符玉襄， 孫德新， 劉銀年

(1. 中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所，上海 200083；2. 中國科學(xué)院 紅外探測與成像技術(shù)重點實驗室，上海 200083)

基于卡爾曼濾波的低速伺服系統(tǒng)速度信號估計

符玉襄1，2， 孫德新1，2， 劉銀年1，2

(1. 中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所，上海 200083；2. 中國科學(xué)院 紅外探測與成像技術(shù)重點實驗室，上海 200083)

給出了基于卡爾曼濾波的測速方法，并利用電流、角速度等參數(shù)估算出加速度，作為卡爾曼濾波的控制輸入。仿真了該方法的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能，并與其他濾波方法做了對比；將該方法應(yīng)用于某伺服系統(tǒng)，測試并分析了系統(tǒng)的0.1°/s階躍響應(yīng)、頻域特性及參數(shù)攝動對濾波性能的影響。結(jié)果表明，該方法減小了低速時的測速誤差和相位延時，擴展了速度環(huán)帶寬，并且對參數(shù)變化不敏感，具有較強的魯棒性。

卡爾曼濾波； 低速； 速度信號估計； 位置差分； 絕對式編碼器

0 引 言

高精度的伺服系統(tǒng)中，經(jīng)常采用位置、速度和電流三環(huán)控制的策略。當(dāng)使用絕對式光電編碼器作為位置傳感器時，速度一般通過相鄰兩個位置采樣點差分的方式得到。當(dāng)電機工作在低速(例如0.1°/s)時，由于編碼器的分辨率有限，以及測量噪聲的存在，使得差分測速的誤差迅速增大[1-5]。

通過延長采樣周期或增加低通濾波環(huán)節(jié)可以減小穩(wěn)態(tài)噪聲，但會增加測速延時，降低閉環(huán)帶寬，導(dǎo)致動態(tài)性能變差[3-4]?；跔顟B(tài)觀測器[2-4,6-8]和卡爾曼濾波[1,4-5,9]的測速方法，可以得到較好的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。目前這些方法有一些共同特點： (1) 大多基于增量式編碼器，采用M/T法測速[1,4,6-11]，較少涉及絕對式編碼器(位置差分測速)；(2) 速度較高(大于1°/s)[1-4,6-11]，對低于1°/s的情況研究較少；(3) 常用的伺服系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型較多依賴于被控對象的類型和參數(shù)[1-2,6-7,9]，缺乏一般性,且較少分析參數(shù)變化對濾波器性能的影響。

因此，針對使用絕對式編碼器和低速運行的伺服系統(tǒng)，有必要提出一種噪聲小、延時短、性能穩(wěn)健且較為通用的測速方法。基于運動學(xué)的卡爾曼濾波算法可以較好地解決這些問題。本文介紹了差分測速和低通濾波的原理；建立了基于勻加速運動方程的伺服系統(tǒng)狀態(tài)模型，給出了基于此模型的卡爾曼濾波測速的遞推算法；并利用電機電流、角速度等參數(shù)估算出加速度，作為濾波的控制量；仿真了該方法的穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)性能，并與傳統(tǒng)濾波方法做了對比；搭建了基于DSP和永磁同步電機的試驗平臺，測試并分析了系統(tǒng)的0.1°/s階躍響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度、頻域特性、相位延時及參數(shù)攝動對濾波性能的影響。

1 差分測速和低通濾波

后向直接差分測速原理:

(1)

θk、θk-1——當(dāng)前時刻與上一時刻的位置采樣值。

T——采樣周期；

當(dāng)位置采樣噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為Δ，且相鄰兩個采樣點不相關(guān)時，速度估計的相對誤差為

(2)

式中：ω——角速度。

采樣頻率越高，速度越慢，速度估計的相對誤差就越大。

對于本系統(tǒng)而言，編碼器噪聲Δ≈0.1″，速度環(huán)控制周期T=1ms，當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=0.1°/s時，速度估計的相對誤差e=39.3%，遠不能滿足高精度控制的需要。因此有必要尋找一種合適的濾波算法。

常見的低通濾波器如一階RC低通濾波、巴特沃茲低通濾波等，都能夠在一定程度上減少噪聲，但不可避免地帶來了測量延時。

此外，移動差分通過延長差分時間間隔，也可以減小噪聲。其原理如下：

(3)

式中： θk、θk-N——當(dāng)前時刻與前N個時刻的位置采樣值。

N越大，抑制噪聲能力越強，但延時也越長。

2 卡爾曼測速原理

2.1 基于運動學(xué)的卡爾曼濾波

伺服系統(tǒng)的勻加速運動方程為

(4)

基于式(4)的卡爾曼濾波的過程及測量矩陣如下：

(5)

θk、ωk——位置、速度；

ak——加速度，是控制量；

zk——角度測量值；

wk、vk——過程噪聲、測量噪聲。

卡爾曼濾波需要5步迭代運算[1,4-5,9]：

(6)

