趙 博，石永久，江 洋，王元清，陳志華

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 清華大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與振動(dòng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；3. 清華大學(xué)土木工程系，北京 100084)

一種空間相關(guān)多點(diǎn)地震動(dòng)合成的實(shí)用模擬方法

趙 博1，石永久2,3，江 洋2,3，王元清2,3，陳志華1

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 清華大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與振動(dòng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；3. 清華大學(xué)土木工程系，北京 100084)

在嚴(yán)格的理論公式推導(dǎo)基礎(chǔ)上，對(duì)多點(diǎn)地震動(dòng)合成模擬方法加以簡(jiǎn)化改進(jìn)．簡(jiǎn)化方法將行波效應(yīng)與不相干效應(yīng)分開(kāi)考慮，完全避免了復(fù)數(shù)運(yùn)算，可有效降低計(jì)算量．提出應(yīng)根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范(GB50011—2010)》確定多點(diǎn)地震動(dòng)所需參數(shù)，迭代調(diào)整多點(diǎn)地震動(dòng)以滿(mǎn)足規(guī)范反應(yīng)譜的要求，提高所得時(shí)程的實(shí)用性．通過(guò)算例對(duì)多種現(xiàn)有多點(diǎn)地震動(dòng)合成方法的準(zhǔn)確性加以驗(yàn)證和分析，指出某些方法在沒(méi)有嚴(yán)格理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上人為改變合成公式，導(dǎo)致其所得多點(diǎn)地震動(dòng)不滿(mǎn)足相干性要求，應(yīng)謹(jǐn)慎使用．

地震動(dòng)模擬；空間相關(guān)；相干函數(shù)；行波效應(yīng)

地震動(dòng)的傳播是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，在時(shí)間和空間上均存在變化性．由于大跨度結(jié)構(gòu)的平面尺寸較大，地震動(dòng)的空間變化性可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同支承處的地震動(dòng)不一致，進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)特征，由此引出了大跨度結(jié)構(gòu)的多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)問(wèn)題．目前常用于多點(diǎn)輸入分析的方法有時(shí)程分析法、隨機(jī)振動(dòng)法和反應(yīng)譜法等[1-4]，其中時(shí)程分析法是最為成熟、適用范圍最廣的方法，在研究和設(shè)計(jì)領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用[5-6]．雖然時(shí)程分析法是精確的計(jì)算方法，但其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性取決于所輸入的多點(diǎn)地震動(dòng)時(shí)程是否準(zhǔn)確，因此選擇合適的多點(diǎn)地震動(dòng)時(shí)程成為多點(diǎn)輸入時(shí)程分析法的關(guān)鍵問(wèn)題．一般情況下，無(wú)法獲得滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)尺寸和場(chǎng)地類(lèi)型的地震動(dòng)臺(tái)陣記錄，因此多點(diǎn)地震動(dòng)時(shí)程往往由人工方法得到．合成多點(diǎn)地震動(dòng)時(shí)程需考慮以下4種地震動(dòng)空間效應(yīng)[7]：行波效應(yīng)、不相干效應(yīng)、局部場(chǎng)地效應(yīng)和衰減效應(yīng)．如僅考慮行波效應(yīng)，只需在常用單點(diǎn)地震波前增加零數(shù)據(jù)點(diǎn)以考慮不同支座處的延時(shí)即可；而后3種空間效應(yīng)涉及地震動(dòng)頻譜成分的調(diào)整，因此常常從多點(diǎn)地震動(dòng)功率譜模型出發(fā)，人工合成滿(mǎn)足多點(diǎn)地震動(dòng)模型的時(shí)程序列．其中最常用的是文獻(xiàn)[8]提出的三角級(jí)數(shù)形式的多點(diǎn)地震動(dòng)合成方法，該方法從隨機(jī)過(guò)程理論出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)格的公式推導(dǎo)得到，但需要復(fù)矩陣運(yùn)算，計(jì)算量較大．文獻(xiàn)[9-10]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上分別對(duì)各點(diǎn)地震動(dòng)的相關(guān)性和局部場(chǎng)地收斂性加以調(diào)整，但缺乏推導(dǎo)和驗(yàn)證的過(guò)程，調(diào)整后方法的準(zhǔn)確性未得到驗(yàn)證．

