陳 震， 余 嶺

(1. 華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院 鄭州，450045)(2. 暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 廣州，510632)

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基于TGSVD的橋梁移動荷載識別及正則化矩陣選取*

陳 震1，2， 余 嶺2

(1. 華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院 鄭州，450045)(2. 暨南大學(xué)重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 廣州，510632)

基于時域法(time domain method ，簡稱TDM)識別移動荷載理論，通過引入正則化矩陣，提出采用截斷廣義奇異值分解法(truncated generalized singular value decomposition，簡稱TGSVD)識別橋梁移動荷載。比較不同正則化矩陣對TGSVD識別結(jié)果影響，并與TDM識別結(jié)果進(jìn)行比較，兩軸移動荷載識別結(jié)果表明，正則化矩陣選取對TGSVD識別精度、魯棒性等影響較大。當(dāng)正則化矩陣選取適當(dāng)，TGSVD采用彎矩和加速度響應(yīng)均具有較高識別精度且識別結(jié)果受噪聲干擾小。在測點(diǎn)類型單一或測點(diǎn)數(shù)量較小時優(yōu)勢更為突出，適宜于現(xiàn)場移動荷載識別，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價值。

橋梁； 移動荷載； 識別； 不適定性； 時域法； 截斷廣義奇異值分解法； 正則化矩陣

引言

移動荷載會引起橋梁疲勞損傷甚至破壞，由橋梁響應(yīng)識別移動荷載是典型的結(jié)構(gòu)動力學(xué)第二類反問題，由于測量響應(yīng)的離散性并需要計算反卷積，這類問題具有明顯的病態(tài)特征[1]。近年來，移動荷載識別有較大發(fā)展，提出很多新的方法。袁向榮等[2]通過梁振動響應(yīng)曲線提出響應(yīng)曲線滑動擬合法。Law 等[3]以時域法[4]和頻時域法[5]為基礎(chǔ)，將正則化方法應(yīng)用于移動稱重技術(shù)中。卜建清等[6]提出基于廣義正交函數(shù)和正則化的移動荷載識別法。文獻(xiàn)[1,7]采用樣條函數(shù)逼近橋梁響應(yīng)識別移動荷載。余嶺等[8]提出采用預(yù)處理共軛梯度法識別移動荷載。陳鋒等[9]采用模態(tài)置信準(zhǔn)則對梁橋上移動荷載識別中的測點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[10-11]基于有限元理論采用形函數(shù)識別移動荷載。夏樟華等[12]結(jié)合健康監(jiān)測系統(tǒng)識別移動荷載。余嶺等[13]采用數(shù)值模擬和模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了時域法和頻時域法的識別精度。

基于奇異值分解法(singular value decomposition ，簡稱SVD)思路，針對系數(shù)矩陣欠秩引起的不適定問題，Hansen[14]提出廣義奇異值分解法(generalized singular value decomposition, 簡稱GSVD)。對于求解最小二乘問題，截斷奇異值分解法(truncated singular value decomposition, 簡稱TSVD)的解不包含系數(shù)矩陣的數(shù)值零空間，即為正則化解。將TSVD的解一般化即為截斷廣義奇異值分解法的解。以時域法識別移動荷載為基礎(chǔ)，模擬雙軸車輛在簡支梁橋上行駛過程，采用提出的TGSVD由橋梁彎矩響應(yīng)或加速度響應(yīng)識別橋面移動車載。TGSVD的識別精度和正則化矩陣的選取密切相關(guān)，筆者分別采用單位矩陣、雙對角矩陣和三對角矩陣三類正則化矩陣，比較其對TGSVD識別精度和抗噪性能的影響。算例計算結(jié)果表明，單位正則化矩陣不能提高TGSVD的識別精度，采用雙對角正則化矩陣和三對角正則化矩陣具有較高的識別精度，對改善病態(tài)識別問題的不適定性有良好效果。其中，雙對角矩陣在所有識別工況中顯示出良好的適應(yīng)性和魯棒性，在三種正則化矩陣類型中具有較好的競爭性。

