倪 浩，林書(shū)玉

（陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西西安710119）

圓盤(pán)形壓電陶瓷復(fù)合變壓器的等效電路和特性

倪 浩，林書(shū)玉＊

（陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西西安710119）

研究了由壓電陶瓷圓盤(pán)，金屬環(huán)，壓電陶瓷環(huán)組成的圓盤(pán)形壓電陶瓷復(fù)合變壓器。推導(dǎo)了這種壓電變壓器的等效電路，輸入阻抗，共振、反共振頻率方程和電壓增益方程。分析計(jì)算了壓電變壓器尺寸變化對(duì)頻率、有效機(jī)電耦合系數(shù)的影響。研究了負(fù)載變化對(duì)壓電變壓器頻率、有效機(jī)電耦合系數(shù)的影響，探討了電壓增益與負(fù)載的關(guān)系。研究表明，變壓器隨壁厚比的升高共振和反共振頻率皆升高，有效機(jī)電耦合系數(shù)降低；隨負(fù)載的升高，共振、反共振頻率及電壓增益升高，有效機(jī)電耦合系數(shù)降低。

復(fù)合壓電變壓器；等效電路；優(yōu)化設(shè)計(jì)

PACS：43.35.+d；72.55.+s

壓電變壓器是一種新型的固體超聲功率電子器件，其利用壓電陶瓷材料的正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)完成機(jī)械能與電能的相互轉(zhuǎn)換，從而實(shí)現(xiàn)電壓的高低變換。它具有許多傳統(tǒng)的電磁式變壓器所不具有的優(yōu)點(diǎn)如：體積小、重量輕、升壓比大、轉(zhuǎn)換效率高，價(jià)格便宜、安全可靠、適合大批量生產(chǎn)、高效節(jié)能等，故具有很高的應(yīng)用價(jià)值。目前，壓電變壓器主要分為三類：Rosen型、厚度振動(dòng)型及徑向振動(dòng)型［1－3］。

Rosen型壓電變壓器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制作容易，升壓比高，特別適合于驅(qū)動(dòng)高電壓小功率器件，比如驅(qū)動(dòng)冷陰極熒光燈CCFL可為手機(jī)、筆記本電腦的LCD顯示器提供背光源。厚度振動(dòng)型壓電變壓器的特點(diǎn)是功率較大、工作頻率高，能夠降低電壓，多用于高頻開(kāi)關(guān)電源中。徑向振動(dòng)型壓電變壓器是一種處于發(fā)展中的新型壓電變壓器，這種壓電變壓器的突出優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制作方便，能以很小的尺寸實(shí)現(xiàn)低頻和大功率，可用在電子整流器、適配器及DC／DC變換器中［4－8］。

本文針對(duì)徑向振動(dòng)壓電式變壓器，提出了一種新型的復(fù)合式壓電陶瓷變壓器系統(tǒng)，通過(guò)推導(dǎo)復(fù)合徑向壓電變壓器的等效電路，得到了壓電變壓器的共振、反共振頻率方程以及電壓增益方程，并且討論了壓電變壓器尺寸、負(fù)載的變化對(duì)壓電變壓器共振、反共振頻率，有效機(jī)電耦合系數(shù)、電壓增益的影響關(guān)系。依照本文方法，可以研究多層徑向復(fù)合圓環(huán)壓電變壓器的特性，對(duì)徑向振動(dòng)壓電變壓器的設(shè)計(jì)及實(shí)際應(yīng)用起到一定的指導(dǎo)作用。

1 復(fù)合壓電陶瓷變壓器理論分析

圖1 圓盤(pán)形復(fù)合壓電陶瓷變壓器Fig.1 Piezoelectric ceramic composite disk transformer

復(fù)合新型壓電變壓器如圖1所示，內(nèi)外層分別是縱向極化。半徑為R1的壓電陶瓷圓盤(pán)和半徑為R3的壓電陶瓷圓環(huán)，中間層為半徑為R2的金屬鋁環(huán)。壓電變壓器高度h?R1、R2、R3，在內(nèi)層施加一個(gè)縱向的驅(qū)動(dòng)電場(chǎng)E3來(lái)激勵(lì)此壓電變壓器，其中Vo為輸出端，Vi為輸入端，PZT為壓電陶瓷材料。

1.1 壓電陶瓷圓盤(pán)的等效電路

復(fù)合壓電陶瓷變壓器的內(nèi)層壓電陶瓷圓盤(pán)如圖2所示，h、R1分別為其厚度和半徑，F(xiàn)r1、vr1分別為壓電圓盤(pán)徑向外力和振動(dòng)速度，P為極化方向，當(dāng)h?R1時(shí)，壓電陶瓷圓盤(pán)可看作薄圓盤(pán)。在此條件下可以得到電學(xué)參量和機(jī)械參量的關(guān)系［9］：

