王 碩 張文華 于 過

(大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024)

液體晃蕩問題的比例邊界有限元方法研究

王 碩 張文華 于 過

(大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024)

推導了液體晃蕩頻域問題的比例邊界有限元方程及其求解過程，對于一些典型規(guī)則幾何形狀內(nèi)的液體晃蕩問題進行模擬，數(shù)值算例表明該方法只需離散非常少的節(jié)點就能達到非常高的精度。

比例邊界有限元方法,液體晃蕩,頻率

0 引言

液體的晃蕩問題在水利、船舶、航天、石化、高層建筑減振和城市供水等領域均有應用，具有廣泛的工程背景。傳統(tǒng)的有限差分法[1]、有限元法[2]、粒子法[3]及邊界元法[4]在某些領域發(fā)展較成熟，但各種數(shù)值計算方法對儲液容器晃動問題的研究也大多集中在液體晃動的二維問題上[5]，即使是三維問題也大多是對稱結(jié)構(gòu)(如長方體、圓柱、圓錐以及球形等)，而對復雜或不規(guī)則幾何形狀三維容器液體晃蕩問題研究非常少，這主要在于傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法在計算大規(guī)模液體晃蕩問題計算效率相對比較低，計算規(guī)模大，處理一些邊界條件(如交界面條件)比較困難。

比例邊界有限元方法是近年來迅速發(fā)展的一種半解析數(shù)值方法，可以被用來有效地求解線性偏微分方程，該方法結(jié)合了有限元法和邊界元法的優(yōu)點，同時又具有獨特的特性[6]。該方法可以減少一個空間維數(shù)，因為它只需數(shù)值離散計算域邊界；而在另外一個方向即徑向方向可以解析求解，由此具有較高的計算精度和效率。與邊界元方法相比，它不需要基本解，同時也沒有奇異積分問題；對于無限域問題，相對于有限元方法，它不需要截斷邊界條件，能自動滿足無窮遠處的輻射邊界條件。比例邊界有限元方法已成功地應用于彈性靜、動力學、斷裂力學、結(jié)構(gòu)—無限地基動力相互作用、流固耦合、聲波等領域，在許多領域有著非常大的應用前景。

鑒于SBFEM的優(yōu)越性和液體晃蕩問題的復雜性，本項目將利用SBFEM繼續(xù)深入研究液體晃蕩及其與結(jié)構(gòu)相互作用中有待于解決的復雜問題。

1 頻域內(nèi)三維液體晃動的問題求解

1.1 三維液體晃動的問題基本方程

假設容器內(nèi)的液體為不可壓縮、無粘、非定常無旋，則頻域內(nèi)描述三維容器內(nèi)液體晃蕩問題的控制方程為拉普拉斯方程。

(1)

其中,φ為容器內(nèi)液體速度勢。

對應的邊界條件有以下兩類：

1)自由水面邊界條件(本文假設為線性邊界條件):

(2)

2)容器邊界條件:

(3)

其中，n為容器邊壁的法向方向；vb為容器邊壁上的法向速度。

1.2 三維實體容器內(nèi)液體晃動的比例邊界有限元方程

對于以上三維液體晃蕩問題的控制方程和邊界條件問題的比例邊界有限元方程推導，必須先建立笛卡爾坐標系統(tǒng)和SBFEM系統(tǒng)轉(zhuǎn)換關系。

(4)

其中：

x(η,ζ)=N(η,ζ)x
y(η,ζ)=N(η,ζ)y
z(η,ζ)=N(η,ζ)z

(5)

比例坐標與笛卡爾坐標的變換關系：

(6)

在比例坐標系統(tǒng)下Laplace算子表示為：

(7)

其中：

對于三維的控制方程和邊界條件，應用加權(quán)余量法可以表示如下：

(8)

φ(ξ,η,ζ)及w(ξ,η,ζ)分別表示為：

φ(ξ,η,ζ)=N(η,ζ)φ(ξ)

(9)

w(ξ,η,ζ)=N(η,ζ)w(ξ)=(w(ξ))T(N(η,ζ))T

(10)

其中，向量φ(ξ)和w(ξ)均代表節(jié)點值。將方程(7),(9)和(10)代入方程(5)，通過分部積分最終整理可得(考慮任意δφ(ξ))。

(11)

(12)

(13)

(14)

