楊 帆， 張 方

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

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動(dòng)載荷識(shí)別的小波級(jí)數(shù)分解法階次確定*

楊 帆， 張 方

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

在基于正交小波級(jí)數(shù)分解法的分布動(dòng)載荷識(shí)別過(guò)程中，由于小波級(jí)數(shù)階次的不適當(dāng)選擇，造成載荷識(shí)別的不準(zhǔn)確或計(jì)算量龐大。通過(guò)矩陣的譜分解，根據(jù)Parseval定理，信號(hào)在時(shí)域中的總能量和頻域中的總能量是相等的，給出了隨著階次的增加而趨于收斂的小波級(jí)數(shù)系數(shù)幅值的包絡(luò)線，將沒有確定解析規(guī)律的小波級(jí)數(shù)系數(shù)解析化，得到確定的小波級(jí)數(shù)階次與載荷識(shí)別相對(duì)誤差的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)實(shí)際工程需求的識(shí)別誤差等級(jí)來(lái)選取小波級(jí)數(shù)的階次，給出了待識(shí)別動(dòng)載荷級(jí)數(shù)分解時(shí)選擇階次的理論依據(jù)。計(jì)算機(jī)仿真分別采用單頻、多頻、實(shí)際載荷信號(hào)，試驗(yàn)系統(tǒng)采用沖擊載荷加載，驗(yàn)證了該定階方法的正確性和有效性，結(jié)果表明定階理論適用于不同載荷類型。

載荷識(shí)別; 級(jí)數(shù)定階; 小波級(jí)數(shù); 正交小波基; 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

引言

工程結(jié)構(gòu)上的分布動(dòng)載荷識(shí)別方法有很多，其中正交函數(shù)擬合法和小波級(jí)數(shù)分解法將復(fù)雜的分布動(dòng)載荷識(shí)別轉(zhuǎn)化成正交基函數(shù)的系數(shù)計(jì)算，將復(fù)雜的積分關(guān)系轉(zhuǎn)化成分解系數(shù)與結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)響應(yīng)信息的線性關(guān)系，識(shí)別精度高，抗噪性好[1-7]。正交基函數(shù)的階次根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和有限的響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)信息來(lái)確定[8-9]。當(dāng)工程實(shí)際要求提高精度或因?qū)嶋H條件限制必須減少響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，只能通過(guò)采用條件循環(huán)來(lái)控制擬合的階次，最終達(dá)到實(shí)際要求[10]，因此大大降低了運(yùn)算的效率。

與傅里葉變換相比，小波變換是時(shí)間和頻率的局部化聚焦。一些小波函數(shù)(如正交Marr小波)在具有和傅里葉變換正交基相同的正交小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，同時(shí)具有緊支撐性和多分辨率分析等優(yōu)良性質(zhì)。利用Marr小波函數(shù)是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，筆者采用正交Marr小波基函數(shù)對(duì)待識(shí)別載荷進(jìn)行擬合，通過(guò)對(duì)隨著階次的增加而趨于收斂的小波級(jí)數(shù)系數(shù)的觀察分析，對(duì)頻響函數(shù)和小波級(jí)數(shù)系數(shù)矩陣進(jìn)行譜分解。利用Parseval定理和Cauchy不等式，給出小波級(jí)數(shù)系數(shù)的高斯包絡(luò)線的解析形式，使得小波級(jí)數(shù)系數(shù)的幅值范圍在包絡(luò)線內(nèi)。用解析的包絡(luò)線替代未知的小波級(jí)數(shù)系數(shù)，根據(jù)實(shí)際工程對(duì)分布動(dòng)載荷識(shí)別誤差的需求，確定應(yīng)該選取的小波級(jí)數(shù)的階次。對(duì)工程常見的多頻率疊加載荷，以及具有實(shí)際價(jià)值的無(wú)解析規(guī)律的載荷進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證，給出不同誤差等級(jí)所需要的小波級(jí)數(shù)分解階次，識(shí)別出的載荷很好地控制在誤差等級(jí)范圍內(nèi)。對(duì)工程中最常見的沖擊載荷進(jìn)行同樣的試驗(yàn)驗(yàn)證以及相應(yīng)的仿真比較，結(jié)果很好地驗(yàn)證了基于小波級(jí)數(shù)分解法的動(dòng)載荷識(shí)別理論以及小波級(jí)數(shù)階次選取理論的正確性和廣泛的適用性。