圖2 厚度極化壓電陶瓷圓盤(pán)Fig.2 Diagram of thickness polarized piezoelectric ceramic disk

圖3 壓電陶瓷圓盤(pán)徑向振動(dòng)機(jī)電等效電路Fig.3 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic disc in radial vibration

1.2 金屬環(huán)的等效電路

圖4為金屬圓環(huán)的示意圖，其中h、R1、R2分別表示金屬環(huán)的高度和內(nèi)外半徑，F(xiàn)r1、Fr2、vr1、vr2分別為金屬圓環(huán)徑向振動(dòng)內(nèi)外表面徑向應(yīng)力和內(nèi)外表面振動(dòng)速度，在平面徑向振動(dòng)條件下，可以得到徑向應(yīng)力和徑向速度的關(guān)系［10］：

圖4 徑向振動(dòng)的金屬環(huán)Fig.4 Diagram of a metal thin circular disc in radial vibration

其中，Z1m，Z2m，Z3m分別為機(jī)械阻抗。Zr1＝ρVrSr1，Zr2＝ρVrSr2，Sr1＝2πR1h，Sr2＝2πR2h，其中Sr1、Sr2分別是金屬環(huán)內(nèi)表面積和外表面積。Vr＝，Vr是聲波在金屬環(huán)中傳播的速度，E和v分別是金屬環(huán)的楊氏模量和泊松比，波數(shù)k＝ω／r，ω是角頻率。由（3）—（4）可以得到金屬環(huán)的徑向振動(dòng)等效電路如圖5所示，其中的阻抗表達(dá)式為（5）—（7）。

圖5 徑向振動(dòng)的金屬環(huán)機(jī)電等效電路Fig.5 Electro－mechanical equivalent circuit of a thin metal circular disc in radial vibration

1.3 壓電陶瓷圓環(huán)的等效電路

復(fù)合壓電陶瓷變壓器的外層壓電陶瓷圓環(huán)如圖6所示，其中P表示極化方向，其中h、R1、R2分別表示金屬環(huán)的高度和內(nèi)外半徑，F(xiàn)r2、vr2和Fr3、vr3分別表示壓電陶瓷圓環(huán)徑向振動(dòng)內(nèi)表面徑向應(yīng)力、振動(dòng)速度和外表面應(yīng)力和振動(dòng)速度。在平面徑向振動(dòng)條件下可以得到電學(xué)參量和機(jī)械參量的關(guān)系［11］：

圖6 厚度極化壓電陶瓷圓環(huán)Fig.6 Diagram of thickness polarized piezoelectric ceramic ring

其中，I31和V31是縱向通過(guò)的電流和電壓，F(xiàn)r2＝n1Fr2，F(xiàn)r3＝n1Fr3，vr2＝vr2／n1，vr3＝vr3／n2，n1＝（πkr0R3／2），n2＝（πkr0R2／2），V31＝E3h，kr0＝， ω＝2πf；Vr0＝是聲波在壓電陶瓷圓環(huán)中徑向傳播的速度，；壓電陶瓷圓環(huán)機(jī)械轉(zhuǎn)換系數(shù)是壓電陶瓷圓環(huán)的靜態(tài)電容，是壓電陶瓷圓環(huán)的表面積。Z1p、Z2p、Z3p是三個(gè)機(jī)械阻抗，具體表達(dá)式為

其中Z02＝ρ0Vr0Sr2，Z03＝ρ0Vr0Sr3，Sr2＝2πR2h，Sr3＝2πR3h。由（8）、（9）、（10）可以得到壓電陶瓷圓環(huán)的等效電路如圖7所示。

圖7 壓電陶瓷圓環(huán)徑向振動(dòng)機(jī)電等效電路Fig.7 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic disc in radial vibration

1.4 壓電陶瓷復(fù)合變壓器的機(jī)電特性分析

根據(jù)徑向應(yīng)力和速度連續(xù)的邊界條件和圖3、圖5、圖7所示等效電路，可以得到在開(kāi)路條件下復(fù)合式壓電變壓器等效電路如圖8所示。

從圖8中可知，有2個(gè)電學(xué)終端和4個(gè)機(jī)械終端，兩條粗實(shí)線將壓電變壓器分為三部分：壓電陶瓷圓盤(pán)部分，金屬圓環(huán)部分，壓電陶瓷圓環(huán)部分。當(dāng)壓電陶瓷圓環(huán)處于自由狀態(tài)，即Fr3＝0，此時(shí)該端口機(jī)械自由，電學(xué)短路。選取壓電陶瓷圓環(huán)為輸入端，壓電陶瓷圓盤(pán)為輸出端，假設(shè)輸出端負(fù)載為Z0＝R+jX。從圖中我們可以得到此壓電變壓器的輸入電阻抗為

