概周期運動、余維二分岔及混沌演化過程。

1 系統(tǒng)的動力學模型及其周期運動

如圖1所示是一類沖擊碰撞系統(tǒng)的力學模型，它可以是工程實際中許多碰撞問題的簡化。質(zhì)量分別為M1、M2的振子通過剛度為K2/2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C2/2的線性阻尼器連接在一起。振子M1、M3又通過剛度分別為K1、K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1、C3的線性阻尼器連接于固定面。三個振子受到大小為 Pisin(ΩT+τ)(i=1，2，3)的簡諧激振力，它們只在水平方向來回運動。當X1－X3=Δ時，振子M1將與振子M3發(fā)生碰撞。文中的阻尼為Rayleigh型比例阻尼;Δ為系統(tǒng)處于平衡位置時，振子M1與振子M3之間的間隙;碰撞過程取決于碰撞恢復系數(shù)R，忽略碰撞持續(xù)時間。

圖1 三自由度沖擊碰撞系統(tǒng)模型圖

無量綱變換后系統(tǒng)(x1－x3＜δ)的運動微分方程為:

在方程(1)和(2)中，“·”表示對時間t求導數(shù)。無量綱量如下:

x1－x3=δ時，M1和M3發(fā)生碰撞，質(zhì)塊M1和M3的沖擊方程及碰撞恢復系數(shù)R為:

將ψ作為變換矩陣，進行坐標變換:

從而方程(1)可以解耦為:

設方程的通解形式如下(i=1，2):

式中:ψij為正則模態(tài)矩陣 ψ 的元素;ηj= ζωj，ωdj=Aj和 Bj為振幅常數(shù)(j=1，2)，可通過將穩(wěn)態(tài)解回代式(7)求得A3，B3可同樣解得。由系統(tǒng)周期運動的邊界條件，可以解出積分常數(shù) aj、bj(j=1，2，3)及相位角 τ。

2 碰振系統(tǒng)的Poincaré映射、分岔及混沌

在以上周期運動的基礎上，來考慮系統(tǒng)的擾動方程。對于圖1表示的受擾運動，令質(zhì)塊M1與質(zhì)塊M3碰撞后瞬時t=0，則兩振子再次碰撞前瞬時，時間t=2nπ/ω，Δθ=Δτ'－Δτ。

令 te=(2nπ+Δθ)/ω，通常情況下，為了分析系統(tǒng)的動力學問題，要建立Poincaré截面。在這里，選擇Poincaré截面σ為:

將邊界條件(t=te)代入到擾動方程可確定Poincaré映射，簡要地表示為:

式中:ν∈R 表示分岔參數(shù)，它可以是 ω，R，δ，μm2，ζ，μm3，μk2，μc3等參數(shù)中的任何一個。

選擇一組無量綱系統(tǒng)參數(shù)值:

um3=1.5，um2=0.44，uk2=1.15，uc3=0.8，uk3=1.05，ζ=0.001，R=0.65，δ=0.025，將激勵頻率 ω 作為分岔參數(shù)。當特征值全部位于單位圓內(nèi)部時，系統(tǒng)的周期運動處于穩(wěn)定狀態(tài)。當ω減小到ωc=1.307時，一對復共軛特征值從非常接近(0，±i)處穿越圓周，剩余的特征值都位于單位圓內(nèi)部，滿足四階強共振條件下的亞諧分岔，如圖2。

圖2 特征值穿越圖

數(shù)值仿真結(jié)果表明:當分岔參數(shù)ω＜ωc=1.307時，沖擊碰撞系統(tǒng)具有穩(wěn)定的q=1/1周期運動。隨著ω減小穿越ωc時，穩(wěn)定的q=1/1周期運動失穩(wěn)發(fā)生亞諧分岔，出現(xiàn)四條“軌道”形成q=4/4不動點，如圖3(a)。當ω=1.3063時，q=4/4不動點發(fā)生周期倍化形成了q=8/8周期運動，如圖3(b)。伴隨著ω繼續(xù)減小，q=8/8周期運動將失穩(wěn)分岔出T18/8環(huán)，如圖3(c)。緊接著ω=1.3057時，T18/8環(huán)發(fā)生了環(huán)面倍化分岔出2T18/8環(huán)，如圖3(d)。碰撞系統(tǒng)最終經(jīng)環(huán)面倍化演化為混沌，如圖3(e)、(f)所示。

