紀(jì)榮林，江 龍，石學(xué)軍

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

?

凸g-期望的若干性質(zhì)*

紀(jì)榮林，江 龍，石學(xué)軍

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

在倒向隨機(jī)微分方程生成元滿足基本假設(shè)的前提下，證明了一個(gè)關(guān)于凸g-期望和凹g-期望的Sandwich定理。進(jìn)一步地，得到了一類(lèi)凸g-期望全體的極小元的存在性，并給出了其極小元性質(zhì)的等價(jià)刻畫(huà)。

倒向隨機(jī)微分方程; 凸g-期望; Sandwich定理; 極小元

考慮如下形式的一維倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為BSDE)：

g-期望的概念可以看成是著名的Girsanov變

換的非線性推廣。自從g-期望的概念提出以來(lái)，研究者已經(jīng)得到了關(guān)于g-期望的很多性質(zhì)及其應(yīng)用。如Chen-Epstein[3]利用g-期望研究了遞歸效用；Rosazza Gianin[4]首次研究了g-期望與風(fēng)險(xiǎn)度量之間的關(guān)系；Jiang[5]則建立了凸g-期望(g-期望誘導(dǎo)的凸風(fēng)險(xiǎn)度量)與生成元g之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在Coquet-Hu-Mémin-Peng[6]關(guān)于非線性期望的公理化假設(shè)框架下，Jia[7]研究了次線性期望的極小元的性質(zhì)并獲得了相應(yīng)的Sandwich定理。

眾所周知，g-期望是一類(lèi)典型的信息流相容的非線性期望，且是由BSDE誘導(dǎo)出來(lái)的而非公理化假設(shè)產(chǎn)生的。因此，一個(gè)自然的問(wèn)題是：在g-期望的框架下，關(guān)于凸g-期望的極小元的性質(zhì)刻畫(huà)及相應(yīng)的Sandwich定理是否類(lèi)似成立？

1 預(yù)備知識(shí)

(A1) (Lipschitz條件) 存在常數(shù)K≥0使得dP×dt-a.s.，對(duì)任意的(y1,z1),(y2,z2)∈R×Rd，有

(A3) dP×dt-a.s.，對(duì)任意的y∈R有g(shù)(t,y,0)≡0。

為方便讀者起見(jiàn)，我們回顧Peng[2]關(guān)于g-期望和條件g-期望的定義并引入Jia[7]中非線性期望的定義，如下：

(i) 保常數(shù)性：ε[c]=c，?c∈R。

(ii) 單調(diào)性：ε[X]≥ε[Y]，若X≥Y，P-a.s.。 (iii) 嚴(yán)格單調(diào)性：ε[X]>ε[Y]，若X≥Y，P-a.s.，且P(X>Y)>0。

定義3 稱非線性期望ε為凸期望(凹期望)，若其滿足

凸性 (凹性)：ε[αX+(1-α)Y]≤(≥)αε[X]+(1-α)ε[Y]，?α∈[0,1]。

定義4 稱非線性期望ε為次線性期望(超線性期望)，若ε是凸期望(凹期望)且滿足

正齊次性：ε[λX]=λε[X]，?λ≥0。

定義5 稱非線性期望ε為線性期望，若ε既是次線性期望又是超線性期望。

定義 6 設(shè)(S,≤)為一偏序集，稱F0為S的一個(gè)極小元，若其滿足

(i)F0∈S；

(ii) 對(duì)任意的F∈S，如果F≤F0，則F=F0。 下面引入本文的一些重要引理，其中引理1來(lái)自文[7]推論3.2；引理2和引理3則分別源自文[5]定理3.2及引理2.1。

引理1 設(shè)ε1為次線性期望，ε2為超線性期望。若ε1≥ε2，則存在線性期望ε使得ε1≥ε≥ε2。

引理2 設(shè)生成元g滿足條件(A1)和(A3)，則以下陳述等價(jià)：

(i)εg[·]是凸期望；

(ii)g獨(dú)立于y且關(guān)于z是凸的。

引理3 設(shè)生成元g滿足條件(A1)和(A3)，且g獨(dú)立于y，則對(duì)任意的p∈[1,2)，z∈Rd，有

2 主要結(jié)果

證明 首先，證明對(duì)任意的凸期望ε，定義

(2)

由ε*的定義，立即可得

(3)

(4)

(5)

接下來(lái)，有

(6)

事實(shí)上，β=0時(shí)，由ε*的實(shí)值性及(3)式，可得ε*[βX]=0=βε*[X]。令β>0，有

(7)

故ε*是次線性期望。

其次，證明對(duì)任意的凸期望ε1及凹期望ε2，若ε1≥ε2，則存在線性期望ε使得ε1≥ε≥ε2。事實(shí)上，定義

應(yīng)用引理1，即知存在線性期望ε使得ε1≥ε≥ε2。

最后，證明存在滿足題設(shè)條件的概率測(cè)度Q0，使得εg1≥EQ0≥εg2。由Peng[2]知g-期望是一類(lèi)典型的非線性期望，結(jié)合上一步的結(jié)論，我們知道存在一個(gè)線性期望ε0，使得