圖8 壓電陶瓷復(fù)合變壓器等效電路Fig.8 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic composite disk transformer in radial vibration

其中復(fù)合壓電變壓器的機(jī)械阻抗Zm＝Z3p+，帶負(fù)載的壓電陶瓷圓盤(pán)和金屬圓環(huán)的總機(jī)械阻抗，帶負(fù)載的壓電陶瓷圓盤(pán)的輸入阻抗當(dāng)R＝∞時(shí)，即輸出端開(kāi)路，由式（13）可以得到復(fù)合徑向振動(dòng)壓電變壓器的共振頻率方程和反共振頻率方程分別為

結(jié)合圖8可以得到徑向振動(dòng)壓電陶瓷變壓器的電壓增益為

其中，Z1＝Zr+Z1m，Z2＝Zmr。

2 復(fù)合壓電陶瓷變壓器的特性參數(shù)與其幾何尺寸及負(fù)載的關(guān)系

壓電陶瓷變壓器是一種頻率選擇性器件。當(dāng)系統(tǒng)共振時(shí)，變壓器的性能處于最佳狀態(tài)。壓電變壓器的機(jī)電性能與其工作頻率、幾何形狀和尺寸以及負(fù)載狀態(tài)等有關(guān)。利用上面分析中得到的壓電陶瓷變壓器的參數(shù)表達(dá)式，對(duì)壓電陶瓷變壓器的共振頻率、有效機(jī)電耦合系數(shù)以及電壓增益比與其幾何尺寸和負(fù)載的依賴關(guān)系進(jìn)行了分析及探討。在以下的分析中，選取壓電材料為PZT－4，金屬材料為鋁，它們的具體參數(shù)如下

2.1 金屬環(huán)壁厚對(duì)復(fù)合壓電變壓器的影響

固定復(fù)合式徑向振動(dòng)壓電變壓器內(nèi)部壓電圓盤(pán)的半徑R1＝0.01m，外部壓電陶瓷圓環(huán)的外半徑R3＝0.03m，厚度h＝0.005m。令半徑比τ＝，τ變化區(qū)間為［0，1］，在負(fù)載開(kāi)路（R＝∞時(shí)），得出τ與一階，二階共振，反共振頻率的關(guān)系圖如圖9、圖10所示，從圖可以得到，在負(fù)載開(kāi)路的條件下，隨著金屬環(huán)壁厚的增加，復(fù)合式壓電變壓器的共振頻率和反共振頻率呈上升趨勢(shì)。這也意味著，相同半徑下，這種帶有金屬環(huán)的壓電變壓器共振頻率大于沒(méi)有金屬環(huán)的變壓器。

圖9 一階模態(tài)頻率隨τ的變化曲線Fig.9 Relationship between the fundamental radial resonance and anti－resonance frequencies and the radius ratio

圖10 二階模態(tài)頻率隨τ的變化曲線Fig.10 Theoretical relationship between the second radial resonance and anti－resonance frequencies and the radius ratio

壓電器件的有效機(jī)電耦合系數(shù)是反映壓電材料機(jī)械能與電能相互轉(zhuǎn)化的重要參量，根據(jù)有效機(jī)電耦合系數(shù)的定義

其中fa是反共振頻率，fr是共振頻率?？梢缘玫接行C(jī)電耦合系數(shù)隨金屬環(huán)壁厚變化的趨勢(shì)如圖11、12所示。

圖11 一階模態(tài)有效機(jī)電耦合系數(shù)隨τ的變化曲線Fig.11 The relationship between the effective electro－mechanical coupling coefficient and the radius ratio in first－order model

圖12 二階模態(tài)有效機(jī)電耦合系數(shù)隨τ的變化曲線Fig.12 The relationship between the effective electro－mechanical coupling coefficient and the radius ratio in second－order model

從圖中可知，隨著τ的增加，一階模態(tài)下機(jī)電耦合系數(shù)呈下降趨勢(shì)，而對(duì)于二階模態(tài)，變壓器的有效機(jī)電耦合系數(shù)存在一個(gè)最大值。

2.2 負(fù)載對(duì)復(fù)合壓電變壓器的影響

固定復(fù)合式壓電陶瓷變壓器的尺寸，R1＝0.01 m，R2＝0.02m，R3＝0.03m，h＝0.005m。在負(fù)載開(kāi)路的條件下（R＝∞時(shí)），由式（14）—（16）可以得到輸入阻抗和頻率的關(guān)系（圖13）以及電壓增益與頻率的曲線（圖14）。

