史娟榮，林萬濤，莫嘉琪

(1. 安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241002；2. 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系, 上海 200240；3. 中國科學(xué)院大氣物理研究所∥大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100029；4. 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 安徽 蕪湖 241003)

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一類非線性晶體界面表面波的漸近解*

史娟榮1,2，林萬濤3，莫嘉琪4

(1. 安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241002；2. 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系, 上海 200240；3. 中國科學(xué)院大氣物理研究所∥大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100029；4. 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 安徽 蕪湖 241003)

研究了一類晶體界面非線性表面波。首先考慮了對應(yīng)的晶體界面表面波方程，引入一個(gè)新的具有限制變量的泛函，并求出其變分。再利用變分原理，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過改進(jìn)后的廣義變分迭代式。然后選取相應(yīng)問題解的初始函數(shù)，并由新的迭代關(guān)系式依次求出各次漸近解析解。舉例說明了用本方法求得的漸近解具有較好的近似度。最后敘述了得到的漸近解的物理意義。

表面波；漸近解；變分；晶體

光折變晶體中的空間表面波理論一直是學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)。上世紀(jì)末到本世紀(jì)初首先提出了光折變表面波的理論，論述了關(guān)于擴(kuò)散機(jī)理下光折變表面波的傳播情況。并討論了線性介質(zhì)與光折變晶體界面表面波的形成過程和表面波的傳播的穩(wěn)定性。近來討論了在LiNbO3:Fe晶體與空氣界面觀察到了亮表面波，在界面處由晶體內(nèi)載流子擴(kuò)散機(jī)理引起的光束彎曲和反射相平衡而形成的一種光波。其特點(diǎn)是將光波傳播限制在光折變晶體近表面的狹層內(nèi), 使得界面處具有很高的光能量和功率密度，這在光通信及光信息處理等方面有很高的研究和應(yīng)用價(jià)值[1-6]。由于高激發(fā)效率的表面波在應(yīng)用中具有功耗低，速度快等優(yōu)點(diǎn)。所以研究提高表面波的激發(fā)效率成為表面波應(yīng)用的重要方面。

非線性微分方程的精確解，一般不能用有限項(xiàng)的初等函數(shù)來表示。故用近似的方法來求非線性方程的漸近解析解顯得十分重要[7-8]。作者等也利用各種漸近方法來得到相關(guān)的非線性方程的漸近解析解[9-22]。本文是用經(jīng)過改進(jìn)的廣義變分迭代的新方法，來求得一類晶體界面非線性表面波的漸近解析解。

1 晶體界面表面波方程

(1)

(2)

其中φ為波導(dǎo)參數(shù)，μ為擴(kuò)散強(qiáng)度，α為光伏強(qiáng)度，方程(2)右端各項(xiàng)依次為晶體中光波的衍射效應(yīng)、光束和邊界的相互作用、光伏機(jī)理的自散焦和擴(kuò)散機(jī)理的自彎曲效應(yīng)。光束以一定角度入射到LiNbO3晶體界面，當(dāng)電荷擴(kuò)散效應(yīng)產(chǎn)生的光束自彎曲與全內(nèi)反射相平衡時(shí)，光生伏打光折變晶體，光激發(fā)載流子是電子，并可取光伏強(qiáng)度α<0。

(3)

(4)

顯然，方程(3)的解為

(5)

其中m為非線性作用強(qiáng)度的可變參量，它由入射光束初始強(qiáng)度決定?？紤]到方程的解u和du/ds在界面s=0的連續(xù)性，由式(5)可決定方程(4)的終值條件。于是我們便有如下的光波沿s(s<0)方向LiNbO3晶體滿足的傍軸方程的模型

(6)

2 晶體界面模型解

首先將方程(4)改寫為

(7)

為了求得晶體界面內(nèi)的非線性問題(6)-(7)的漸近解析解，我們用新的經(jīng)過改進(jìn)的廣義變分迭代方法。

引入一個(gè)泛函F[u][23-24]

(8)

令δF=0，得

(9)

(10)

不難得到初值問題(9)-(10)的解λ(ξ)為

(11)

再由式(8)和式(11)，構(gòu)造一個(gè)經(jīng)過新的廣義變分迭代

(12)

其中u0為初始近似。

3 模型的漸近解

首先決定晶體界面內(nèi)非線性模型解的廣義變分迭代的初始近似u0(ξ)。

選取初始近似u0(ξ)為方程(7)的線性部分及初始條件(6)所組成的問題的解。即u0(ξ)滿足如下終值問題

(13)

(14)

不難得到模型(13)-(14)的解u0(s)為

s≤0

(15)

于是由式(12)，我們可得晶體界面內(nèi)非線性模型(6)-(7)的一次漸近解析u1(ξ)

(16)

其中u0由式(15)表示。

再由式(12)，我們可得晶體界面內(nèi)非線性模型(6)-(7)的二次漸近解析u2(ξ)

(17)