本文在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，對(duì)現(xiàn)有空間相關(guān)多點(diǎn)地震動(dòng)合成方法加以簡(jiǎn)化，并對(duì)現(xiàn)有多種方法的準(zhǔn)確性加以驗(yàn)證；參考《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范(GB50011—2010)》[11](以下簡(jiǎn)稱(chēng)《規(guī)范》)，確定多點(diǎn)地震動(dòng)參數(shù)的選擇方法，并建立以規(guī)范反應(yīng)譜為目標(biāo)的多點(diǎn)地震動(dòng)調(diào)整方法．

1 多點(diǎn)地震動(dòng)合成基本方法與簡(jiǎn)化

1.1 多點(diǎn)地震動(dòng)合成基本方法

在建筑結(jié)構(gòu)的尺寸范圍內(nèi)，地震動(dòng)的4種空間效應(yīng)中局部場(chǎng)地效應(yīng)和衰減效應(yīng)的影響很小，因此以下只考慮行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)的影響．

Hao等[8]從隨機(jī)過(guò)程的理論出發(fā)，推導(dǎo)出了滿(mǎn)足空間相關(guān)性的地震動(dòng)公式及合成方法．假定所有M個(gè)點(diǎn)的地震動(dòng)自功率譜密度函數(shù)均為S0(ω)，i和j點(diǎn)相干函數(shù)為γij(iω)，則多點(diǎn)地震動(dòng)功率譜矩陣為

對(duì)式(1)進(jìn)行Cholesky分解，得到

其中

令

則第i點(diǎn)的平穩(wěn)地震動(dòng)公式為

式中：ωn為圓頻率；為在(0，2π)上均勻分布的隨機(jī)相位角，當(dāng)m≠r或n≠s時(shí)，φmn與φrs相互獨(dú)立.

該方法的實(shí)質(zhì)為先合成第1點(diǎn)的地震動(dòng)，合成以后各點(diǎn)時(shí)均考慮該點(diǎn)與之前各點(diǎn)的相關(guān)性，直至第M個(gè)點(diǎn)．

屈鐵軍等[9]建議在合成每個(gè)點(diǎn)的時(shí)程的時(shí)候均考慮該點(diǎn)與其余各點(diǎn)的相關(guān)性，因此將式(6)修正為

在式(7)的基礎(chǔ)上，董汝博等[10]提出為了保證局部場(chǎng)地地震波的收斂性，應(yīng)將各點(diǎn)的隨機(jī)相位角統(tǒng)一，即將mnnn代替，得到

將式(6)～式(8)對(duì)應(yīng)的合成方法分別命名為方法1、方法2和方法3．其中只有方法1是通過(guò)嚴(yán)格的公式推導(dǎo)得到的，而后兩者是在方法1的基礎(chǔ)上加以修改，并未加以理論論證和有效的算例分析，且沒(méi)有對(duì)所合成的多點(diǎn)地震動(dòng)的準(zhǔn)確性加以判斷．后文第3節(jié)的算例將反算合成地震動(dòng)的相干函數(shù)，對(duì)3種方法加以驗(yàn)證．

1.2 多點(diǎn)地震動(dòng)合成簡(jiǎn)化方法

本節(jié)以前述方法1為基礎(chǔ)，詳述本文提出的簡(jiǎn)化方法的原理與基本過(guò)程．

現(xiàn)有多點(diǎn)地震動(dòng)相干函數(shù)一般表示為

式中id為第i點(diǎn)距離原點(diǎn)(任意定義的固定點(diǎn)，可選第1個(gè)地震動(dòng)點(diǎn))在波傳播方向上的投影距離．則多點(diǎn)地震動(dòng)功率譜矩陣可表示為

其中

矩陣R一般為非負(fù)定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，可分解為下三角實(shí)矩陣Q與其轉(zhuǎn)置的乘積，即