1 基于小波級(jí)數(shù)分解的分布動(dòng)載荷識(shí)別理論

規(guī)范Marr小波基函數(shù)及其傅里葉變換對(duì)定義[11]為

(1)

其中：φ(t)的形式為高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

以受連續(xù)分布動(dòng)載荷的Bernoulli-Euler梁模型為例，Bernoulli-Euler梁具有均勻橫截面，材料為勻質(zhì)，對(duì)無(wú)限自由度系統(tǒng)，其研究方法與單自由度系統(tǒng)及多自由度系統(tǒng)的研究方法相同。建立動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程[10]為

(2)

其中：EI為梁的截面剛度；ρA為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；w即w(x,t)為梁的橫向變形；c0為梁的外部介質(zhì)黏性阻尼系數(shù)；c1為梁的內(nèi)阻尼系數(shù)；p(x,t)為梁所受的分布載荷。

在x點(diǎn)激勵(lì)，k點(diǎn)的響應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)[10]為

(3)

其中：ωj為梁的固有頻率；?為外部激勵(lì)頻率；φj(x)為梁振動(dòng)的固有陣型；ζj為阻尼比。

ζj和外阻尼、內(nèi)阻尼系數(shù)有如下關(guān)系

(4)

激勵(lì)與響應(yīng)在頻域中的關(guān)系為

X(ω)=H(ω)F(ω)

(5)

連續(xù)激勵(lì)與任意點(diǎn)k響應(yīng)的關(guān)系為

(6)

根據(jù)式(1)，用Marr小波對(duì)激勵(lì)力進(jìn)行擬合

(7)

將式(7)代入式(6)，得到多點(diǎn)的響應(yīng)關(guān)系式為

(8)

式(8)有實(shí)解的充要條件是測(cè)量響應(yīng)點(diǎn)個(gè)數(shù)n不小于小波基函數(shù)的階次i。式(8)記為

(9)

2 小波級(jí)數(shù)分解的階次確定原則

(10)

(11)

(12)

將式(11)代入式(12)，得到

(13)

A(t)表示小波系數(shù)向量A中的第t個(gè)元素即at，X(t)表示響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)向量X的第t個(gè)響應(yīng)點(diǎn)Xt，(t=1,2，…，n)，得到式(13)的離散形式為

(14)

對(duì)A(t)作Fourier變換，得

(15)

根據(jù)Parseval定理，時(shí)域的總能量應(yīng)等于頻域的總能量

(16)

將式(15)代入式(16)，根據(jù)Cauchy不等式得

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(17)的收斂速度，得到

(20)

(21)

圖1 12階小波級(jí)數(shù)擬合結(jié)果Fig.1 Result of wavelet series fitting with 12 orders

根據(jù)式(21)來(lái)確定階次i的取值。一般的，當(dāng)誤差精度等級(jí)越高，階次i值越大。

3 仿真驗(yàn)證

通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真對(duì)以上理論進(jìn)行驗(yàn)證。以受連續(xù)分布動(dòng)載荷的Bernoulli-Euler梁為仿真模型。梁的各參數(shù)設(shè)定為：ρA=1 kg/m，?=60 Hz，EI=0.256 649 556 2 Nm2，l=1，內(nèi)阻尼系數(shù)c1=0.1，外阻尼系數(shù)c0=0。