圖13 開(kāi)路時(shí)電阻抗與頻率的關(guān)系Fig.13 The relationship between electrical impedance and resonance frequency under open circuit conditions

圖14 開(kāi)路時(shí)電壓增益與頻率的關(guān)系Fig.14 The relationship between transformer ratio and resonance frequencyunder open circuit conditions

從圖13和圖14中可以看出，在負(fù)載開(kāi)路的條件下，電壓增益的最大值對(duì)應(yīng)開(kāi)路時(shí)的共振頻率。

圖15是共振頻率、反共振頻率隨負(fù)載變化的趨勢(shì)，從圖中可以看到隨負(fù)載的增大，共振頻率、反共振頻率均升高。圖16表示有效機(jī)電耦合系數(shù)與負(fù)載的關(guān)系，隨著負(fù)載的增大，有效機(jī)電耦合系數(shù)減小。在尺寸確定的條件下，可以得到在共振條件下電壓增益和負(fù)載R之間的變化曲線如圖17所示。

圖15 共振反共振頻率和負(fù)載變化的關(guān)系Fig.15 The relationship between the resonance，anti－resonance frequencies and the load

圖16 有效機(jī)電耦合系數(shù)和負(fù)載變化的關(guān)系Fig.16 The relationship between effective electro－mechanical coupling coefficient and the load

圖17 在共振條件下電壓增益和負(fù)載R之間的變化曲線Fig.17 The relationship between transformer ratio and load under resonance conditions

可以看出隨著負(fù)載的升高，復(fù)合式徑向振動(dòng)壓電變壓器的電壓增益逐漸升高。

3 結(jié)論

本文研究了由壓電陶瓷圓盤(pán)、金屬鋁環(huán)以及壓電陶瓷圓環(huán)組成的復(fù)合式壓電陶瓷變壓器的等效電路，推導(dǎo)出電壓增益、共振、反共振頻率方程。研究了金屬環(huán)壁厚和負(fù)載對(duì)變壓器共振頻率，反共振頻率，有效機(jī)電耦合系數(shù)，電壓增益的影響。結(jié)果表明，在開(kāi)路條件下，隨著金屬壁厚的增加，復(fù)合壓電變壓器的頻率升高，有效機(jī)電耦合系數(shù)降低；當(dāng)金屬環(huán)尺寸確定，復(fù)合變壓器在共振頻率附近獲得最大電壓增益。在負(fù)載條件下，隨著負(fù)載的增大，復(fù)合變壓器頻率升高，電壓增益升高，有效機(jī)電耦合系數(shù)降低，所以存在一個(gè)最佳尺寸使得有效機(jī)電耦合系數(shù)和電壓增益達(dá)到一個(gè)最佳狀態(tài)，這為復(fù)合壓電變壓器的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。同時(shí)，本文提供了一種研究復(fù)合壓電變壓器的方法，為研究不同形狀的復(fù)合壓電陶瓷變壓器提供了理論依據(jù)。

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〔責(zé)任編輯 李 博〕

Research on radial vibration of piezoelectric ceramic composite disk transformer

NI Hao，LIN Shuyu＊
（School of Physics and Information Technology，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

The radial vibration of piezoelectric ceramic composite disk transformer is studied.The piezoelectric transformer is composed of three concentric piezoelectric ceramic disk，metal ring，and piezoelectric ceramic ring.Based on the electro－mechanical equivalent theory，the electro－mechanical equivalent of the piezoelectric transformer，input impedance，the resonance frequency equation，anti－resonance frequency equation and the equation of transformer ratio are obtained. The dependency of the frequency and effective electro－mechanical coupling coefficient on the geometrical dimensions are obtained by using the analytical and numerical methods.The influence of load on frequency，effective electro－mechanical coupling coefficient，transformer ratio on the piezoelectric ceramic transformer are analyzed.It is shown as the increase of ratio of wall thickness，the resonance frequency and anti－resonance frequency increase and the effective electro－mechanial coupling coefficient decreases.The frequency and transformer ratio are all increased with the load increasing，but the effective electro－mechanial coupling coefficient is decreased with the load.

piezoelectric transformer；electro－mechanical equivalent；optimization design

O426.1；TM433

：A

1672－4291（2015）05－0033－06

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.253

2014－12－25

國(guó)家自然科學(xué)基金（11174192）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（2011020211010）

倪浩，男，碩士研究生，研究方向?yàn)閴弘娮儔浩?。E－mail：louisnh＠sina.com

＊通信作者：林書(shū)玉，男，教授，博士生導(dǎo)師。E－mail：sylin＠snnu.edu.cn