2.2 加速度的獲取

式(5)所描述的狀態(tài)空間模型與電機類型、負載慣量J、粘滯摩擦因數(shù)B、轉(zhuǎn)矩系數(shù)Ke和最大靜摩擦力矩Fm等無直接聯(lián)系，適用于不同類型的伺服系統(tǒng)。

對于沒有加速度傳感器的伺服系統(tǒng)，無法直接獲取卡爾曼濾波所需的加速度ak(控制量)，此時可以直接把加速度當(dāng)作零來處理，但這樣會導(dǎo)致濾波性能變差。

本文利用電機驅(qū)動電流Ik、角速度ωk和伺服系統(tǒng)參數(shù)估算出加速度ak：

(7)

其中，ε是一個接近零的正數(shù)，仿真和試驗時取0.005°/s。當(dāng)速度過零時，摩擦力仍然存在，但其大小和方向難以確定，此時的估計誤差較大。試驗時發(fā)現(xiàn)，濾波性能不會因為ak估計不準(zhǔn)而明顯下降，即不需要精確知道伺服系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。

3 仿真分析

3.1 模型搭建

采用直流電機模型，輸入電壓到輸出角度的傳遞函數(shù)：

(8)

式中：θ(s)——輸出位置；

U(s)——輸入電壓；

L、R——繞組電感、電阻；

J、B——轉(zhuǎn)動慣量、粘滯摩擦因數(shù)。

由于速度較低，可以忽略反電動勢的影響。永磁同步電機通過坐標(biāo)變換和id≡0的矢量控制，也可以等效為直流電機[12]。

圖1是Simulink仿真框圖。電流環(huán)采樣頻率10kHz，PWM逆變器(pwm)和電流采樣模塊(i_sample)等效為延遲一個采樣周期的慣性環(huán)節(jié)；速度估計模塊(Velocity_est)和速度環(huán)控制器(Velocity_PID)用離散型S-Function實現(xiàn)，采樣頻率1kHz；位置測量值在進入速度估計模塊之前加了標(biāo)準(zhǔn)差為0.1"的高斯白噪聲，用以模擬真實編碼器的輸出。

圖1 MATLAB/Simulink搭建的電機控制模型

3.2 階躍響應(yīng)仿真

圖2是0.1°/s階躍響應(yīng)仿真波形，圖2(a)～圖2(d)分別對應(yīng)直接差分、5點移動差分、二階巴特沃茲濾波和卡爾曼濾波。巴特沃茲濾波數(shù)字帶寬取0.2，對應(yīng)模擬帶寬100Hz；卡爾曼濾波過程噪聲Q=1.5e-9，測量噪聲R=1.022e-7。為了便于評估各種方法的性能差異，仿真是在相同的速度環(huán)和電流環(huán)PID參數(shù)下進行的。

圖2 0.1°/s階躍響應(yīng)仿真波形

表1為相關(guān)指標(biāo)，依次為80%上升時間tr，超調(diào)量σ，穩(wěn)態(tài)速度誤差均方根值eRMS和穩(wěn)態(tài)速度波動峰值|emax|/ωref，其中ωref=0.1°/s。穩(wěn)態(tài)從250ms算起。

表1 0.1°/s階躍響應(yīng)仿真數(shù)據(jù)

仿真結(jié)果表明，直接差分受噪聲影響很大，卡爾曼濾波相對移動差分和巴特沃茲濾波，在tr和σ差別不大的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差有較好的改善。階躍響應(yīng)的超調(diào)主要由測速延時和積分飽和引起。

4 試驗驗證

用TMS320F2812實現(xiàn)卡爾曼濾波算法；永磁同步電機型號為Kollmorgen公司的RBE02110-B；負載為轉(zhuǎn)鏡，慣量約0.015kg·m2；絕對式光電編碼器采用Heidenhain公司RCN228系列，有效分辨率24bit(0.078")。PWM波周期100us，電流環(huán)采樣頻率10kHz，速度環(huán)采樣頻率1kHz。

通過調(diào)節(jié)過程噪聲wk和測量噪聲vk的方差可以改變卡爾曼濾波的增益。加速度作為濾波的控制量，用式(7)計算得到的ak進行濾波時效果不是最佳，這是因為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)、最大靜摩擦力、粘滯摩擦因數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)難以精確獲得。因此，在試驗中要反復(fù)整定Ke、Fm、B、J以及Q、R，使濾波的效果達到最優(yōu)或次優(yōu)。

4.1 階躍響應(yīng)測試

參考輸入0.1°/s的速度階躍，在PID參數(shù)固定的情況下，分別用4種濾波方法作為速度反饋，測得波形如圖3所示，相關(guān)指標(biāo)如表2所示。穩(wěn)態(tài)指標(biāo)由500～900ms的400個點統(tǒng)計得到。