3.1 外激勵(lì)為多頻率疊加信號(hào)的識(shí)別

外激勵(lì)形式如p(x,t)=f(x)sin(?t)=[sin(2πf1x)+sin(2πf2x)+sin(2πf3x)]sin(?t)，f1=5 Hz,f2=10 Hz,f3=15 Hz，采用不同階次Marr小波級(jí)數(shù)擬合的識(shí)別載荷與真實(shí)載荷的對(duì)比和相對(duì)誤差如圖1～3所示。響應(yīng)信息帶10%噪聲的識(shí)別效果如圖4所示。圖5和圖6分別給出了100階Marr小波級(jí)數(shù)系數(shù)(無(wú)噪聲和帶10%隨機(jī)噪聲)的趨向。不同階次的載荷識(shí)別誤差數(shù)據(jù)見表1。

圖2 23階小波級(jí)數(shù)擬合結(jié)果Fig.2 Result of wavelet series fitting with 23 orders

圖3 49階小波級(jí)數(shù)擬合結(jié)果Fig.3 Result of wavelet series fitting with 49 orders

圖5 多頻率疊加信號(hào)的小波級(jí)數(shù)系數(shù)趨向Fig.5 The tendency of wavelet series coefficient in fitting multi-frequency load signal

圖4 12階小波級(jí)數(shù)擬合結(jié)果(含10%噪聲)Fig.4 Result of wavelet series fitting with 12 orders(with 10% noise)

3.2 外激勵(lì)為實(shí)際載荷信號(hào)的識(shí)別

外激勵(lì)p(x,t)=f(x)sin(?t)，其中：f(x)為帶隨機(jī)噪聲的實(shí)際載荷。實(shí)際外激勵(lì)的幅值如圖7所示。 當(dāng)載荷識(shí)別的誤差等級(jí)ε要求控制在1%～10%時(shí)，根據(jù)式(21)得到小波級(jí)數(shù)分解的階次i=52，計(jì)算得到的載荷識(shí)別幅值與原始載荷幅值對(duì)比及相對(duì)誤差如圖8所示。最大誤差為17.51%，平均誤差為1.19%，最大誤差的位置在x=0.930 m。 Marr小波級(jí)數(shù)系數(shù)趨向如圖9所示。

表1 多頻率疊加載荷信號(hào)識(shí)別的階次選取及識(shí)別結(jié)果

Tab.1 Order selection and identification results in fitting multi-frequency load signal

實(shí)際工程需求誤差等級(jí)載荷識(shí)別最大誤差/%載荷識(shí)別平均誤差/%識(shí)別最大誤差出現(xiàn)的位置/mMarr小波級(jí)數(shù)擬合階次1%～10%7．233．070．188120．1%～1%0．730．240．031230．01%～0．001%0．760．040．750491%～10% (含10%隨機(jī)噪聲)10．59 8．490．54212

圖7 實(shí)際外載荷幅值f(x)波形Fig.7 Real load amplitude f(x)

圖8 52階小波級(jí)數(shù)擬合結(jié)果Fig.8 Result of wavelet series fitting with 52 orders

圖9 實(shí)際載荷信號(hào)的小波級(jí)數(shù)系數(shù)趨向Fig.9 The tendency of wavelet series coefficient in fitting real load signal

需要指出的是：在有噪聲擾動(dòng)的情況下，識(shí)別出的小波系數(shù)有可能會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，甚至?xí)鲂〔ㄏ禂?shù)包絡(luò)線，此時(shí)可根據(jù)噪聲擾動(dòng)對(duì)小波系數(shù)包絡(luò)線進(jìn)行修正，使小波系數(shù)包絡(luò)線的收斂速度低于小波系數(shù)的收斂速度。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

在兩端自由的Bernoulli-Euler梁上，參數(shù)設(shè)定同仿真驗(yàn)證中的參數(shù)一致。外激勵(lì)為作用在x0=0.32 m的沖擊載荷，形式為p(x,t)=f(x,t)δ(x-x0)，其中，δ為單位脈沖函數(shù)。在工程實(shí)際中，沖擊載荷的時(shí)間歷程可近似用典型波形-半正弦波形[12]來(lái)代替

(22)