將式(11)改寫(xiě)為

對(duì)比式(2)與式(15)，得出

因此式(4)和式(5)分別等價(jià)為

將式(18)代入式(6)，得到

(2) 對(duì)矩陣R進(jìn)行實(shí)矩陣的Cholesky分解(見(jiàn)式(14))，得到下三角實(shí)矩陣Q．

(3) 由式(17)計(jì)算幅值A(chǔ)im(ω)．

(4) 合成僅考慮不相干效應(yīng)的多點(diǎn)地震動(dòng)平穩(wěn)時(shí)程(5) 對(duì)式(21)非平穩(wěn)化處理，如采用與強(qiáng)度包線(xiàn)函數(shù)()f t相乘得

(6) 根據(jù)式(20)的延時(shí)，在式(22)的時(shí)程數(shù)列前添加K(K＝Ti/Δt，Δt為地震動(dòng)時(shí)程離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的間隔時(shí)間)個(gè)零點(diǎn)，以考慮行波效應(yīng)．

相對(duì)于原方法，上述簡(jiǎn)化方法具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

(1) 計(jì)算過(guò)程中未涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，避免了復(fù)矩陣的Cholesky分解；

(2) 將行波效應(yīng)的相位角從式(6)的三角函數(shù)累加過(guò)程中分離出來(lái)，只需在最后一步各時(shí)程數(shù)列前添加反應(yīng)延時(shí)的零點(diǎn)即可．

由此可見(jiàn)，簡(jiǎn)化方法將不相干效應(yīng)與行波效應(yīng)單獨(dú)考慮，完全避免了復(fù)數(shù)運(yùn)算，有效減少了計(jì)算量，而由于合成過(guò)程中未做近似處理，其精度與原方法相同．對(duì)于方法2和方法3，由于公式的形式與方法1相同，因此該簡(jiǎn)化方法也是適用的，只需對(duì)式(21)做相應(yīng)的調(diào)整即可，限于篇幅，略去推導(dǎo)過(guò)程．

2 基于《規(guī)范》的多點(diǎn)地震動(dòng)合成

《規(guī)范》要求人工合成單點(diǎn)地震動(dòng)的地震影響系數(shù)曲線(xiàn)與規(guī)范反應(yīng)譜的地震影響系數(shù)曲線(xiàn)在統(tǒng)計(jì)意義上相符，其頻譜特征應(yīng)滿(mǎn)足場(chǎng)地類(lèi)型和設(shè)計(jì)地震分組的要求．對(duì)于人工合成的多點(diǎn)地震動(dòng)也有必要提出相應(yīng)的控制條件．

2.1 基于《規(guī)范》的參數(shù)設(shè)置

多點(diǎn)地震動(dòng)合成過(guò)程中反映場(chǎng)地條件和設(shè)計(jì)地震分組的地震動(dòng)參數(shù)主要有3個(gè)：視波速vapp、遲滯相干函數(shù)和自功率譜密度函數(shù)S0(ω)．

1) 視波速

《規(guī)范》采用土層等效剪切波速作為判別場(chǎng)地類(lèi)型的主要依據(jù)(見(jiàn)《規(guī)范》表4.1.3和表4.1.6)，因此對(duì)于已知場(chǎng)地土層類(lèi)型而沒(méi)有實(shí)測(cè)波速的情況，可近似使用規(guī)范的剪切波速代替appv．

2) 遲滯相干函數(shù)

雖然眾多學(xué)者們提出了的多種多樣的遲滯相干函數(shù)模型[12-13]，但對(duì)此研究尚未成熟，更無(wú)法從規(guī)范的角度明確地規(guī)定與場(chǎng)地類(lèi)型對(duì)應(yīng)的值，建議采用多種模型試算．

3) 自功率譜密度函數(shù)

地震動(dòng)自功率譜密度函數(shù)可體現(xiàn)地震動(dòng)的頻譜特性，在隨機(jī)振動(dòng)領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用，常用的模型有金井清模型、Clough-Penzien模型等．由于《規(guī)范》給出的是反應(yīng)譜而不是功率譜，學(xué)者們大多在現(xiàn)有地震動(dòng)自功率譜模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)調(diào)整模型參數(shù)來(lái)逼近反應(yīng)譜．但現(xiàn)有功率譜模型無(wú)法較好地滿(mǎn)足反應(yīng)譜的需求，特別是長(zhǎng)周期部分的差別較大．為了與《規(guī)范》對(duì)應(yīng)，可采用迭代求解的方法，由規(guī)范反應(yīng)譜直接生成自功率譜密度函數(shù)[4]．

