李秋紅，劉廣明，薛開，王久法，王平

(哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

近年來，隨著科學(xué)與技術(shù)的進(jìn)步，各種工程結(jié)構(gòu)逐漸向著輕量化、高強(qiáng)度方向發(fā)展。圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)由于其特有的幾何特點(diǎn)和材料性能在航空航天、海洋工程和機(jī)械工程中得到了廣泛的應(yīng)用。由于板結(jié)構(gòu)極易引起共振現(xiàn)象造成結(jié)構(gòu)的破壞，因此，對于圓柱型正交各向異性圓板的振動分析越來越引起人們的注意。同時(shí)，深入開展圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性研究具有十分重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

Zhou等［1］利用哈密頓原理分析和研究了各向同性圓板和環(huán)板的自由振動;Viswanathan等［2］采用多項(xiàng)式樣條函數(shù)逼近正交各向異性圓板振動的位移函數(shù)，研究了層合圓環(huán)板的自由振動;Lin等［3］采用有限元法，基于八節(jié)點(diǎn)等參單元分析了圓柱型正交各向異性層合圓板和環(huán)板的自由振動;Hua等［4］采用板剛度識別法試驗(yàn)預(yù)測了圓柱型正交各向異性圓板的振動數(shù)據(jù)。此外，還有許多學(xué)者采用滿足不同邊界條件的邊界特征多項(xiàng)式［5］，基于能量原理［6-7］對該類問題進(jìn)行了分析，如文獻(xiàn)［8-9］采用正交多項(xiàng)式分析了彈性地基上變厚度圓柱型正交各向異性圓板和環(huán)板的自由振動;文獻(xiàn)［10］基于參數(shù)多項(xiàng)式分析了圓柱型正交各向異性圓板的自由振動。綜上所述，目前的研究對于圓柱型正交各向異性圓板在邊界條件的處理上較為單一，大部分文獻(xiàn)僅僅涉及復(fù)雜邊界條件的簡支、固支邊界，而且同種求解方法面對不同的邊界條件時(shí)需要重新進(jìn)行公式推導(dǎo)。因此，這給圓柱型正交異性圓板結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)和動力學(xué)特性分析帶來了不便。

近年來，Li等［11-14］提出了一種二維改進(jìn)的Fourier級數(shù)方法，進(jìn)行了彈性約束邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)的振動分析。通過將位移函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)的Fourier級數(shù)和輔助多項(xiàng)式的形式，有效地解決了位移函數(shù)在邊界處的連續(xù)性。本文將上述改進(jìn)級數(shù)方法擴(kuò)展至圓板結(jié)構(gòu)的振動分析，提出了一種改進(jìn)的Fourier-Bessel級數(shù)方法。

1 圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

1.1 模型的描述

在極坐標(biāo)系Orθ下建立的半徑為a、厚度為h的圓柱型正交各向異性薄圓板結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型如圖1所示，假定材料的第一彈性主方向與極軸r方向一致，材料的第二彈性主方向與極角θ方向一致。圓板結(jié)構(gòu)的邊界條件利用邊界上均勻分布的橫向位移彈簧和扭轉(zhuǎn)約束彈簧來模擬。所有的經(jīng)典邊界條件(固支、簡支和自由)都可以通過設(shè)置彈簧的剛度為零或無窮大來獲得，比如令橫向位移彈簧剛度為無窮大和扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度為零來獲得簡支邊界條件。

圖1 圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of cylindrical orthotropiccircular plates structure

根據(jù)復(fù)合材料力學(xué)理論，圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)自由振動的微分控制方程［15］為

式中:ρ為圓板的密度，Dr、Dθ和 Drθ均為圓板的剛度，表達(dá)式分別為

式中:Er、Eθ為圓柱型正交各向異性圓板第一、第二彈性主方向的楊氏模量;μrθ、μθr為對應(yīng)彈性主方向的泊松比;Grθ為剪切彈性模量。在圓柱型正交各向異性材料中，楊氏模量與泊松比之間有如下關(guān)系:

圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)自由振動的微分控制方程(1)為典型的變系數(shù)四階偏微分方程，同時(shí)考慮得到板結(jié)構(gòu)的邊界條件，因此在方程的求解上將變得十分困難，為此本文采用能量原理中的Rayleigh-Ritz方法進(jìn)行圓板結(jié)構(gòu)的振動分析。

