宋少奎

關(guān)鍵詞：高效；地理課堂；教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）03-107-02

在講授如何求曲線的方程時(shí)我選了這樣一道例題：

例：已知平面上的線段BC的長(zhǎng)為 ，動(dòng)點(diǎn)A位于線段BC所在直線的同一側(cè)，且向線段BC所張的角恒為 ，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是否有有限長(zhǎng)度？若有，你能求出其長(zhǎng)度嗎？

課堂實(shí)錄：

經(jīng)過(guò)思考以后，同學(xué)甲：我想到了是跟圓有關(guān)的問(wèn)題，求出的應(yīng)該是圓的一段弧長(zhǎng)，他說(shuō)我們可以這樣設(shè)想，當(dāng)點(diǎn)A向線段BC所張的角是 ，則點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上，但現(xiàn)在點(diǎn)向線段BC所張的角恒為 ，則點(diǎn)A所對(duì)的弦BC不是直徑，如圖，可知點(diǎn)A的軌跡是以2為半徑的圓周的 ，點(diǎn)A的軌跡有限長(zhǎng)度是 。

同學(xué)乙：我有不同的想法，在ΔABC中用正弦定理， = ， ，說(shuō)明ΔABC的外接圓的半徑是2，即可計(jì)算得出。

教師提示：剛才兩位同學(xué)思考的都很好，它們都是從純幾何的角度思考，我們前面學(xué)習(xí)了直線和圓，知道可以通過(guò)方程研究直線和曲線，我們能否求出點(diǎn)A的方程，然后通過(guò)方程研究呢？這就是我們解析幾何的核心，坐標(biāo)法。

同學(xué)丙：以BC所在直線為 軸，BC的中垂線為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（ ），其中 ，B（ ），C（ ），找出動(dòng)點(diǎn)A所滿足的等量關(guān)系，在ΔABC中用正弦定理， ，但是化簡(jiǎn)的時(shí)候很復(fù)雜，不知怎樣解決。這時(shí)教師提示，我們能否這樣想， 不直接代入坐標(biāo)，而是整體處理，以避免繁瑣的根號(hào)，那 與哪些量有聯(lián)系呢？同學(xué)們陷入了沉思，這時(shí)同學(xué)丁打破了沉默，可以想到向量數(shù)量積， ，又 ， 代入上式得到一個(gè)恒等式，無(wú)法求出點(diǎn)A的方程，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生不要慌張，碰壁的過(guò)程是正常的，關(guān)鍵是如何尋求新的思路。同學(xué)們?cè)俅蜗萑氤了?。教師提示?除了與向量數(shù)量積以外，還與哪些量有關(guān)呢？同學(xué)?。豪蠋熚蚁氲搅耍€與三角形的面積有關(guān)， ，代入可得點(diǎn)A的軌跡方程是 。若點(diǎn)A在 軸的下方，則點(diǎn)A的軌跡方程是 。它們所表示的弧長(zhǎng)都是圓的周長(zhǎng) 。這時(shí)有個(gè)平時(shí)喜歡動(dòng)腦的同學(xué)舉手發(fā)言：老師，這道題我還有一種全新的解法，至此，整節(jié)課被推向高潮。是這樣的， ∠ ∠ = ， ， ， ，化簡(jiǎn)得： 。

至此，我們比較了兩種不同的方法，第一種用幾何法求解很簡(jiǎn)潔，第二種用代數(shù)的方法求解，過(guò)程明了，稍顯復(fù)雜。后記：這是解析幾何中求軌跡方程的第一節(jié)課，沒(méi)有直接采用課本的例題。有三個(gè)用意。第一，對(duì)于幾何問(wèn)題同學(xué)們最直接的想法，應(yīng)該是用幾何的思維解決幾何問(wèn)題，這跟他們的學(xué)情有關(guān)，也就是說(shuō)同學(xué)們對(duì)于采用純幾何方法還是坐標(biāo)法，應(yīng)該有個(gè)選擇的博弈的過(guò)程，通過(guò)選擇比較，才會(huì)有更深刻的認(rèn)識(shí)，而不是一上來(lái)就直接教他們建系求方程，實(shí)際上，比較以后，同學(xué)們有兩個(gè)體會(huì)，以后碰到類似問(wèn)題，他們會(huì)想到純幾何法，而且純幾何法有時(shí)候比坐標(biāo)法來(lái)的快，做的容易。比如本題就是如此。如果純幾何法不能解決的時(shí)候可以采用坐標(biāo)法。這樣同學(xué)們的思維就打開了。第二，一旦采用坐標(biāo)法，對(duì)于建系的選擇應(yīng)該也讓學(xué)生有個(gè)心理博弈的過(guò)程，本題可能有學(xué)生不是采取這樣的建系方法，讓他們求出方程，跟本題的建系方法做個(gè)比較。指出我們建系的優(yōu)劣取決于求出的方程是否簡(jiǎn)潔。以便以后碰到類似題目有個(gè)選擇的過(guò)程。第三：坐標(biāo)法五步中著重在第二步做文章，就是尋求動(dòng)點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，本題中的幾種想法都是同學(xué)們想出來(lái)的，經(jīng)過(guò)同學(xué)們的展示，大家對(duì)這一步有了更深刻的認(rèn)識(shí)。