結(jié)果表明： 卡爾曼濾波有效抑制了振蕩，超調(diào)量減小到4.3%，上升時間縮短到6.2ms；穩(wěn)態(tài)誤差峰峰值和均方根值都顯著減?。煌瑫r，卡爾曼濾波穩(wěn)定時間短，第300ms后就達到穩(wěn)態(tài)，而移動差分和巴特沃茲濾波第400ms后才逐漸趨于穩(wěn)態(tài)。

圖3 0.1°/s階躍響應(yīng)實測波形

指標(biāo)直接差分移動差分巴特沃茲濾波卡爾曼濾波tr/ms1514206.2σ/(%)5020224.3eRMS/(°)·s-117.2e-33.19e-32.83e-30.451e-3(|emax|/ωref)/%50.29.98.21.3

4.2 頻域測試

通過測量多個頻率點，得到四種濾波方法的頻率特性曲線如圖4所示。圖4(a)是幅頻曲線，圖4(b)是相頻曲線。可以看出，卡爾曼濾波在通帶內(nèi)增益比較平坦，3dB截止頻率在100Hz以上，其他濾波方法通帶內(nèi)增益起伏，截止頻率約30Hz。同時，卡爾曼濾波在100Hz處相位延遲只有70°，而其他濾波方法在20Hz處就有約100°的延遲。

圖4 四種速度估計方法的閉環(huán)小信號頻率特性曲線

從頻域分析幾種濾波方法的帶寬和相位延時。參考速度信號：

ωref(t)=1·sin(2πft)+1

圖5是f=10Hz時卡爾曼濾波的測試結(jié)果，虛線是給定速度，實線是濾波得到的速度。速度過零時存在畸變，這是由于過零時摩擦力方向突變，依據(jù)式(7)得到的加速度誤差較大造成的。

圖5 卡爾曼濾波的正弦波響應(yīng)

4.3 變參數(shù)測試

通過改變Ke、Fm、B及Q、R的取值，可以驗證算法的穩(wěn)健性以及對控制對象參數(shù)的依賴程度。測試結(jié)果如表3所示。表3中第2列是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)的0.1°/s階躍響應(yīng)，之后各列是某個參數(shù)偏離標(biāo)準(zhǔn)值時的0.1°/s階躍響應(yīng)。

當(dāng)轉(zhuǎn)矩系數(shù)Ke是原來的2倍時，超調(diào)量最大(17.5%)，說明加速度估算的準(zhǔn)確度對動態(tài)性能影響很大，但此時的σ仍低于移動差分濾波(20%)和巴特沃茲低通濾波(22%)。

當(dāng)過程噪聲Q是原來的10倍時，穩(wěn)態(tài)速度波動最大(4.4%)，這是因為Q增大時，卡爾曼濾波收斂后的帶寬變大，抑制噪聲能力就變差[4]。但此時的速度波動仍小于移動差分濾波(9.9%)和巴特沃茲低通濾波(8.2%)。

據(jù)此可以認(rèn)為基于運動學(xué)的卡爾曼測速算法對系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感，具有較強的魯棒性。

表3 參數(shù)變化對卡爾曼濾波效果的影響

5 結(jié) 語

針對使用絕對式編碼器的伺服系統(tǒng)極低速(0.1°/s)時速度測量噪聲大的問題，設(shè)計了一種基于運動學(xué)方程的卡爾曼濾波測速算法，根據(jù)仿真分析和實際測試，得出以下結(jié)論：

(1) 基于運動學(xué)方程的伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，不需要精確知道被控對象的參數(shù)，通用性較強；

(2) 相對于傳統(tǒng)方法，該方法減小了測速的穩(wěn)態(tài)誤差和延時，改善了系統(tǒng)動態(tài)性能；

(3) 算法性能穩(wěn)健，對參數(shù)變化不敏感。

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Low Velocity Estimation of Servo System Based on Kalman Filter

FUYuxiang1,2，SUNDexin1,2，LIUYinnian1,2

(1. Shanghai Institute of Technical Physics, CAS, Shanghai 200083， China；2. Key Laboratory of Infrared System Detection and Imaging Technique, CAS, Shanghai 200083， China)

A velocity estimation method using kalman filter was given. Acceleration was considered as control input of kalman filter, and was estimated by motor current and velocity. The steady and dynamic performance had been simulated, the results of this method was compared with other filtering methods.The method was applied to a servo system. Some key performance indicators had been measured and analyzed, such as 0.1 °/ s step response, frequency domain characteristics and the influence of parameter perturbation. Results showed that kalman filter based on the kinematics could reduce velocity estimation error and phase lag, expanded speed loop bandwidth, and was not sensitive to parameters perturbation, which has strong robustness.

kalman filter; low speed; velocity estimation; position difference; absolute encoder

劉銀年

TM 921.54+1

A

1673-6540(2015)05-0017-06

2014-10-28