1 基本理論

1．1 簡支梁單荷載識別

Euler-Bernoulli梁長度為L，動荷載P以均勻速度c沿著梁面移動，如圖1所示。圖中直線為簡支梁原軸線，弧線為簡支梁在荷載作用下的變形。取梁單位長度質(zhì)量為ρ，考慮粘性阻尼并取阻尼系數(shù)為C，簡支梁抗彎剛度為EI，移動荷載運(yùn)動方程為

(n=1,2,…,∞)

(1)

圖1 簡支梁單荷載識別模型Fig.1 Simply supported beam model for single force identification

由時域法識別移動荷載理論可知，簡支梁上某位置任一時刻的彎矩響應(yīng)和加速度響應(yīng)可通過卷積積分得到，梁上x處t時刻的彎矩響應(yīng)為

(2)

同理，梁上x處t時刻的加速度響應(yīng)為

(3)

其中：

當(dāng)已知橋面響應(yīng)b和系統(tǒng)矩陣A，TDM識別移動荷載最終都可轉(zhuǎn)化為逆問題的求解

AN×NBxNB×1=bN×1

(4)

其中：x為待識別的移動荷載；下標(biāo)N為測點(diǎn)響應(yīng)數(shù)；NB=L/cΔt為采樣樣本數(shù)。

1．2 TGSVD識別移動荷載

(5)

1．3 TGSVD正則化矩陣選取

為比較正則化矩陣對TGSVD識別精度和抗噪性能影響，分別選取單位矩陣L1、雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3為正則化矩陣。當(dāng)選用L1正則化矩陣時，TGSVD退化為截斷奇異值分解方法，L1，L2，L3分別為

(6a)

(6b)

(6c)

2 數(shù)值模擬

2．1 車橋仿真參數(shù)

采用文獻(xiàn)[4]算例識別兩軸移動荷載，比較正則化矩陣選取對TGSVD識別結(jié)果影響，并與采用TDM法識別移動荷載結(jié)果進(jìn)行比較。雙軸車載的前軸荷載和后軸荷載分別為

(7)

(8)

其中：車輛行駛速度c=40 m/s；兩軸間距l(xiāng)s=8 m；簡支梁跨度L=40 m；抗彎剛度EI=1.279×1011N·m2；單位長度密度ρ=12 000 kg/m；簡支梁前三階固有頻率分別為3.2 ，12.8 ，28.8 Hz；采樣頻率取200 Hz；分析頻段取為0～40 Hz。

噪聲干擾下的橋梁彎矩響應(yīng)或加速度響應(yīng)為

(9)

識別誤差評判標(biāo)準(zhǔn)為

(10)

其中：Error為相對百分誤差；‖·‖為向量的范數(shù)；Ftrue為真實(shí)荷載；Fidentified為識別荷載。

2.2 不同正則化矩陣識別結(jié)果比較

在簡支梁1/4跨長、1/2跨長和3/4跨長位置分別布設(shè)應(yīng)變片和加速度計，即可測得對應(yīng)位置的彎矩響應(yīng)和加速度響應(yīng)。通過選取不同位置彎矩響應(yīng)和加速度響應(yīng)組合，即可確定測點(diǎn)數(shù)量和測點(diǎn)類型不同時各識別方法的識別精度。

TDM識別結(jié)果表明，采用加速度響應(yīng)識別移動荷載精度較高，而彎矩響應(yīng)識別結(jié)果則不理想。分別采用單位矩陣L1、雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3作為正則化矩陣，比較TGSVD采用不同正則化矩陣時識別結(jié)果差別，進(jìn)而選取最優(yōu)正則化矩陣。

表1為兩種工況僅由彎矩響應(yīng)識別移動荷載時，TDM與TGSVD采用不同正則化矩陣識別結(jié)果比較。TDM識別誤差很大，當(dāng)噪聲水平大于1%時，識別誤差均超過100%，無法識別移動荷載。TGSVD識別精度較TDM有很大提高，在噪聲水平小于10%時，識別精度均可接受，且其識別精度隨正則化矩陣選取不同差異較大。3種正則化矩陣中，采用單位矩陣L1時識別誤差最大，采用雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3識別精度較高。在噪聲水平為1%，采用L2和L3作為正則化矩陣時，識別誤差最大值僅為6.5%。