方程(14)代表SBFEM基本方程，方程(11)和(12)代表內(nèi)外邊界條件，方程(13)代表在自由表面邊界條件。

1.3 三位液體晃動的比例邊界有限元方程求解

定義狀態(tài)變量：

(15)

為了進行方程(14)的求解，引入的對偶變量：

(16)

則基本方程(14)可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程：

ξX(ξ),ξ==-[Z]X(ξ)

(17)

哈密頓矩陣:

(18)

方程(17)可以通過特征值求解:

(19)

其中，λ和矩陣ψ11，ψ12，ψ21和ψ22為特征值和特征向量。對有限域系數(shù)c2=0，系數(shù)c1通過邊界條件求解?？紤]自由表面邊界條件(13)，方程(19)進一步可簡化為:

(20)

2 數(shù)值算例

2.1 圓柱容器液晃蕩問題

為了說明SPFEM方法的準確性和有效性，對圖3所示的圓柱內(nèi)的液體晃蕩問題進行了模擬,容器內(nèi)水深為H，容器長為R/H=0.5。容器在X方向上做頻率為ω，振幅為A的簡諧晃蕩。比例中心設置在計算區(qū)域的中心，依然采用八節(jié)點單元。容器的速度運動方程為：

u=ωAcos(ωt)

(21)

圖4為在無量綱頻率下ω/(g/H)1/2=1和ω/(g/H)1/2=2的沿X軸和容器邊壁上一周的無量綱化液面升高S/A的計算結(jié)果與解析解對比。其中，比例邊界有限元網(wǎng)格劃分成三種情況：160，224和640單元。

從圖4可以看出，兩者吻合較好，證明了本方法在求解復雜圓弧曲面問題時的精確性。

2.2 圓環(huán)柱結(jié)構(gòu)容器液晃蕩問題

該結(jié)構(gòu)的示意圖如圖5所示，外圓的半徑和2.1節(jié)圓柱容器液晃蕩問題的圓柱結(jié)構(gòu)一樣。下面重點考察了內(nèi)圓半徑變化對液面升高的影響(內(nèi)外半徑比分別選取為r/R=0.2，0.3,0.4,同時考慮了與圓柱問題的對比)。整個結(jié)構(gòu)分成4個比例邊界有限元子結(jié)構(gòu)，總節(jié)點數(shù)為2 596個。

圖6為無量綱頻率下ω/(g/H)1/2=1，ω/(g/H)1/2=2和ω/(g/H)1/2=3的分別沿容器外邊壁上一周的無量綱化液面升高的計算結(jié)果。

2.3 上圓柱下傾斜柱容器液晃蕩問題

該結(jié)構(gòu)的示意圖如圖7所示,底圓的半徑為R/2，其他計算參數(shù)和2.1一致，同時網(wǎng)格的劃分與2.1也一致(采用640單元)。

圖8和圖9為無量綱頻率下ω/(g/H)1/2=1和ω/(g/H)1/2=2的沿X軸和容器邊壁上一周的無量綱化液面升高S/A的計算結(jié)果，與2.1中圓柱情況結(jié)果的比較，從圖中可以看出，對于低頻情況，液面升高和圓柱情況基本上沒有差別；而增大頻率時，液面升高的最大值較圓柱情況小。

3 結(jié)語

開展了應用比例邊界有限元法分析了容器液體晃蕩頻域問題。分別基于加權(quán)余量和變分原理，詳細推導了比例坐標系統(tǒng)下三維容器液體晃蕩問題的比例邊界有限元方程求解過程。通過和其他數(shù)值方法或解析解對比發(fā)現(xiàn)，該方法在使用非常少的單元就能取得非常高的計算效率和計算精度。詳細討論了不同種類型(圓柱、圓環(huán)柱、上圓柱下傾斜柱容器)的容器在不同頻率激勵下的液體晃蕩問題的液面高度變化情況。

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Scaled boundary FEM solution of liquid sloshing problems

Wang Shuo Zhang Wenhua Yu Guo

(FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

The paper induces the scaled boundary finite element equation of the liquid sloshing frequency domain and its solution process, simulates the liquid sloshing of some typical regular geometrical shapes, and proves by the numeric calculation case that some nodes with little discretization can achieve high accuracy.

finite element method of scaled boundary, liquid sloshing, frequency

2015-02-26

王 碩(1993- )，男，在讀本科生； 張文華(1993- )，男，在讀本科生； 于 過(1994- )，男，在讀本科生

1009-6825(2015)13-0043-03

O241.82

A