針對圖1所示的圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的總能量可以表示為

式中:U為板結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能，V為邊界上彈簧的總勢能，T為板結(jié)構(gòu)的動能，表達(dá)式分別為

式中:k和K分別為橫向位移彈簧和扭轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度系數(shù)。

1.2 位移函數(shù)的表達(dá)

在極坐標(biāo)系下，將圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)的振動位移函數(shù)表示為徑向和軸向可分離的形式:

式中:Wmn、Am分別為未知的Fourier-Bessel級數(shù)和輔助多項(xiàng)式的系數(shù);Jm(x)為m階Bessel函數(shù);λmn為Jm(x)=0的第n個(gè)正根。表達(dá)式中第2項(xiàng)輔助多項(xiàng)式函數(shù)是為了改善振動位移函數(shù)在圓板邊界處的連續(xù)性、提高方法的數(shù)值收斂性問題而引入的。

1.3 模型的計(jì)算

根據(jù)Rayleigh-Ritz方法，將圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)的振動位移函數(shù)表達(dá)式代入能量表達(dá)式(6)～(9)中，對未知的系數(shù) Wmn、Am求極值，可以得到圓柱型正交各向異性圓板自由振動的矩陣方程:

式中:A為未知的系數(shù)向量，K=Kp+Ks為總剛度矩陣，M為總質(zhì)量矩陣，表達(dá)式分別如下:

式中:Kp為由板彎曲應(yīng)變能獲得的剛度矩陣，Ks為由邊界上彈簧總勢能獲得的剛度矩陣，其各矩陣的子矩陣元素表達(dá)式分別如下

式中:fmn(r)=Jm(λmnr)，gm(r)=rm(1+r2)，其中m'=0，1，..，M，n'=1，2，..，N，s=N(M+1)，t=N(M+1)，p=M+1，q=M+1;M和N表示方法的截?cái)鄶?shù)，其大小根據(jù)要求的計(jì)算精度進(jìn)行取值;φ(θ)和φ(θ)的表達(dá)式分別為

方程(11)為典型的線性齊次方程組，由于未知系數(shù)向量A不全為零，則必有方程的系數(shù)行列式為零，即

方程(29)為典型的矩陣特征值問題，通過求解矩陣特征值和特征向量，即可以得到圓板的自由振動頻率和相應(yīng)的未知系數(shù)向量A，將未知系數(shù)向量A代入位移函數(shù)(10)中就可以獲得相應(yīng)的振動頻率對應(yīng)的模態(tài)振型。

2 數(shù)值算例

為驗(yàn)證方法的正確性，進(jìn)行以下數(shù)值算例研究?？紤]到均勻各向同性材料圓板作為圓柱型正交各向異性圓板的特例。首先考慮各向同性圓板結(jié)構(gòu)的自由振動，然后再對圓柱型正交各向異性圓板的自由振動進(jìn)行分析。同時(shí)本方法建立的結(jié)構(gòu)模型在對邊界條件的處理上，具有很強(qiáng)的通用性，可以通過設(shè)置不同邊界條件下彈簧的剛度系數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 均勻各向同性圓板

在均勻各向同性材料時(shí)，根據(jù)前文的理論分析，有 E=Er=Eθ、μ=μrθ=μθr、G=Grθ=E/(2(1+μ))。假定圓板的結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)如下:半徑a=1 m，厚度h=0.01 m，板的密度 ρ=7 800 kg/m3，彈性模量 E=206 GPa，泊松比 μ=0.3。考慮不同邊界條件下，均勻各向同性圓板自由振動的前5階固有頻率，并與有限元軟件Ansys仿真分析結(jié)果進(jìn)行對比，如表1所示。在有限元仿真分析中為了提高數(shù)值精度，選擇8節(jié)點(diǎn)Shell單元，劃分單元4 430個(gè)、節(jié)點(diǎn)13 487個(gè)。為了衡量結(jié)果的數(shù)值準(zhǔn)確性，表1中還給出了對應(yīng)固有頻率的相對誤差。通過表1可以看到2種方法的最大相對誤差不超過0.270 8%，即本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元仿真分析結(jié)果幾乎相一致。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本方法獲得振型的正確性，圖2中分別給出了本文方法和有限元軟件Ansys仿真分析獲得的自由邊界條件下圓板前5階振動頻率對應(yīng)的模態(tài)振型。通過圖2中2種方法獲得的陣型圖對比，清晰的表明圓板振動的節(jié)圓與節(jié)線分布形式一致，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的正確性。

