王 林 許宏泉

（1.92493部隊(duì)2分隊(duì) 葫蘆島 125000）（2.海軍駐武漢709所軍事代表室 武漢 430205）

一種適用于突發(fā)通信的載波頻偏估計(jì)算法＊

王 林1許宏泉2

（1.92493部隊(duì)2分隊(duì) 葫蘆島 125000）（2.海軍駐武漢709所軍事代表室 武漢 430205）

論文提出了一種適用于突發(fā)通信條件下的新型載波頻偏估計(jì)算法，算法同時(shí)利用了導(dǎo)頻符號(hào)和數(shù)據(jù)符號(hào)。仿真結(jié)果表明，新算法的頻偏估計(jì)范圍達(dá)到了符號(hào)速率的±0.5，信噪比門(mén)限很低，而且估計(jì)的均方誤差接近克拉美－勞下界（CRLB）。新算法的運(yùn)算復(fù)雜度低，非常適合于實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。

突發(fā)通信；載波同步；頻偏估計(jì)；克勞美－勞下界

Class NumberTN914.52

1 引言

在軍事通信中，為了防止被竊聽(tīng)、破譯、偵收和干擾，常常使用突發(fā)通信手段，即將信息以高速率數(shù)據(jù)隨機(jī)突發(fā)的方式發(fā)送出去。由于信號(hào)在傳輸過(guò)程中暴露的時(shí)間很短，大大降低了其被截獲的概率。載波頻率偏移（以下簡(jiǎn)稱“頻偏”）是由發(fā)射機(jī)和接收機(jī)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，對(duì)于突發(fā)通信來(lái)說(shuō)，接收機(jī)必須準(zhǔn)確、快速地估計(jì)和補(bǔ)償頻偏，以便正確接收數(shù)據(jù)。

目前，近香農(nóng)極限的信道編碼被廣泛使用，接收機(jī)需要工作在極低信噪比下［1］。在這種情況下，通常使用導(dǎo)頻符號(hào)輔助調(diào)制技術(shù)，即在突發(fā)幀中插入一定數(shù)量的導(dǎo)頻符號(hào)，幫助接收機(jī)進(jìn)行同步。

載波頻偏估計(jì)算法在許多論文中已有研究，常見(jiàn)的頻偏估計(jì)算法有兩類，一類是基于FFT［2］，另一類則基于相位差分［3～7］?；贔FT的算法具有很低的信噪比門(mén)限、接近CRLB的性能，但運(yùn)算復(fù)雜度太高，并不是很實(shí)用。基于相位差分的算法包括Kay算法［3］、L＆R算法［4］、Fitz算法［5］、Bian算法［6］、M＆M算法［7］等。Kay算法是一種簡(jiǎn)單的無(wú)偏估計(jì)算法，在高信噪比時(shí)性能可達(dá)到CRLB。L＆R算法、Fitz算法、Bian算法都比FFT容易實(shí)現(xiàn)，在中等信噪比時(shí)性能可達(dá)到CRLB，但估計(jì)范圍較小。M＆M算法性能更好，雖然運(yùn)算復(fù)雜度稍高，但具有大的估計(jì)范圍。在這些算法中，M＆M算法的性能最佳，后文中將重點(diǎn)以它作為比較對(duì)象。

現(xiàn)有的頻偏估計(jì)算法，或者運(yùn)算復(fù)雜度高，或者信噪比門(mén)限高，而且大部分只用到了導(dǎo)頻符號(hào)，而大量數(shù)據(jù)符號(hào)的相位信息則完全沒(méi)有利用到。本文將提出一種新的載波頻偏估計(jì)算法，它基于最大似然原理并進(jìn)行了改進(jìn)，具有信噪比門(mén)限低、估計(jì)范圍大的優(yōu)點(diǎn)。

2 算法描述

在突發(fā)通信中，載波同步過(guò)程需要借助導(dǎo)頻符號(hào)。以BPSK調(diào)制的情形來(lái)分析，采用加性高斯白噪聲（AWGN）信道模型。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為N的突發(fā)幀，第k個(gè)接收符號(hào)為

其中k滿足1≤k≤N，xk∈｛－1，1｝表示傳輸?shù)腂PSK符號(hào)，fd是按照符號(hào)速率歸一化的載波頻偏，θ是均勻分布于（－π，π］內(nèi)的載波初相位。nk是獨(dú)立同分布的復(fù)高斯隨機(jī)變量，其均值為0，實(shí)部和虛部的方差分別等于N0／2。

設(shè)每幀有Np個(gè)導(dǎo)頻符號(hào)，全部導(dǎo)頻符號(hào)的下標(biāo)組成集合KP。對(duì)于已知的導(dǎo)頻符號(hào)，接收機(jī)通過(guò)對(duì)接收信號(hào)乘以復(fù)共軛將其能量歸一化，如下式所示：