其中u0,u1分別由式(15)、式(16)表示。

繼續(xù)由迭代式(12)，我們可得晶體界面s=0內(nèi)非線性模型(6)-(7)的更高次的漸近解析解un(s)(n=3,4,…)。

再由關(guān)系式(5)，我們便得到通過晶體界面光波的模u(s)在晶體界面s=0附近的廣義變分迭代第n次漸近解析解。

4 漸近解的精度

為了說明問題，不妨簡單設(shè)b=φ=m=μ=1,α=-1。這時(shí)晶體界面內(nèi)光波模的非線性模型(6)-(7)為

s<0

(18)

(19)

由式(15)，晶體界面內(nèi)光波模的模型(18)-(19)的初始近似函數(shù)u0(s)為

s≤0

(20)

再由廣義變分迭代式(16)，得到晶體界面內(nèi)光波模的模型(18)-(19)的一次、二次近似函數(shù)u1(s),u2(s)。

(21)

其中u0由式(20)表示。

(22)

其中u0,u1分別由式(20)、式(21)表示。

晶體界面s=0內(nèi)左半面(s≤0)附近非線性模型(16)-(17)的光波的模u(s)的模擬精確解曲線uexa(s)，一次、二次廣義變分迭代漸近解u1(s),u2(s)的曲線見圖 1和表 1所示。

表1 晶體界面左半面附近光波的模u(s)的模擬數(shù)值比較1)

1)uexa為精確解,u1為一次漸近解,u2為二次漸近解

圖1 晶體界面左半面附近光波的模u(s)的曲線比較Fig.1 Curve comparison for models to the light waves near left half-plane

從圖 1和表 1可以看出，二次漸近解u2(s)比一次漸近解u1(s)更接近精確解uexa(s)。

繼續(xù)由廣義變分迭代式(12)，可依次得到晶體界面內(nèi)非線性模型(18)-(19)的更高次近似函數(shù)un(s)(n=3,4,…)。再由(5)式，得到通過晶體界面光波的模u(s)在通過界面s=0附近的廣義變分迭代n(n=3,4)次漸近解析解。

由泛函分析變分原理和本方法的漸近理論知，晶體界面s=0內(nèi)部光波的模u(s)所對應(yīng)的高次的變分迭代解比低次的變分迭代解更接近與精確解。

5 晶體界面模型解的物理意義

由于晶體界面s=0內(nèi)部光波的模u(s)是通過廣義變分迭代方法得到的近似解析解，所以它還可以通過解析運(yùn)算得到與光波模相關(guān)的物理量的漸近式。例如，可得如下相關(guān)物理量的近似解析式。

5.1 光波強(qiáng)度

由漸近光波模un(s)的解析式來得到晶體表面s=0附近的光波強(qiáng)度函數(shù)的n次漸近式：

其中Id為晶體中的暗輻射值。

5.2 光波模變化率

由光波的n次漸近模un(s)可求出它的的變化率為

5.3 光波功率

由n次漸近光波模un(s)的解析式來得到晶體表面s=0附近a≤s≤0內(nèi)的光波功率P的n次漸近式Pn

(23)

5.4 光波功率控制

5.5 傳播系數(shù)和入射光束角度的關(guān)聯(lián)

隨著光波功率的遞增，受擴(kuò)散非線性的影響，晶體內(nèi)的表面波衰減的距離逐漸縮短，大部分能量逐漸向晶體界面集中。我們可以通過調(diào)節(jié)入射光束與晶體的s軸的夾角(0°～90°)來調(diào)節(jié)傳播參數(shù)b。

6 結(jié) 論

討論了晶體界面表面波方程，利用新的經(jīng)過修改的廣義變分迭代方法依次得到了晶體界面s=0內(nèi)附近的光波的模u(s)的各次漸近解析式un(s)(n=1,2,…)。根據(jù)泛函分析變分原理，利用對應(yīng)的線性方程的解作為本非線性問題解的初始近似，由此得到的迭代解序列{un(s)(n=1,2,…)}具有較快地接近于精確解的優(yōu)點(diǎn)，且隨著un(s)的次數(shù)的增大而更接近于精確解。

得到的各次漸近解是解析式還可對它們進(jìn)行解析運(yùn)算，我們可由得到的光模的各次漸近解析式通過微分、積分等解析運(yùn)算來進(jìn)一步得到相關(guān)的物理量的漸近表示式。擴(kuò)展了問題討論的范圍。然而, 用單純數(shù)值模擬的方法是達(dá)不到的。

[1]WANGHC,SHEWL.Incoherentlycoupledgreyphotovoltaicspatialsolitonfamilies[J].ChinPhysLett, 2005, 22(1): 128-131.

[2]YINGY,ZHENGJB,YANGXY,etal.Newapproachfornormalizingphoton-addedandphoton-subtractedsqueezedstates[J].ChinPhys, 2010, 19(4): 044206.

[3]LIUSM,ZHANGGQ,SUNQ,etal.WaveguideswrittenandstoredbyphotovoltaicdarkspatialSolitonsinLiNbO3:Fecrystals[J].ChinPhysLett, 1996, 13(10): 737-740.

