丁 陽(yáng)，賴(lài)程鋼，李 寧，李忠獻(xiàn)

基于Hillinger-Reissner變分的混合單元的開(kāi)發(fā)與應(yīng)用

丁 陽(yáng)1,2，賴(lài)程鋼1，李 寧1,2，李忠獻(xiàn)1,2

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；
2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

基于Hellinger-Reissner變分建立了一種用于幾何和材料非線性分析的混合單元，采用位移形函數(shù)和考慮二階效應(yīng)的內(nèi)力形函數(shù)對(duì)截面位移和截面內(nèi)力進(jìn)行插值，建立混合控制微分方程；通過(guò)靜力凝聚消除單元節(jié)點(diǎn)力未知量得到單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧獌?nèi)力．單元狀態(tài)確定過(guò)程中，截面層次的平衡方程和單元層次的協(xié)調(diào)方程均通過(guò)引入非線性迭代算法以消除殘余誤差，從而減少結(jié)構(gòu)層次的迭代次數(shù)．混合單元結(jié)合纖維截面模型用于鋼管混凝土(CFST)構(gòu)件的數(shù)值分析，結(jié)果表明：相對(duì)于剛度法和柔度法單元，基于Hellinger-Reissner變分的混合單元可以更加準(zhǔn)確地反映構(gòu)件的幾何和材料非線性，非線性迭代算法用于單元狀態(tài)確定具有良好的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性．在此基礎(chǔ)上對(duì)影響CFST構(gòu)件幾何非線性的主要參數(shù)進(jìn)行了分析．

Hellinger-Reissner變分；混合單元；非線性迭代；幾何非線性；材料非線性；鋼管混凝土(CFST)

隨著工程結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度增大，結(jié)構(gòu)非線性分析日漸發(fā)揮重要功能，廣泛應(yīng)用于工程和研究領(lǐng)域．近年來(lái)，如何提高梁柱單元在結(jié)構(gòu)幾何、材料非線性問(wèn)題求解中的分析精度和計(jì)算效率一直是研究者關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一．

基于纖維截面模型的分布塑性梁柱單元可準(zhǔn)確地反映軸力和彎矩共同作用下材料的非線性，具有良好的分析精度和計(jì)算效率．然而，對(duì)于大變形狀態(tài)下的幾何非線性，一直未能得到很好的解決．

聶建國(guó)等[1]基于有限元程序MSC.MARC開(kāi)發(fā)了用于組合結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的剛度法纖維梁?jiǎn)卧?；王文達(dá)等[2]基于非線性纖維梁-柱理論建立了分布塑性有限元模型，用于鋼管混凝土(concrete filled steel tube，CFST)框架結(jié)構(gòu)全過(guò)程分析．傳統(tǒng)的剛度法單元采用三次橫向位移和線性軸向位移假定，適用于線性曲率和軸向常應(yīng)變位移場(chǎng)，無(wú)法準(zhǔn)確描述構(gòu)件在強(qiáng)非線性狀態(tài)下的真實(shí)位移場(chǎng)分布形式．通過(guò)增加單元數(shù)量或者采用更高階形函數(shù)[3-4]來(lái)逼近真實(shí)位移場(chǎng)可以提高計(jì)算精度，但將影響單元計(jì)算效率．

相對(duì)于剛度法單元，柔度法單元以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，沿構(gòu)件全長(zhǎng)插值得到截面內(nèi)力，嚴(yán)格滿(mǎn)足單元平衡方程．但是現(xiàn)有的有限元程序中柔度法單元均為幾何線性單元，基于小變形假定建立單元控制方程，無(wú)法考慮構(gòu)件在大變形下的幾何非線性．針對(duì)這一問(wèn)題，陳滔等[5-6]結(jié)合二階柔度法和纖維模型梁柱單元，在內(nèi)力形函數(shù)中引入橫向位移考慮構(gòu)件二階效應(yīng)．文獻(xiàn)[7-9]基于Hillinger-Reissner變分提出了考慮幾何非線性的分析方法，以單元節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量通過(guò)位移形函數(shù)和內(nèi)力形函數(shù)插值得到截面位移和截面內(nèi)力，最終通過(guò)靜力凝聚消除節(jié)點(diǎn)力未知量得到單元?jiǎng)偠染仃嚕摲椒ɑ趦蓤?chǎng)變分能夠較為準(zhǔn)確地反映構(gòu)件在大變形狀態(tài)下的受力狀態(tài)，并且相對(duì)柔度法單元在數(shù)值計(jì)算上具有更好的穩(wěn)定性．