表1 不同邊界條件下圓板的前5階固有頻率Table 1 The first five natural frequencies for circular plates with different boundary conditions

圖2 自由邊界圓板前5階振型Fig.2 The first five mode shapes for free circular plates

2.2 圓柱型正交各向異性圓板

考慮圓柱型正交各向異性圓板的自由振動分析。為了方便與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比，以下數(shù)值算例按照文獻(xiàn)［4］中設(shè)置材料模型:a=75 mm，h=1.93 mm，ρ=1 640 kg/m3，μrθ=0.3，Er=16 GPa，Eθ=10 GPa，Grθ=4 GPa。

表2中給出了周邊自由時(shí)，圓柱型正交各向異性圓板自由振動的前5階固有頻率，作為對照給出了文獻(xiàn)［4］利用板剛度識別試驗(yàn)和文獻(xiàn)［10］利用能量法獲得的結(jié)果，同時(shí)給出了本方法相對于文獻(xiàn)［4］中實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差。通過表2可以看到3種方法獲得的計(jì)算結(jié)果相差不大;本方法與文獻(xiàn)［4］實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最大相對誤差不超過0.362 8%，即文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本方法計(jì)算結(jié)果相一致，進(jìn)一步說明了本方法理論分析與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相吻合。

表3給出了本方法在周邊簡支及固支時(shí)，圓柱型正交各向異性圓板自由振動的前5階固有頻率，并給出了利用有限元軟件Ansys仿真分析結(jié)果，同時(shí)也給出了兩者的相對誤差。通過表3中相對誤差的分析，最大相對誤差不超過0.673 0%，兩者計(jì)算結(jié)果也幾乎一致。階次 1 2 3 4 5

表2 自由邊界條件下圓板的前5階固有頻率Table 2 The first five natural frequencies for circular plates with free boundary conditions

表3 不同邊界條件下圓板的前5階固有頻率Table 3 The first five natural frequencies for circular plates with different boundary conditions

圖3 簡支邊界圓板前5階振型Fig.3 The first five mode shapes for simply supported circular plates

為了驗(yàn)證本文方法獲得圓柱型正交各向異性材料圓板自由振動振型的正確性，圖3給出了周邊簡支邊界條件下，本文方法和有限元軟件Ansys仿真分析的圓柱型正交各向異性圓板自由振動的前5階振型圖。通過圖3可以清楚得看到兩者獲得的模態(tài)振型也是相一致的。

3 結(jié)束語

本文基于改進(jìn)的Fourier-Bessel級數(shù)方法研究了圓柱型正交各向異性圓板在復(fù)雜邊界條件下的自由振動分析。通過將圓柱型正交各向異性圓板自由振動的位移函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)的Fourier-Bessel級數(shù)和輔助多項(xiàng)式級數(shù)的形式，有效地提高了位移函數(shù)在邊界條件的連續(xù)性?；谀芰吭?，利用Rayleigh-Ritz方法將變系數(shù)四階偏微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為矩陣特征值問題。通過矩陣特征值和特征向量的分析，獲得了圓柱型正交各向異性圓板自由振動的固有頻率和對應(yīng)的模態(tài)振型。

同時(shí)本方法在圓板結(jié)構(gòu)振動建模時(shí)，對于邊界條件的處理上，采用了均勻分布的橫向位移彈簧和扭轉(zhuǎn)約束彈簧來模擬，通過改變不同的彈簧剛度系數(shù)實(shí)現(xiàn)了不同邊界條件的模擬。因此本方法實(shí)現(xiàn)了不同邊界條件下圓柱型正交各向異性圓板振動的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型。最后，通過數(shù)值算例的仿真分析，并與文獻(xiàn)、有限元結(jié)果進(jìn)行對比，證明了方法的正確性。

本文的方法也可以擴(kuò)展到圓柱型正交各向異性圓環(huán)板的振動分析，并且本文對于圓柱型正交各向異性圓板結(jié)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。

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