其中Es表示導(dǎo)頻符號(hào)的能量（所有導(dǎo)頻符號(hào)都具有相同的能量），且km∈KP。注意n′k與nk的統(tǒng)計(jì)特性一致，信噪比定義為Es／N0。對(duì)于數(shù)據(jù)符號(hào)來(lái)說(shuō)，也需要如式（2）一樣乘以使得數(shù)據(jù)符號(hào)的能量也歸一化。

為了分析算法性能，引入理論估計(jì)的下界是很有必要的。CRLB是最常用的一種下界，現(xiàn)將頻偏估計(jì)的CRLB定義為CRLBf，表達(dá)式為［8］

其中J為Fisher矩陣。

傳統(tǒng)的頻偏估計(jì)算法只利用導(dǎo)頻符號(hào)（而不利用數(shù)據(jù)符號(hào)），F(xiàn)isher矩陣為

如果同時(shí)使用了導(dǎo)頻符號(hào)和數(shù)據(jù)符號(hào)，則Fisher矩陣變?yōu)椋?］

其中，KD是全部數(shù)據(jù)符號(hào)下標(biāo)組成的集合。顯然有KP∩KD＝?及KP∪KD＝｛1，2，3，…，N｝。

從文獻(xiàn)［10］中可知F（σ2）／σ2的值為

其中，p（z｜ω，φ）是概率密度函數(shù)，定義如下

其中，平均能量為1的BPSK星座圖C＝｛－1，1｝，分布概率p（b）＝1／2。計(jì)算F（σ2）／σ2值的較快方式是使用蒙特卡洛法。

根據(jù)CRLBf的含義，頻偏試探間隔Δfd宜取值為CRLBf平方根的一半，即

由于CRLBf的值與信噪比有關(guān)，所以本文是在平均意義上選取Δfd。歸一化頻偏fd的范圍（即｜fd｜max）可根據(jù)通信系統(tǒng)的參數(shù)計(jì)算得到。

傳統(tǒng)的最大似然函數(shù)為［2］

對(duì)式（9）進(jìn)行改進(jìn)，定義導(dǎo)頻似然函數(shù)Hp（f）為

定義數(shù)據(jù)似然函數(shù)Hd（f）為

其中f在區(qū)間［－｜fd｜max，｜fd｜max］內(nèi)，且以Δfd為間隔。為了硬件實(shí)現(xiàn)的方便，在式（10）和式（11）中進(jìn)行了冪運(yùn)算，使Hp（f）和Hd（f）的量綱一致化。

引入合并系數(shù)a，定義總似然函數(shù)H（f）為

其中a滿足0≤a≤1。特別地，a＝1時(shí)為傳統(tǒng)的最大似然算法，只使用導(dǎo)頻符號(hào)、不使用數(shù)據(jù)符號(hào)；a＝0時(shí)則只使用數(shù)據(jù)符號(hào)、不使用導(dǎo)頻符號(hào)。

針對(duì)所有的試探頻偏值，都可以算出H（f）的值，使H（f）取最大值的fd就是頻偏估計(jì)結(jié)果。

合并系數(shù)a的取值會(huì)影響算法的性能。對(duì)于給定的導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)，需要挑選出最合適的a，這個(gè)過(guò)程可由預(yù)先仿真完成。

為了對(duì)比，下面給出M＆M算法的表達(dá)式，定義自相關(guān)函數(shù)為

其中uk（1≤k≤N）表示導(dǎo)頻符號(hào)。

從文獻(xiàn)［7］可知，M＆M算法的頻偏估計(jì)結(jié)果為

其中w（m）為平滑函數(shù)

其中1≤N≤L－1，典型情況下N＝L－1。

3 仿真

3.1 仿真條件

為了驗(yàn)證新算法的性能，進(jìn)行三次仿真。首先對(duì)歸一化頻偏的估計(jì)范圍進(jìn)行仿真，設(shè)定歸一化頻偏的范圍為（－0.5，0.5），信噪比設(shè)為2dB。

第二個(gè)仿真針對(duì)不同合并系數(shù)a條件下的頻偏估計(jì)性能。設(shè)fd均勻分布于（－0.01，0.01），載波初相位θ均勻分布于（－π，π］。歸一化頻偏0.01是比較接近實(shí)際情況的，因?yàn)榻邮諜C(jī)前端往往已經(jīng)消除了大頻偏，殘余頻偏比較小，一般不會(huì)超過(guò)0.01。通過(guò)改變a的值，考察新算法性能的變化，從而挑選出最佳的a。信噪比設(shè)為－8dB～－2dB，以1dB為步進(jìn)。