其中：參數(shù)P與τ分別表示沖擊載荷的幅值和持續(xù)時(shí)間。

建模過(guò)程中沖擊載荷由脈沖力錘產(chǎn)生，沖擊載荷信號(hào)用力傳感器測(cè)量，梁上均勻布置4個(gè)加速度傳感器以測(cè)量加速度響應(yīng)，所有測(cè)量信號(hào)由NI公司開發(fā)的signal express分析儀和PXI采集卡進(jìn)行采集和處理，結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)如圖10所示。

圖10 兩端自由Bernoulli-Euler梁載荷識(shí)別試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.10 Load identification lab system on free Bernoulli-Euler beam

根據(jù)Bernoulli-Euler梁上小波級(jí)數(shù)分解法的分布動(dòng)載荷時(shí)域識(shí)別理論[13]，對(duì)沖擊載荷幅值f(t)進(jìn)行小波級(jí)數(shù)分解。當(dāng)載荷識(shí)別的誤差等級(jí)ε要求控制在1%～10%時(shí)，根據(jù)式(21)得到小波級(jí)數(shù)分解的階次i為36階，識(shí)別沖擊載荷與測(cè)量沖擊載荷的時(shí)間歷程如圖11所示。小波級(jí)數(shù)系數(shù)趨向如圖14所示。相同參數(shù)設(shè)定的計(jì)算機(jī)仿真識(shí)別效果如圖12，13和表2所示。

圖11 沖擊載荷時(shí)間歷程的試驗(yàn)識(shí)別結(jié)果Fig.11 Lab identification results of impact load in time history

圖12 沖擊載荷時(shí)間歷程的仿真識(shí)別結(jié)果Fig.12 Simulation identification results of impact load in time history

圖13 沖擊載荷信號(hào)的小波級(jí)數(shù)系數(shù)趨向(仿真)Fig.13 The tendency of wavelet series coefficient in fitting impact load signal

表2 沖擊載荷信號(hào)的時(shí)間歷程仿真識(shí)別結(jié)果

圖13驗(yàn)證了沖擊載荷識(shí)別的時(shí)間歷程與實(shí)測(cè)時(shí)間歷程能夠較好地吻合，本研究的小波階次選取理論計(jì)算出的沖擊載荷與真實(shí)沖擊載荷的相對(duì)誤差滿足工程需求的相對(duì)誤差等級(jí)ε=1%～10%，如表3所示。

表3 沖擊載荷信號(hào)的時(shí)間歷程試驗(yàn)識(shí)別結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

正交小波基函數(shù)和正交多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行擬合時(shí)，階次的確定一直是實(shí)際工程研究的難題。當(dāng)擬合階次過(guò)少，會(huì)產(chǎn)生擬合精度過(guò)低，在求解方程組時(shí)對(duì)小擾動(dòng)非常敏感；當(dāng)擬合階次過(guò)多，需要更多的響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)；根據(jù)條件循環(huán)控制來(lái)選取擬合階次則會(huì)大大降低計(jì)算的效率。筆者根據(jù)基于正交小波級(jí)數(shù)分解法的Bernoulli-Euler梁的分布動(dòng)載荷識(shí)別過(guò)程的小波系數(shù)的規(guī)律特點(diǎn)，給出小波系數(shù)包絡(luò)線，小波級(jí)數(shù)擬合的階次根據(jù)實(shí)際需求的載荷識(shí)別相對(duì)誤差等級(jí)來(lái)確定。

計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了在有噪聲干擾的情況下，采用本研究工作的理論確定的擬合階次同樣能夠滿足實(shí)際需求的載荷識(shí)別相對(duì)誤差范圍。試驗(yàn)過(guò)程驗(yàn)證了針對(duì)不同的載荷類型，本研究工作的定階理論同樣適用。

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*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305197)；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012ZA52001)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20123218120005)；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

2014-05-23；

2014-06-26

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.009

TH113.1; TB123; V214.3; O32; O302; O241.5

楊帆，男，1983年11月生，博士研究生。主要研究方向?yàn)樾〔▌?dòng)載荷識(shí)別。曾發(fā)表《基于小波級(jí)數(shù)分解法的動(dòng)載荷識(shí)別研究》(《清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版》2013年第53卷第8期)等論文。 E-mail:13851791924@163.com