表1 TGSVD正則化矩陣選取識別誤差比較

圖2表明采用單位矩陣L1時，兩軸車輛在前軸下橋和后軸上橋時刻識別結(jié)果與真實(shí)值偏差較大，精度較差，其余時段識別精度尚可接受，采用L2和L3能精確識別兩軸移動荷載。圖3表明當(dāng)噪聲水平增加到5%時，采用3種正則化矩陣識別精度均較噪聲水平為1%時有所降低。在前軸下橋和后軸上橋時刻，采用L2和L3時識別結(jié)果也會出現(xiàn)輕微波動，且采用L2時波動較小，識別精度最高。數(shù)值仿真結(jié)果表明：TGSVD采用單位矩陣L1作為正則化矩陣時，識別精度較差；采用雙對角矩陣L2和三對角矩陣L3識別精度較高。隨著噪聲水平的增加，在前軸下橋和后軸上橋時刻識別精度均會有所波動。采用L2時波動較小，能較好抑制由系統(tǒng)方程的不適定導(dǎo)致的識別誤差，L2為3種正則化矩陣中最優(yōu)正則化矩陣。

2．3 TDM與TGSVD識別結(jié)果比較

TGSVD采用不同正則化矩陣識別結(jié)果表明，采用L2和L3作為正則化矩陣時TGSVD識別精度較高，采用L1時不能降低由系統(tǒng)方程的不適定導(dǎo)致的識別誤差，后面研究僅采用L2和L3作為正則化矩陣并比較TGSVD和TDM識別結(jié)果。由彎矩響應(yīng)識別結(jié)果表明, TGSVD可僅由彎矩響應(yīng)識別移動荷載，識別精度較TDM有很大提高。

圖2 1%噪聲時采用不同正則化矩陣彎矩響應(yīng)識別結(jié)果比較(1/4，1/2和3/4跨長的3個彎矩響應(yīng))Fig.2 Comparison on identified results from bending moment responses by TGSVD with three different regularization matrixes when the noise is 1%

本部分重點(diǎn)研究由加速度響應(yīng)或加速度響應(yīng)和彎矩響應(yīng)組合識別兩軸移動荷載時，TGSVD和TDM識別結(jié)果差異。表2為4種工況分別采用加速度響應(yīng)或彎矩和加速度組合響應(yīng)識別移動荷載時，TDM與TGSVD識別結(jié)果比較。由表2可知，采用TDM識別移動荷載時，識別誤差隨噪聲水平線性增加，絕大多數(shù)工況識別誤差大于50%，最大誤差值達(dá)到6 824%。采用TGSVD識別移動荷載時，識別誤差隨噪聲水平增加略有增加，但增加幅值很小，尤其是采用L2正則化矩陣，當(dāng)噪聲水平從1%增加到10%時，誤差增加幅值最大僅為2.4%(1/4，1/2跨長的2個彎矩響應(yīng)和1/2跨長的1個加速度響應(yīng)工況前軸識別結(jié)果)。TGSVD識別誤差受噪聲干擾影響很小，具有良好的魯棒性，適宜于噪聲干擾情況下現(xiàn)場移動荷載識別。

圖3 5%噪聲時采用不同正則化矩陣彎矩響應(yīng)識別結(jié)果比較(1/4，1/2和3/4跨長的3個彎矩響應(yīng))Fig.3 Comparison on identified results from bending moment responses by TGSVD with three different regularization matrixes when the noise is 5%

