陳 迅，秦海亭，劉 利，王黎明

（江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

局部放電是指在電場(chǎng)作用下，絕緣系統(tǒng)中只有部分區(qū)域發(fā)生放電而沒(méi)有形成貫穿性放電的一種放電現(xiàn)象[1]，是由于生產(chǎn)過(guò)程中造成的缺陷或絕緣系統(tǒng)內(nèi)部老化，在高電場(chǎng)強(qiáng)度作用下發(fā)生重復(fù)擊穿和熄滅的現(xiàn)象。局部放電既是GIS絕緣劣化的征兆和表現(xiàn)形式，又是絕緣進(jìn)一步劣化的原因。

電力設(shè)備局部放電檢測(cè)技術(shù)的研究對(duì)于設(shè)備的在線監(jiān)測(cè)具有重要的實(shí)際意義。局部放電會(huì)使電力設(shè)備絕緣系統(tǒng)加速老化，引起絕緣故障，縮短使用壽命，為確保變壓器能夠安全運(yùn)行，需及時(shí)發(fā)現(xiàn)電力設(shè)備內(nèi)部潛伏性的絕緣故障[2]。近年來(lái)眾多學(xué)者在這方面做了深入的研究。由于局部放電的信號(hào)很微弱，而在實(shí)際設(shè)備運(yùn)行的現(xiàn)場(chǎng)卻往往存在大量的噪聲干擾，嚴(yán)重影響了局部放電在線監(jiān)測(cè)的靈敏度和精度，為了正確地分析局部放電信號(hào)，首先必須解決噪聲干擾抑制的問(wèn)題[3]。

1 小波閾值去噪

針對(duì)局部放電信號(hào)中的各種干擾，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者也提出了相應(yīng)的抗干擾技術(shù)。近年來(lái)，隨著對(duì)小波去噪算法的深入研究，小波去噪方法也豐富起來(lái)。目前比較常用的小波除噪方法有：模極大值去噪算法、相關(guān)性去噪算法和小波閾值去噪算法[4]。

其中，模極大值去噪算法不僅不需要估計(jì)噪聲的方差，還能較好的分析信號(hào)的奇異性，從而保留信號(hào)的重要信息，可以將其應(yīng)用到信號(hào)的去噪中[5]。考慮到小波函數(shù)模極大值受白噪聲的影響較大，致使大尺度下的平滑作用使模極大值的定位產(chǎn)生的偏差，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)有一定的誤差；同時(shí)，在小的尺度上如何更好的恢復(fù)1、2尺度的小波系數(shù)成為一個(gè)重要問(wèn)題[6]。

而相關(guān)性去噪算法主要是根據(jù)信號(hào)和噪聲在經(jīng)小波分解后表現(xiàn)出不同的特性被提出和應(yīng)用的，但在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，受到小波系數(shù)在時(shí)間軸上的影響各尺度間小波系數(shù)的偏移會(huì)降低判斷的準(zhǔn)確率[7]。小波閾值去噪算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，因而應(yīng)用最為廣泛。常用的小波閾值去噪算法有硬閾值法、軟閾值法以及相關(guān)的改進(jìn)算法。

本文在此基礎(chǔ)上提出了一種基于新的閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法。其中，新閾值函數(shù)與原來(lái)的閾值函數(shù)相比，不僅表達(dá)式簡(jiǎn)單、易于計(jì)算，而且具有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)，便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理等諸多優(yōu)良數(shù)學(xué)性能，同時(shí)很好地改善了硬、軟閾值方法的去噪效果，發(fā)揮了閾值去噪的優(yōu)越性。

最后用仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了基于新的閾值函數(shù)的去噪算法在去噪方法中具有良好的效果。

對(duì)于任意函數(shù) Ψ∈L2（R），如果滿足“容許性”條件[8]：

則Ψ可以作為一個(gè)“基小波”。進(jìn)而，在L2（R）上的積分小波變換定義為：

如果令 ψa，b）為尺度參數(shù)，b為平移參數(shù)，式（2）可寫(xiě)為：

經(jīng)小波變換后，在每個(gè)尺度上得到一組一維的小波系數(shù)。如果Ψ滿足上述容許性條件，則其變換是可逆的，反變換為：

即根據(jù)信號(hào)的小波變換系數(shù) 可以精確的恢復(fù)原信號(hào)。

而在實(shí)際的應(yīng)用中，為了便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，需要將小波變換離散化。仿照傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系，希望小波函數(shù)Ψ（x）經(jīng)過(guò)伸縮和平移構(gòu)成L2（R）的一組正交基：