第三個(gè)仿真將新算法與M＆M算法進(jìn)行了對(duì)比，合并系數(shù)a設(shè)為0.4。仿真中考慮了兩種M＆M算法，一種只利用導(dǎo)頻符號(hào)，另一種則同時(shí)利用到導(dǎo)頻符號(hào)和數(shù)據(jù)符號(hào)，其中數(shù)據(jù)符號(hào)進(jìn)行了平方運(yùn)算以消除調(diào)制信息。由于數(shù)據(jù)符號(hào)平方之后的信噪比非常低，所以需要對(duì)數(shù)據(jù)符號(hào)進(jìn)行疊加，即把若干個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)之和視作一個(gè)符號(hào)。

新算法并不限定導(dǎo)頻圖案的任何形式，因此三個(gè)仿真中都使用最常規(guī)的導(dǎo)頻圖案。幀長(zhǎng)N＝500，導(dǎo)頻符號(hào)數(shù)Np＝100，且導(dǎo)頻符號(hào)全部放在幀頭。頻偏試探間隔Δfd≈3×10－5。

3.2 仿真結(jié)果

仿真圖1給出了新算法的估計(jì)范圍。從圖中可見(jiàn)，新算法的歸一化頻偏估計(jì)范圍達(dá)到了最大的（－0.5，0.5）。

圖1 載波頻偏估計(jì)范圍

仿真圖2顯示了不同信噪比下的頻偏估計(jì)方差。從圖中可見(jiàn)，新算法的信噪比門(mén)限受到a值的影響。在給定的導(dǎo)頻圖案下，最佳的a＝0.4，此時(shí)信噪比門(mén)限達(dá)到－5dB，且估計(jì)方差接近CRLB。注意圖中有兩條CRLB曲線，傳統(tǒng)的最大似然估計(jì)算法（a＝1）達(dá)到了導(dǎo)頻符號(hào)估計(jì)的CRLB；新算法（最佳a(bǔ)＝0.4）達(dá)到了導(dǎo)頻符號(hào)和數(shù)據(jù)符號(hào)聯(lián)合估計(jì)的CRLB。

圖2 載波頻偏估計(jì)的均方誤差（不同a值條件下）

仿真圖3對(duì)比了新算法（a＝0.4）與M＆M算法的性能。從圖中看出，M＆M算法的信噪比門(mén)限為－1dB，新算法的信噪比門(mén)限為－5dB，新算法比M＆M算法改進(jìn)了至少4dB。

圖3 載波頻偏估計(jì)的均方誤差（新算法與M＆M算法對(duì)比）

新的載波頻偏估計(jì)算法只用到了加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，非常有利于在硬件上（如DSP、CPLD、FPGA等）實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算復(fù)雜度比FFT要小，估計(jì)性能也很好。此外，新算法可適用于任何導(dǎo)頻圖案，無(wú)論是規(guī)則的或不規(guī)則的。如果想提高估計(jì)速度，可以增大試探間隔Δfd，但也會(huì)降低估計(jì)精度。

本文的分析都在BPSK調(diào)制基礎(chǔ)上展開(kāi)，但這并不代表新算法只適用于BPSK，事實(shí)上對(duì)于其他MPSK（M＞2）調(diào)制，新算法依然有效，只需修改式（10）和式（11）中的冪次即可。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種適用于突發(fā)傳輸?shù)男滦洼d波頻偏估計(jì)算法，新算法利用了突發(fā)幀中的導(dǎo)頻符號(hào)和數(shù)據(jù)符號(hào)，具有較低的信噪比門(mén)限和較大的頻偏估計(jì)范圍，估計(jì)性能接近CRLB，而且運(yùn)算復(fù)雜度低，非常實(shí)用。

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A Carrier FrequencyOffset Estimation Algorithm for BPSK Burst Transmission

WANG Lin1XU Hongquan2
（1.Unit 2，No.92493Troops of PLA，Huludao 125000）（2.Navy Representative Office in Wuhan 709Institute，Wuhan 430205）

This paper proposes a new carrier frequency offset estimation algorithm in Binary Phase Shift Keying（BPSK）burst transmission based on pilot symbols and modulated data symbols.Its estimation range is large，which is about±0.5of the symbol rate.The simulation results show that this algorithm has low SNR threshold，and its estimation mean square error（MSE）is close to Cramer－Rao Lower Bound（CRLB）.The algorithm's computational complexity is low and it's very practical.

burst transmission，carrier synchronization，frequency offset estimation，Cramer－Rao lower bound

TN914.52DOI：10.3969／j.issn.1672－9730.2015.11.019

2015年5月17日，

2015年6月23日

王林，男，工程師，研究方向：武器裝備系統(tǒng)工程。許宏泉，男，碩士，高級(jí)工程師，研究方向：艦載指控系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)應(yīng)用。