表2 TDM 與TGSVD識別誤差比較

響應(yīng)類型對TDM識別精度影響明顯，當(dāng)響應(yīng)類型全部為彎矩響應(yīng)時，識別精度明顯偏低，當(dāng)響應(yīng)類型全部為加速度響應(yīng)時，識別精度可以接受。圖4為由加速度響應(yīng)識別移動荷載時，TDM與TGSVD識別結(jié)果比較。在10%噪聲水平下，除前軸下橋和部分時段識別誤差較大，大多數(shù)時段TDM識別結(jié)果均可接受，較僅由彎矩響應(yīng)識別精度有很大提高。采用L2和L3正則化矩陣TGSVD識別精度均很高，較僅由彎矩響應(yīng)識別精度略有提高，識別結(jié)果受響應(yīng)類型不同影響較小。

測點(diǎn)數(shù)量尤其是加速度測點(diǎn)數(shù)量對TDM識別精度影響很大，TDM識別方法的效果受測點(diǎn)數(shù)量和類型變化影響明顯。當(dāng)響應(yīng)數(shù)量較少且含有彎矩響應(yīng)時(1/4跨長的1個彎矩響應(yīng)和1/4跨長的1個加速度響應(yīng)工況)，在10%噪聲水平下，TDM前軸識別誤差為6 824%，后軸識別誤差為5 514%，而TGSVD采用L2正則化矩陣前軸識別誤差僅為7.7%，后軸識別誤差僅為8.0%。圖5為10%噪聲水平下該工況兩種方法識別結(jié)果比較。由圖5可知TDM無法識別移動荷載，TGSVD采用L3正則化矩陣識別時波動較大，采用L2正則化矩陣識別精度很高，這也說明無論是由彎矩響應(yīng)、加速度響應(yīng)及兩者組合響應(yīng)識別移動荷載時，L2均是最優(yōu)正則化矩陣。數(shù)值仿真結(jié)果表明，L1正則化矩陣效果較差，L2和L3正則化矩陣效果較好，其中L2正則化矩陣效果最好。

圖4 10%噪聲時TDM和TGSVD由加速度響應(yīng)識別結(jié)果比較(1/4和1/2跨長的2個加速度響應(yīng))Fig.4 Comparison on identified results from acceleration responses by TDM and TGSVD when the noise is 10%

圖5 10%噪聲時TDM和TGSVD由彎矩和加速度組合響應(yīng)識別結(jié)果比較(1/4跨長的1個彎矩響應(yīng)和1/4跨長的1個加速度響應(yīng))Fig.5 Comparison on identified results from bending moment and acceleration responses by TDM and TGSVD when the noise is 10%

3 結(jié) 論

1) TGSVD識別誤差受噪聲干擾影響很小，具有良好的魯棒性，適宜于噪聲干擾情況下現(xiàn)場移動荷載識別。

2) TGSVD各種工況下識別精度均很高，識別結(jié)果受響應(yīng)類型、響應(yīng)數(shù)量及其組合情況影響很小，有利于測點(diǎn)較少、響應(yīng)類型單一環(huán)境下現(xiàn)場移動荷載識別。

3) 通過3種正則化矩陣識別精度比較，L2和L3正則化矩陣效果較好，其中L2正則化矩陣抗噪性強(qiáng)、識別精度高且適用于各種響應(yīng)組合工況，為最優(yōu)正則化矩陣，在現(xiàn)場移動荷載識別時，建議TGSVD優(yōu)先選用L2正則化矩陣。

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Chen Zhen, Yu Ling. Identification of dynamic axle Loads on bridge based on truncated generalized singular value decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(10): 97-100. (in Chinese)

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278226)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(14B560018)；華北水利水電大學(xué)青年科技創(chuàng)新人才資助項(xiàng)目(70473)

2013-06-25；

2013-08-08

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.004

O327； TU311; TH113

陳震，男，1981年2月生，博士、副教授。主要研究方向?yàn)橐苿雍奢d動態(tài)識別、結(jié)構(gòu)破壞數(shù)值仿真。曾發(fā)表《橋梁移動荷載識別的不適定性及其試驗(yàn)研究》(《振動與沖擊》2007年第12期)等論文。 E-mail: yuchenfish@163.com 通信作者簡介：余嶺，男，1963年5月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、結(jié)構(gòu)損傷與荷載協(xié)同識別。 E-mail：lyu1997@163．com