譚 禎， 李朝峰 ， 太興宇， 聞邦椿

(1.沈陽廣播電視大學(xué)理工學(xué)院 沈陽，110003) (2.東北大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院 沈陽，110819)

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轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)局部邊界參數(shù)識別方法*

譚 禎1，2， 李朝峰2， 太興宇2， 聞邦椿2

(1.沈陽廣播電視大學(xué)理工學(xué)院 沈陽，110003) (2.東北大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院 沈陽，110819)

為了提高實際工程中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)某一局部結(jié)構(gòu)的動力特性和計算效率，便于局部振動分析并簡化系統(tǒng)建模，提出了一種局部約束參數(shù)識別方法?？紤]系統(tǒng)各部件間的耦合效應(yīng)，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸和盤片結(jié)構(gòu)進行分解，建立子系統(tǒng)與主系統(tǒng)。通過動力學(xué)方程推導(dǎo)，獲得局部求解，識別子系統(tǒng)與主系統(tǒng)的邊界單元約束剛度與阻尼。通過識別的約束剛度阻尼建立子系統(tǒng)，計算其各個節(jié)點的響應(yīng)，并將其與整體模型的對應(yīng)節(jié)點響應(yīng)結(jié)果進行對比驗證，證明了該方法的可行性。該方法為旋轉(zhuǎn)構(gòu)件局部結(jié)構(gòu)的建模與振動分析提供了便利。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)； 參數(shù)識別； 動力學(xué)模型； 剛度； 阻尼

引言

旋轉(zhuǎn)機械中的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)中通常由多個轉(zhuǎn)子和多個零部件配合組成，系統(tǒng)較為復(fù)雜且各個部件之間有強烈的耦合效應(yīng)。為設(shè)計和研制機械結(jié)構(gòu)，了解其工作狀況下的特性，不僅要對盤片建模，還需要建立整機有限元模型，分析其振動效應(yīng)和動力特性[1-5]。對整機及組件的建模，零件和零件之間的聯(lián)接是通過限制邊界條件來實現(xiàn)。將整個結(jié)構(gòu)建立模型進行分析計算，會給建模帶來很大困難，也會使整機有限元模型的自由度過于龐大，耗費較多時間和資源，造成研制費昂貴、設(shè)計周期長等問題。文獻[6]研究了支承及非支承機匣系統(tǒng)中空心幅板類零部件、孔類零部件和附件等典型結(jié)構(gòu)在整機建模中結(jié)構(gòu)簡化的處理方法。毛文哲等[7]通過有限元方法建立連接剛度的體單元、加厚板單元和多點約束單元等有限元分析模型，對比了不同建模方式對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響。曾嫣等[8]對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸系關(guān)鍵部件進行簡化，建立轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型。以上研究均是對不同結(jié)構(gòu)建模方式進行簡化，以達到簡化整體模型的目的，忽略了動態(tài)連接剛度的影響。筆者通過識別局部位置參數(shù)來建立子系統(tǒng)，簡化整體模型，考慮了在不同轉(zhuǎn)速、不同位置下連接剛度的變化。左曙光等[9]為研究橡膠襯套軸向靜、動態(tài)特性，提出一種模型，并通過試驗結(jié)果識別動剛度和阻尼系數(shù)。文獻[10]對有限元模型的支承位置進行剛度識別，為本研究的參數(shù)識別提供了依據(jù)。

筆者提出了一種局部約束參數(shù)識別的方法，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸和盤片結(jié)構(gòu)分解成多個子系統(tǒng)，并考慮其各個子系統(tǒng)之間的耦合效應(yīng)。在子系統(tǒng)中將一組單元用矩陣凝聚為一個單元，對約束部分的局部單元參數(shù)進行識別，識別后的參數(shù)可對子系統(tǒng)單獨建模分析。同時可將多個子系統(tǒng)建立連接，簡化整個系統(tǒng)的建模過程，減少計算分析時間。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型

筆者以一典型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)模型來實現(xiàn)和驗證局部邊界參數(shù)識別方法對簡化系統(tǒng)建模的可行性。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)為：轉(zhuǎn)子軸半徑r=10 mm，長度l=330 mm，轉(zhuǎn)盤外徑R=50 mm，轉(zhuǎn)盤厚度H=20 mm。圖1為經(jīng)過離散后的有限元模型圖，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征將其分為12個單元、13個節(jié)點。支承分別在第2和第12節(jié)點處，轉(zhuǎn)盤質(zhì)心位于第7節(jié)點處。圖中圓點表示節(jié)點，每一小段表示一個單元。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動方程可以表示為

(1)

其中：M為整體系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Q為位移響應(yīng)；F為不平衡力。

系統(tǒng)中的材料阻尼以Rayleigh阻尼形式定義為

D=αM+βK

(2)

簡支系統(tǒng)固有頻率(圓頻率)第1階為807 rad/s，第2階為5 312 rad/s，阻尼系數(shù)ζ1為0.05，ζ2為0.08。

圖1 柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型Fig.1 Finite element model of flexibility rotor system