應(yīng)用引理2知，g1是獨(dú)立于y的，結(jié)合Lipschitz條件，g1(t,0)≡0及比較定理，得

由文[6]定理7.1知, 存在定義在Ω×[0,T]×Rd上的唯一的生成元，記為gQ0，且生成元gQ0滿足以下三個(gè)假設(shè)條件：

(B1) (Lipschitz條件) dP×dt-a.s.，對(duì)任意的z1,z2∈Rd，有|gQ0(t,z1)-gQ0(t,z2)|≤K|z1-z2|。

(B2) dP×dt-a.s.，gQ0(t,0)≡0。

由(B3)及條件期望的唯一性，可得

Q0(A)=EQ0[1A]=EQv[1A]=Qv(A)

從而，Q0=Qv。證畢。

定理2 設(shè)εg1為凸g-期望，εg2為凹g-期望且εg1≥εg2。令

S={εg:εg是凸g-期望且εg1≥εg≥εg2}

則S至少存在一個(gè)極小元，且以下陳述等價(jià)：

(i)εg0是S的一個(gè)極小元。

(ii)εg0是線性g-期望且εg1≥εg0≥εg2。

εg4[X]≤εg[X]=-εg[-X]≤-εg4[-X]，

0=2εg4[X-X]≤εg4[X]+εg4[-X]

下證(i)?(ii)成立。設(shè)εg0為S的一個(gè)極小元，顯然εg0是凸g-期望且εg1≥εg0≥εg2。應(yīng)用定理1可知，存在一個(gè)線性g-期望εg，使得εg1≥εg0≥εg≥εg2，故εg∈S。又εg0為S的極小元且εg0≥εg，則由極小元的定義得εg0=εg。證畢。

推論1 設(shè)εg1為凸g-期望，令

S={εg:εg是凸g-期望且εg1≥εg}

則S至少存在一個(gè)極小元，且εg0是S的一個(gè)極小元當(dāng)且僅當(dāng)εg0是線性g-期望且εg0≤εg1。

推論2 設(shè)εg2為凹g-期望，令

S={εg:εg是凸g-期望且εg≥εg2}

則S至少存在一個(gè)極小元，且εg0是S的一個(gè)極小元當(dāng)且僅當(dāng)εg0是線性g-期望且εg0≥εg2。

推論3 設(shè)S為所有凸g-期望的全體，則S至少存在一個(gè)極小元，且εg0是S的一個(gè)極小元當(dāng)且僅當(dāng)εg0是線性g-期望。

[1] PARDOUX E, PENG S G. Adapted solution of a backward stochastic differential equation [J]. Systems Control Letters, 1990, 14: 55-61.

[2] PENG S G. BSDE and related g-expectation [J]∥ Backward stochastic differential equations. KAROUI N E，MAZLIAK L, eds. Pitman Res Notes Math Ser, 1997, 364: 141-159.

[3] CHEN Z J, EPSTEIN L. Ambiguity,risk and asset returns in continuous time [J]. Econometrica, 2002, 70: 1403-1444.

[4] ROSAZZA GIANIN E. Risk measures via g-expectations [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2006, 39: 19-34.

[5] JIANG L. Convexity,translation invariance and subadditivity for g-expectations and related risk measures [J]. Annals of Applied Probability, 2008, 18: 245-258.

[6] COQUET F, HU Y, MéMIN J, et al. Filtration consistent nonlinear expectations and related g-expectation [J]. Probability Theory and Related Fields, 2002, 123 (1): 1-27.

[7] JIA G Y. The minimal sublinear expectations and their related properties [J]. Science in China Series A: Mathematics, 2009, 39: 79-87．

[8] CHEN Z J, KULPERGER R. Minimax pricing and choquet pricing [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2006, 38(3): 518-528.

[9] CHEN Z J, CHEN T, DAVISON M. Choquet expectation and Peng’s g-expectation [J]. The Annals of Probability, 2005, 33(3): 1179-1199.

[10] HE K, HU M S, CHEN Z J. The relationship between risk measures and choquet expectations in the framework of g-expectations [J]. Statistics and Probability Letters, 2009, 79: 508-512.

Some Properties of Convexg-Expectations

JIRonglin,JIANGLong,SHIXuejun

(School of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Under the basic assumptions on generators，a sandwich theorem for convexg-expectations and concaveg-expectations is proven. Furthermore，for some subsets of all convexg-expectations, the existence of their minimal members are proven and the properties of those minimal members are characterized.

backward stochastic differential equation; convexg-expectation; sandwich theorem; minimal member

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.003

2015-01-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371362)；2014年江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(KYZZ_0373)

紀(jì)榮林 (1984年生)，男；研究方向：非線性數(shù)學(xué)期望；通訊作者：江龍;E-mail:jianglong365@hotmail.com

O211.67

A

0529-6579(2015)05-0011-04