這樣以來(lái)，任意函數(shù)f∈L2（R）都可以表示為小波級(jí)數(shù)的形式：

事實(shí)上，只要{Cj，k}滿足 Riesz 條件：

上述小波級(jí)數(shù)便成立，其中：

稱為小波系數(shù)。 它實(shí)際上是小波變換在離散的點(diǎn)（2－jk，2－j）上的值，也就是離散的二進(jìn)小波變換。如果ψj，k滿足Riesz條件，離散的二進(jìn)小波變換的逆變換是一個(gè)小波級(jí)數(shù)。

信號(hào)經(jīng)過(guò)小波變換后，可以認(rèn)為由信號(hào)產(chǎn)生的小波系數(shù)包含有信號(hào)的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)幅值小。通過(guò)在不同尺度上選取合適的閾值，并將小于閾值的小波系數(shù)置零，而保留大于閾值的小波系數(shù)，從而使信號(hào)中的噪聲得到有效的抑制，最后進(jìn)行小波逆變換，得到濾波后的重構(gòu)信號(hào)。小波閥值去噪的流程如下：

含噪信號(hào)→小波變換→硬/軟閾值處理→小波重構(gòu)→去噪后信號(hào)

其中硬閥值去噪算法的計(jì)算步驟如下：

對(duì)待降噪信號(hào)3求小波變換，得到一系列小波系數(shù){cj，k}；

除了最粗尺度信號(hào)外，將每個(gè)尺度j上的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，閾值取為：

其中，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，Nj為該尺度上小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)某小波系數(shù)大于閾值時(shí)，保留原值，否則置零，用公式表示為閾值函數(shù)：

式中，tj為預(yù)置閾值，cj，k為小波分解系數(shù)，為估計(jì)的小波系數(shù)。

利用閾值處理后的小波系數(shù){cj，k}做小波逆變換，重構(gòu)信號(hào)，便可得到去噪后的信號(hào)。

與硬閾值相對(duì)，軟閾值算法只是閾值函數(shù)不同，其他步驟均相同。當(dāng)某小波系數(shù)大于閥值時(shí)，向著減小系數(shù)幅值的方向作一個(gè)收縮t，否則置零，用公式表示為閾值函數(shù)：

由此可見(jiàn)，小波閾值濾波算法的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是閾值（或噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)）與閾值函數(shù)的選取。

2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

硬、軟閾值算法雖然在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用，也取得了較好的效果，由小波閾值去噪公式可知，軟閾值是對(duì)硬閾值的擴(kuò)展，但這些算法本身還存在一些缺陷，在一般情況下，用硬閾值處理過(guò)的信號(hào)要比用軟閾值處理后的信號(hào)粗糙，這是因?yàn)橛查撝捣ㄍ沟脼V波結(jié)果具有較大的方差 （主要因?yàn)闉V波后的不連續(xù)性），因此在硬閾值處理過(guò)程中，利用cj，k重構(gòu)所得的信號(hào)可能會(huì)產(chǎn)生一些振蕩。而采用軟閥值處理方法雖然可以獲得比較平滑的去噪信號(hào)，且軟閥值方法中估計(jì)小波系數(shù)有著良好的連續(xù)性，但由于當(dāng)小波系數(shù)較大時(shí)，c^j，k與cj，k之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度，給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)不可避免的誤差。從而使得軟閾值法濾波結(jié)果具有較大的偏差 （主要因?yàn)閷?duì)所有大于閾值的系數(shù)共同做了收縮）[8]。為了盡可能減少它們之間的偏差，構(gòu)建了如下新的小波閾值函數(shù)：

式（12）中，cj，k為被噪聲污染后的小波分解系，為估計(jì)的小波系數(shù)，tj為閾值。

該方法思路簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，且與前兩者相比具有良好的效果。構(gòu)建的新的閥值函數(shù)具有高階導(dǎo)數(shù)，使得其在信號(hào)和噪聲之間有著一個(gè)平滑的過(guò)渡區(qū)間。由于軟閾值算法估計(jì)出來(lái)的小波系數(shù)c^j，k的絕對(duì)值總是比cj，k要小tj，從而影響了重構(gòu)精度，所以需考慮減小此偏差，但這種偏差減小到零也不一定是最好的（硬閾值的情況）。因?yàn)槎鄶?shù)情況下cj，k本身就是由uj，k（信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)）和 Vj，k（噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)）組成的，而目的是使‖－uj，k‖最小，因此使的取值介于 cj，k－tj和 cj，k之間可能會(huì)使估計(jì)出來(lái)的小波系數(shù)更加接近于 uj，k，基于這一思想構(gòu)建了該閾值函數(shù)?？疾齑撕瘮?shù)：