2 轉(zhuǎn)子模型邊界參數(shù)識別的推導(dǎo)

為簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)并考慮各個系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，將系統(tǒng)的動力學(xué)方程根據(jù)其邊界單元的位置將式(1)分解，建立子系統(tǒng)，獲得局部求解，再組集到整個求解中。分解時將系統(tǒng)的節(jié)點位移分成兩組：第1組是同子系統(tǒng)或單元共用，具有位移協(xié)調(diào)關(guān)系，屬于邊界節(jié)點位移，用下標1表示；第2組是與子系統(tǒng)或單元沒有位移協(xié)調(diào)關(guān)系，用下標2表示，邊界單元包含子系統(tǒng)單元的結(jié)構(gòu)力和邊界的約束力。將第1組節(jié)點剛度阻尼分解出邊界約束剛度項和阻尼項，分別為Kq，Cq，式(1)可分解為

(3)

設(shè)式(1)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為Q=qcosωt+psinωt，F(xiàn)=Acosωt+Bsinωt。其中：ω表示旋轉(zhuǎn)角頻率。代入式(3)得

(4)

其中：

(5)

求解參數(shù)為Kq，Cq，A2，B2，式(5)中4個方程求解8個未知數(shù)，采用最小二乘法求解不同轉(zhuǎn)速建立的方程。將識別得到的約束剛度和阻尼與結(jié)構(gòu)剛度和材料阻尼進行組集，得到子系統(tǒng)的整體剛度阻尼矩陣。

如需要分析子系統(tǒng)的振動工作特性，可通過該方法識別的整體剛度阻尼矩陣建立子系統(tǒng)有限元模型，簡化建模的復(fù)雜程度。

將式(4)進一步演化，得

(6)

HBXqp=XAB

(7)

將上述等式反復(fù)賦給不同的子系統(tǒng)，則整個系統(tǒng)的剛度阻尼矩陣為

(8)

一旦計算出邊界節(jié)點或子系統(tǒng)節(jié)點位移，則所有子系統(tǒng)的位移和應(yīng)力便可求出。由于邊界剛度阻尼矩陣HB的階數(shù)遠小于子系統(tǒng)剛度阻尼矩陣的階數(shù)，使得最后組集各個子系統(tǒng)所得到的結(jié)構(gòu)剛度阻尼矩陣的階數(shù)大大降低，故該方法可應(yīng)用于大型轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的振動問題分析。

3 局部模型參數(shù)識別

3.1 模型的建立

圖2 子系統(tǒng)模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of subsystem model

設(shè)圓盤的初始不平衡量為5×10-4g·m，偏心初始相位φ1=φ2=0，相位差為Δφ=0，施加不平衡載荷，設(shè)置不同轉(zhuǎn)速，計算得到各節(jié)點在不同轉(zhuǎn)速下的位移響應(yīng)，為參數(shù)的識別提供條件。

3.2 基于模型振動響應(yīng)的局部位置參數(shù)識別

為獲得算例中邊界節(jié)點的約束剛度和阻尼數(shù)值，實現(xiàn)局部位置參數(shù)的識別，完成系統(tǒng)建模，筆者按照介紹的動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程，分別建立子系統(tǒng)有限元模型和整體有限元模型，子系統(tǒng)在阻尼計算中采用默認值設(shè)置邊界條件，計算子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的臨界轉(zhuǎn)速。子系統(tǒng)1的1階臨界轉(zhuǎn)速為2 325 rad/s，2階臨界轉(zhuǎn)速為10 696 rad/s，子系統(tǒng)2的1階臨界轉(zhuǎn)速為1 258 rad/s，2階臨界轉(zhuǎn)速為7 358 rad/s。為了考慮高階臨界轉(zhuǎn)速對識別參數(shù)的影響，設(shè)定該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速從100 rad/s～12 000 rad/s變化。通過動力響應(yīng)計算，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)邊界節(jié)點的位移響應(yīng)，識別出位移響應(yīng)系數(shù)。將諧響應(yīng)計算的結(jié)果導(dǎo)入識別計算程序中，求得Xqp。使用最小二乘法，通過式(5)求得邊界單元的約束剛度和阻尼。將邊界單元的結(jié)構(gòu)剛度和材料阻尼與識別所得的約束剛度和阻尼進行組集，得到子系統(tǒng)的整體剛度阻尼矩陣，建立子系統(tǒng)模型。通過式(8)組集整體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型。

由于篇幅所限，列出部分關(guān)鍵轉(zhuǎn)速下的識別參數(shù)，如表1所示。繪制曲線如圖3所示。對結(jié)果進行分析發(fā)現(xiàn)，識別的參數(shù)與子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速有一定關(guān)系，與整體模型的臨界轉(zhuǎn)速關(guān)系不大。圖3中，A點轉(zhuǎn)速為1 200 rad/s，B點為1 400 rad/s，C點為2 200 rad/s，D點為2 500 rad/s，E點為1 300 rad/s，F(xiàn)點為2 300 rad/s，與子系統(tǒng)的簡支模型的臨界轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)對照，突變位置均在子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速附近。這是由于在一階臨界轉(zhuǎn)速下，彎曲方向上位移響應(yīng)突然增大。由于筆者采用的模型為對稱模型，二階振型變化不明顯，所以在二階臨界轉(zhuǎn)速附近，識別參數(shù)沒有明顯變化。