[4] 孫彤彤, 盧克清, 陳衛(wèi)軍，等. 在金屬與光折變晶體界面形成的表面波研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013, 62(3): 034204.

[5] 馮天閏, 盧克清, 陳衛(wèi)軍，等. 線性電介質(zhì)和中心對稱光折變晶體界面表面波的研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013, 62(23): 234205.

[6] 陳衛(wèi)軍,盧克清, 惠娟利，等.LiNbO3晶體界面非線性表面波的研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2015, 64(1): 014204.

[7]DeJAGEREM,JIANGFR.Thetheoryofsingularperturbation[M].Amsterdam:North-HollandPublishingCo, 1996.

[8]BARBUL,MOROSANUG.Singularlyperturbedboundary-valueproblems[M].Basel:BirkhausermVerlagAG, 2007.

[9]MOJQ.Aclassofsingularlyperturbeddifferential-differencereactiondiffusionequation[J].AdvMath, 2009, 38(2): 227-231.

[10]MOJQ.LINWT.Asymptoticsolutionofactivatorinhibitorsystemsfornonlinearreactiondiffusionequations[J].JSysSci&Complexity, 2008, 20(1): 119-128.

[11]MOJQ.ApproximatesolutionofhomotopicmappingtosolitarywaveforgeneralizednomlinearKdVsystem[J].ChinPhysLett, 2009, 26(1): 010204.

[12]MOJQ.VariationaliterationsolvingmethodforaclassofgeneralizedBoussinesqequation[J].ChinPhysLett, 2009, 26(6): 060202.

[13]MOJQ.Homotopivmappingsolvingmethodforgainfluencyofalaserpulseamplifier[J].ScienceinChina,SerG, 2009, 39(7): 1007-1010.

[14]MOJQ,LINWT,WANGH.AclassofhomotopicsolvingmethodforENSOmodel[J].ActaApplMathSci, 2009, 29(1): 101-110.

[15]MOJQ.CHENHJ.ThecornerlayersolutionofRobinproblemforsemilinearequation[J].MathAppl, 2012, 25(1): 1-4.

[16]MOJQ,CHENXF.HomotopicmappingmethodofsolitarywavesolutionsforgeneralizedcomplexBurgersequation[J].ChinPhysB, 2010, 10(10): 100203.

[17] 莫嘉琪, 陳賢峰. 一類非線性擾動Nizhnik-Novikov-Veselov系統(tǒng)的孤立波近似解析解[J]. 物理學(xué)報(bào), 2010, 50(5): 2919-2923.

[18] 莫嘉琪, 陳賢峰. 一類廣義非線性擾動色散方程孤立波的近似解[J]. 物理學(xué)報(bào), 2010, 50 (3): 1403-1406.

[19] 歐陽成, 姚靜蓀, 石蘭芳，等. 一類塵埃等離子體孤波解[J]. 物理學(xué)報(bào), 2014, 63(11): 110203.

[20] 歐陽成, 石蘭芳, 林萬濤，等. (2+1)維擾動時(shí)滯破裂孤波方程行波解的攝動方法[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013, 62(17): 170201.

[21] 歐陽成, 林萬濤, 程榮軍，等. 一類厄爾尼諾海-氣時(shí)滯振子的漸近解[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013, 62(6): 060201.

[22]OUYANGC,CHENGLH,MOJQ.Solvingaclassofburningdisturbedproblemwithshocklayers[J].ChinPhysB, 2012 , 21(5): 050203.

[23] 何吉?dú)g. 工程和科學(xué)中的近似非線性分析方法[M]. 鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社, 2002.

[24]HEJH.Variationalapproachfornonlinearoscillators[J].Chaos,Solitons&Fractals, 2007, 34(5): 1430-1439.

Asymptotic Solution on a Class of Nonlinear Surface Waves along the Boundary of Crystal

SHIJuanrong1,2,LINWantao3,MOJiaqi4

(1. Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China; 2. Department of Mathematics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 3. State Key Laboratory of Numerical modeling for Atmospheric and Geophysical Fluid Dynamics∥ Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China; 4. Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

A class of nonlinear surface waves along the boundary of crystal is studied. Firstly, the surface wave equation along the boundary of crystal is built. Leading into a functional with the new restricted variation and its variational is calculated. Secondly, a new improved generalized variational iteration is structured. Then the initial function of solution for corresponding problem is structured. From the new variational iteration, the each time asymptotic analytic solution is found successively. And from example, the accuracy of solution is very good by using this method. Finally, the physical meaning of obtained asymptotic solution is related.

surface waves; asymptotic solution; variational; crystal

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.06.008

2015-07-28 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41275062) ；安徽省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2015A418，KJ2015A347)

史娟榮(1981年生)，女；研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；通訊作者: 莫嘉琪；E-mail:mojiaqi@mail.ahnu.edu.cn

O

A

0529-6579(2015)06-0041-05