可知，當(dāng) λ 取 0 和 1 之間的數(shù)，x→±∞ 時(shí)，有 f（x）－x→2λt，即隨著 cj，k的增大，和 cj，k的偏差的絕對(duì)值逐漸減小為2λt，所以大大減小了軟閾值方法中產(chǎn)生的恒定偏差，從而提高了重構(gòu)精度，改善了去噪效果。

可見(jiàn)相對(duì)于硬、軟閾值函數(shù)，新閾值函數(shù)更優(yōu)、更靈活，效果。如圖1為硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)以及改進(jìn)閾值函數(shù)的曲線圖。

圖1 3種閾值函數(shù)曲線圖Fig.1 3 kinds of threshold function curves

3 仿真試驗(yàn)

為了說(shuō)明新閾值函數(shù)在去噪算法中的有效性和優(yōu)越性，分別采用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)和新閾值函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比。文中應(yīng)用MATLAB仿真軟件對(duì)Bumps信號(hào)加入白噪聲，然后分別采用硬閾值、軟閾值和本文中提出的閾值去噪算法進(jìn)行去噪，該信號(hào)采用了sym8小波對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行3層小波分解，用最小極大方差法確定閾值。

圖2為Bumps信號(hào)及其用硬閾值、軟閾值和新閾值去噪算法進(jìn)行去噪仿真的結(jié)果，從下圖中可以看出，硬閾值和軟閾值去噪均有不同程度的波形失真，而新的閾值去噪方法達(dá)到了較好的去噪效果。

圖2 Bumps信號(hào)去噪結(jié)果對(duì)比Fig.2 The denoising results compared to Bumps signal

下表列出了此3中方法對(duì)含噪的Bumps信號(hào)去噪后的信噪比和均方差，從表中可知，改進(jìn)的小波去噪閾值方法信噪比最高，與硬閾值相比提高了23.74%，與軟閾值相比提高了79.98%，而均方差最小，與硬閾值相比降低了60.43%，與軟閾值相比降低了30%，所以去噪效果最好。

表1 Bumps信號(hào)的3種去噪結(jié)果比較Tab.1 Comparison of 3 kinds of Bumps signal denoising results

參照文獻(xiàn)[9]提出的用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示局部放電脈沖信號(hào)的方法，采用單指數(shù)衰減震蕩模型來(lái)模擬局部放電信號(hào)，并對(duì)其進(jìn)行仿真試驗(yàn)。有如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中，A為信號(hào)的振幅，τ為信號(hào)衰減系數(shù)，t0為放電時(shí)刻，fc為放電信號(hào)主頻率。 當(dāng)選取 A=5 A，τ=2 μs，t0=10 μs，fc=1 MHz時(shí)，信號(hào)模擬放電波形如圖3中的參考信號(hào)波形：

白噪聲在這里服從均值m=0，方差σ2=1的高斯分布隨機(jī)序列來(lái)模擬。本文選用db2小波對(duì)局放信號(hào)進(jìn)行3層分解，當(dāng)選取λ=0.8時(shí)，由仿真結(jié)果圖3可以看出，軟閾值去噪效果失真明顯，改進(jìn)后的閾值去噪效果相對(duì)于硬閾值去噪較為理想，而如何保持更高的穩(wěn)定度是以后繼續(xù)研究的一個(gè)方向。

圖3 局部放電仿真波形和信號(hào)去噪結(jié)果對(duì)比Fig.3 The waveform of PD simulation and the denoising results compared to the signal

4 結(jié) 論

文中提出了一種基于新的閾值函數(shù)的去噪算法，與傳統(tǒng)的硬、軟閾值去噪方法相比，去噪效果無(wú)論在信號(hào)輸出波形上還是在去噪后信號(hào)的信噪比和均方誤差意義上都有了明顯改善，而且新閾值方法很靈活，且具有比較好的穩(wěn)定性。去噪仿真的結(jié)果也說(shuō)明了改進(jìn)后的小波閾值去噪算法能夠較好地完成對(duì)波形提取的工作，在GIS局部放電檢測(cè)方面具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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