2.2 基于《規(guī)范》反應(yīng)譜的多點(diǎn)地震動(dòng)調(diào)整方法

人工合成的多點(diǎn)地震動(dòng)往往不能?chē)?yán)格滿(mǎn)足規(guī)范反應(yīng)譜的要求，需進(jìn)行調(diào)整．文獻(xiàn)[8]指出，改變幅值A(chǔ)im(ω)對(duì)各點(diǎn)地震動(dòng)相干性的影響是有限的，因此可以通過(guò)改變幅值A(chǔ)im(ω)達(dá)到既調(diào)整地震動(dòng)反應(yīng)譜又可保持地震動(dòng)相干性的目的．

借鑒單點(diǎn)地震動(dòng)調(diào)整方法[14]，得到如下多點(diǎn)地震動(dòng)時(shí)程調(diào)整步驟．

(1) 計(jì)算第i(i＝1，2，…，M)點(diǎn)時(shí)程ai( t)的反應(yīng)譜Sai(ω)．

(2) 對(duì)比計(jì)算的反應(yīng)譜Sai(ω)與規(guī)范反應(yīng)譜Sa(ω)，計(jì)算相對(duì)誤差

(3) 如果相對(duì)誤差E(ω)小于限值(如5%)，則停止迭代；否則，修正幅值A(chǔ)im(ω)(m＝1，2，…，i)，修正方法可以是或其他方式．

重復(fù)上述步驟，直至各點(diǎn)計(jì)算反應(yīng)譜滿(mǎn)足精度要求．各地震動(dòng)點(diǎn)時(shí)程的調(diào)整過(guò)程可獨(dú)立進(jìn)行．

3 算例分析

選擇8度設(shè)防烈度、Ⅱ類(lèi)場(chǎng)地、第1組地震分組，對(duì)應(yīng)反應(yīng)譜的水平地震影響系數(shù)最大值αmax=0.16，加速度時(shí)程曲線(xiàn)最大值amax=0.7 m/s2，特征周期Tg=0.35s；結(jié)構(gòu)阻尼比ζ=0.05；非平穩(wěn)強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)參數(shù)t1=0.8s，t2=7 s，c=0.35[15]；4個(gè)點(diǎn)間距均為50,m，考慮行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)，令視波速vapp=400 m/s，不相干函數(shù)采用Luco模型[16]，模型參數(shù)α=0.000 25．

由反應(yīng)譜迭代計(jì)算得到的自功率譜密度見(jiàn)圖1．

分別采用方法1～3的簡(jiǎn)化方法合成4點(diǎn)的地震動(dòng)．由已得時(shí)程，計(jì)算第1點(diǎn)和第4點(diǎn)的時(shí)程相干函數(shù)見(jiàn)圖2．其中方法2[17-18]是在式(7)的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化得到的，考慮了每一點(diǎn)與其他各點(diǎn)的相關(guān)性．

顯然，方法1得到的地震動(dòng)的相干函數(shù)與目標(biāo)相干函數(shù)吻合較好．方法2的相干函數(shù)與目標(biāo)相干函數(shù)幾乎完全不同，由于式(7)中人為添加了多余的項(xiàng)，導(dǎo)致相干性紊亂，因此計(jì)算結(jié)果相差較大．方法3的相干函數(shù)為常數(shù)1，這是由于式(8)強(qiáng)行將體現(xiàn)各點(diǎn)隨機(jī)性的相位角，其結(jié)果是各點(diǎn)地震動(dòng)完全相干，所以求得的相干函數(shù)值為1．因此，方法2和3無(wú)法滿(mǎn)足多點(diǎn)地震動(dòng)合成的要求，應(yīng)謹(jǐn)慎使用．

圖1 滿(mǎn)足《規(guī)范》反應(yīng)譜的自功率譜密度Fig.1Power spectral density in accordance with the standard response spectrum