不同子系統(tǒng)變化趨勢基本相同。對于不同的子系統(tǒng)模型，子系統(tǒng)截取的軸段長度增加，其二階臨界轉(zhuǎn)速降低，剛度阻尼值產(chǎn)生突變時對應(yīng)的轉(zhuǎn)速也隨之降低。從圖3可以看出：由于圓盤位于軸的中點，所以左右邊界節(jié)點識別剛度阻尼基本相同； 在遠離一階臨界轉(zhuǎn)速下，不同子系統(tǒng)的識別參數(shù)數(shù)值接近，說明一階臨界轉(zhuǎn)速對識別參數(shù)的結(jié)果影響較大。

表1 部分識別的剛度和阻尼

圖3 隨轉(zhuǎn)速變化識別參數(shù)曲線Fig.3 The change curves of identified parameters with rotate speeds

4 結(jié)果驗證

圖4 測量點的隨轉(zhuǎn)速變化的位移幅值曲線Fig.4 The amplitudes curves of measured displacement with rotating speeds

為了比較子系統(tǒng)和整體系統(tǒng)的時域特性，并由于篇幅所限，筆者選擇了一組特殊轉(zhuǎn)速繪制子系統(tǒng)模型與整體系統(tǒng)模型對應(yīng)邊界節(jié)點的位移響應(yīng)時域圖，如圖5所示。圖例與圖4中的圖例符號含義相同。當轉(zhuǎn)速為800 rad/s時，與整體系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速806 rad/s接近，其振動幅值較大。隨著轉(zhuǎn)速的增大，響應(yīng)曲線的密度增大，振動的頻率增大，該變化趨勢與實際情況相符。在轉(zhuǎn)速為2 000 rad/s時，在子系統(tǒng)1的一階臨界轉(zhuǎn)速附近所識別的剛度產(chǎn)生突變，從而位移響應(yīng)與整體模型對應(yīng)不上，8 000 rad/s和11 000 rad/s分別與子系統(tǒng)1、子系統(tǒng)2的二階臨界轉(zhuǎn)速接近。從曲線的吻合程度可以看出，由識別參數(shù)建立的局部分析模型所得的位移響應(yīng)與整體模型位移響應(yīng)的相位與幅值等基本重合，吻合得非常理想，在其他轉(zhuǎn)速下結(jié)果均理想。

通過計算分析對比可以看出，在不同子系統(tǒng)中，不同轉(zhuǎn)速下識別剛度和阻尼數(shù)值變化趨勢基本一致，其數(shù)值與子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速關(guān)系密切。在一階臨界轉(zhuǎn)速下，識別的參數(shù)會有明顯變動。在其他轉(zhuǎn)速下，經(jīng)計算其響應(yīng)計算對比，所建立的整體模型與子系統(tǒng)模型結(jié)果基本一致，說明識別得到的剛度和阻尼基本可靠，同時也說明通過識別的約束參數(shù)建立的子系統(tǒng)能包含整體系統(tǒng)的耦合效應(yīng)，可單獨作為分析對象，實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的簡化。

圖5 測量點在不同轉(zhuǎn)速下的x方向位移響應(yīng)曲線Fig.5 The response curves of measured displacement in x with different rotating speeds

5 結(jié) 論

1) 識別的約束參數(shù)在子系統(tǒng)彈支模型的一階臨界轉(zhuǎn)速時出現(xiàn)波動，在其他轉(zhuǎn)速下變化趨勢基本一致。驗證結(jié)果表明，所識別參數(shù)可以保證子系統(tǒng)的動力響應(yīng)與原系統(tǒng)一致。

2) 由于所分析的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為一對稱結(jié)構(gòu)，因此參數(shù)識別結(jié)果在二階臨界轉(zhuǎn)速附近并沒有較大的波動，而在實際工程應(yīng)用中這種現(xiàn)象可以得到避免。

3) 該方法可以對復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行局部動力學(xué)參數(shù)識別，可為旋轉(zhuǎn)構(gòu)件局部結(jié)構(gòu)的建模與振動分析提供便利，達到節(jié)約計算資源的目的。

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*國家科技支撐計劃資助項目(2009BAG12A01-F01-3);國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(51105063)

2013-02-01；

2013-06-26

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.012

TH113

譚禎，女，1981年6月生，博士、副教授。主要研究方向為振動分析與應(yīng)用、多場耦合分析等。曾發(fā)表《不同湍流模型旋轉(zhuǎn)葉片氣固耦合動力學(xué)特性研究》(《振動與沖擊》2013年第32卷第11期)等論文。 E-mail:tanz-hen@126.com