選擇另一組無量綱系統(tǒng)參數(shù)值:

um3=1.71，um2=0.64，uk2=1.15，uc3=1.08，uk3=0.016，ζ=0.002，R=0.685，δ=0.02。同樣選擇 ω為分岔參數(shù)，ω＞ωc=1.249時，特征值全部在單位圓的內(nèi)部，此時系統(tǒng)的周期運動呈穩(wěn)定狀態(tài)。隨著ω減小至ωc=1.249時，有一對復共軛特征值和一個－1的實特征值橫截單位圓周，剩下的特征值都位于單位圓內(nèi)部，穿越趨勢見圖4，由判斷條件可知滿足Hopf－flip余維二分岔，圖5為Poincaré映射投影圖。

圖3 Poincaré映射投影圖

圖4 特征值穿越圖

圖5 Poincaré映射投影圖

數(shù)值仿真過程中，當ω＞ωc=1.249時，碰撞系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的q=1/1周期運動，當ω=1.247時，q=1/1周期運動經(jīng)倍化分岔形成了q=2/2周期運動，如圖5(a);當ω繼續(xù)減小時，q=2/2周期運動發(fā)生Hopf分岔，出現(xiàn)兩個概周期吸引子即T12/2環(huán)，過程如圖5(b)、(c);當激振頻率ω進一步遠離分岔值時，發(fā)生環(huán)分岔生成3T12/2環(huán)，如圖5(d);ω =1.239 時，又經(jīng)過環(huán)面倍化出現(xiàn)6T12/2環(huán)，如圖 5(e);其后，ω =1.238時，運動狀態(tài)轉(zhuǎn)遷為混沌運動，如圖5(f)。

3 結(jié)論

在強共振情形下，三自由度沖擊碰撞系統(tǒng)可以發(fā)生次諧分岔，形成四條“軌道”，又經(jīng)倍化分岔演化為混沌。

選定恰當?shù)膮?shù)，該系統(tǒng)也可發(fā)生余維二分岔，先倍化后發(fā)生Hopf分岔，即存在q=2/2周期運動的Hopf分岔，并且其中也存在環(huán)分岔現(xiàn)象。

通過以上的分析，可以為實際機械系統(tǒng)的動力學優(yōu)化設計提供參數(shù)依據(jù)，可盡量避免共振點與多“軌道”，以免機械設備受損。

［1］ Wen G L，Xie J H.Period－doubling Bifurcation and Non－typical route to Chaos of a Two－degree－of－freedom Vibro－impact System［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，2001，68(4):670 －674.

［2］ 張永燕.一類三自由度含間隙系統(tǒng)的動力學分析［J］.機械研究與應用，2012(1):9－11.

［3］ Wagg D J.Periodic Sticking Motion in a Two－degree－of－freedom Impact Oscillator［J］.Int.J.Non – Linear.Mech，2005，40(8):1076－1087.

［4］ 馬永靖，丁旺才.碰撞振動系統(tǒng)四階共振下的Hopf分岔和次諧分岔［J］.工程力學，2007，24(7):33－38.

［5］ 羅冠煒，張艷龍，張建剛，等.沖擊振動成型機周期運動的Hopf－flip余維二分岔與混沌［J］.工程力學，2007，24(9):140－147.

［6］ 鄭小武.一類周期系數(shù)力學系統(tǒng)的Hopf－flip分岔［J］.振動工程學報，2007，20(4):412－416.

［7］ 張彥梅，陸啟韶，李群宏.一類雙自由度碰振系統(tǒng)的亞諧周期運動存在性［J］.動力學與控制學報，2003，1(1):39－34.