圖2 多點(diǎn)地震動(dòng)相干函數(shù)Fig.2 Coherence function of multi-point ground motion

對(duì)方法1得到的地震動(dòng)按第2.2節(jié)的方法進(jìn)行調(diào)整．圖3(a)和(b)分別是調(diào)整前和經(jīng)4次迭代調(diào)整后地震動(dòng)時(shí)程以地震影響系數(shù)形式表示的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜之間的比較(限于篇幅，僅以第4點(diǎn)時(shí)程為例)．由于所使用的自功率譜密度是由反應(yīng)譜迭代得到的，圖3(a)中時(shí)程反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的相似程度比較高，但長(zhǎng)周期部分誤差較大．由圖3(b)可見(jiàn)，經(jīng)4次迭代后的時(shí)程反應(yīng)譜已非常接近目標(biāo)譜．圖4顯示調(diào)整后的1、4點(diǎn)間時(shí)程相干函數(shù)計(jì)算值，與圖2(a)相比，兩者差別很小，進(jìn)一步驗(yàn)證了單個(gè)點(diǎn)幅值調(diào)整對(duì)相干函數(shù)影響較小的結(jié)論．最終各點(diǎn)加速度時(shí)程見(jiàn)圖5．

圖3 反應(yīng)譜Fig.3 Response spectra

圖4 時(shí)程調(diào)整后的相干函數(shù)Fig.4 Coherence function after the schedule adjustment

圖5 各點(diǎn)加速度時(shí)程Fig.5 Acceleration time history of each point

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)多點(diǎn)地震動(dòng)合成方法進(jìn)行研究，在嚴(yán)格的理論公式推導(dǎo)基礎(chǔ)上，對(duì)傳統(tǒng)方法加以改進(jìn)簡(jiǎn)化．簡(jiǎn)化方法將不相干效應(yīng)與行波效應(yīng)單獨(dú)考慮，完全避免了復(fù)數(shù)運(yùn)算，可有效降低計(jì)算量．

(2) 提出根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范(GB50011—2010)》確定多點(diǎn)地震動(dòng)所需參數(shù)，迭代調(diào)整多點(diǎn)地震動(dòng)以滿(mǎn)足規(guī)范反應(yīng)譜的要求，提高所得時(shí)程的實(shí)用性．

(3) 通過(guò)算例對(duì)多種現(xiàn)有多點(diǎn)地震動(dòng)合成方法的準(zhǔn)確性加以驗(yàn)證和分析．指出某些方法在沒(méi)有嚴(yán)格理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上人為改變合成公式，導(dǎo)致其所得多點(diǎn)地震動(dòng)不滿(mǎn)足相干性要求，應(yīng)謹(jǐn)慎使用．

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(責(zé)任編輯：樊素英)

A Practical Simulation Method of Spatially Correlated Earthquake Ground Motions

Zhao Bo1，Shi Yongjiu2,,3，Jiang Yang2,,3，Wang Yuanqing2,,3，Chen Zhihua1
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Ministry of Education，Tsinghua University，Beijing 100084，China；3. Department of Civil Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China)

Based on strict theoretical formula derivation，simulation method of spatially correlated earthquake ground motions is simplified and improved. In the simplified method，wave passage effect and incoherence effect are considered separately，and computational complexity is reduced since the complex calculation is avoided. It’s proposed that parameters used in the simulation should be determined according to Code for Seismic Design of Buildings(GB50011—2010)，and to enhance the method’s practicality，ground motions should be adjusted to satisfy the response spectrum supplied in the code. Some existing simulation methods have been studied to verify their accuracy. Numerical analysis shows that ground motions gained from some of the existing methods which change the formula artificially without indispensable theoretical proving may not satisfy the coherence，and should be used with reservation.

ground motion simulation；spatial correlation；coherence function；wave passage effect

P315.9

A

0493-2137(2015)08-0717-06

10.11784/tdxbz201311021

2013-11-08；

2014-02-25.

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(51038006)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(20090002110045).

趙 博（1987— ），男，博士研究生，zhaobo-jiangong@163.com.

石永久，shiyj@tsinghua.edu.cn.