本文在已有研究基礎(chǔ)上，基于Hellinger-Reissner變分建立混合單元有限元方程，將非線性迭代算法用于截面層次和單元層次消除殘余誤差，從而減少結(jié)構(gòu)層次迭代次數(shù)．將混合單元結(jié)合纖維截面模型嵌入開(kāi)源有限元程序OpenSees用于鋼管混凝土構(gòu)件非線性分析，以充分驗(yàn)證混合單元以及非線性迭代算法用于非線性分析的有效性．基于混合單元分析了構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比和荷載偏心比對(duì)鋼管混凝土構(gòu)件幾何非線性的影響規(guī)律．

1 基于Hillinger-Reissner變分的混合單元

圖1給出了混合單元有限元方程建立的流程.混合單元以節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，分別通過(guò)位移形函數(shù)和內(nèi)力形函數(shù)插值得到截面位移和截面內(nèi)力，由截面位移得到的截面應(yīng)變與由截面內(nèi)力得到的截面應(yīng)變之間應(yīng)滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程；截面內(nèi)力和外荷載之間應(yīng)滿(mǎn)足單元平衡方程；最終由單元平衡方程和協(xié)調(diào)方程基于Hellinger-Reissner變分建立單元?jiǎng)偠染仃嚕畣卧獱顟B(tài)確定過(guò)程中，由節(jié)點(diǎn)力插值得到的截面內(nèi)力與由截面應(yīng)變積分得到的截面內(nèi)力尚需滿(mǎn)足截面平衡方程．

混合單元基于以下基本假定：①不考慮剪切和扭轉(zhuǎn)變形的影響；②單元截面應(yīng)變狀態(tài)符合平截面假定；③單元外荷載只考慮桿端集中荷載；④單元軸向變形滿(mǎn)足小變形假定．

1.1 單元力與變形

混合單元基本未知量包括單元節(jié)點(diǎn)位移向量U和節(jié)點(diǎn)力向量Q，即

式中：ΔL為桿端相對(duì)軸向變形；θzi、θzj為繞z軸的桿端轉(zhuǎn)角；θyi、θyj為繞y軸的桿端轉(zhuǎn)角；Nx為桿端軸力；Mzi、Mzj為繞z軸的桿端彎矩；Myi、Myj為繞y軸的桿端彎矩．

單元軸向位移和橫向位移分別采用線性形函數(shù)和三次Hermitian形函數(shù)，截面位移向量u可以表示為

式中：u(x)為截面軸向位移；v(x)、w(x)分別為截面2個(gè)主軸方向上的橫向位移；Nu為單元位移形函數(shù)矩陣．

為描述單元應(yīng)變與位移的非線性關(guān)系，由單元截面位移向量u得到的截面應(yīng)變向量d采用Green-Lagrange應(yīng)變張量表示為

式中：ε為截面軸向應(yīng)變；κz、κy為繞z、y軸的曲率．

單元內(nèi)力采用常軸力和線性彎矩并考慮二階效應(yīng)，單元截面內(nèi)力向量q可表示為

式中：N(x)為截面軸力；Mz(x)、My(x)為繞z、y軸的截面彎矩；Nq為單元內(nèi)力形函數(shù)矩陣．

式中L為單元長(zhǎng)度．

1.2 截面平衡方程

基于纖維截面廣義截面內(nèi)力與變形關(guān)系由截面變形向量dq積分得到截面內(nèi)力向量qsum，與由節(jié)點(diǎn)力向量Q插值得到的截面內(nèi)力向量q應(yīng)滿(mǎn)足截面平衡方程

式中Dq為截面不平衡力．

1.3 單元?jiǎng)偠染仃?/p>

基于虛位移原理，混合單元平衡方程的虛功方程可表示為

式中：δdTq為截面內(nèi)力向量q所做的虛功；-δUTP為外荷載向量P所做的虛功．

基于纖維截面廣義截面內(nèi)力與變形關(guān)系由截面內(nèi)力向量q得到單元截面應(yīng)變向量dq，與由單元截面位移向量u得到的截面應(yīng)變向量d應(yīng)滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)性，即

基于Hellinger-Reissner變分[10]，式(8)和式(9)可表示為

經(jīng)分部積分得到

式中E、C分別為單元求解過(guò)程中的不平衡力和殘余變形向量．

利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式可將非線性方程(12)～(13)線性化，具體過(guò)程在文獻(xiàn)[9]中已有介紹，這里不再詳述．

式中：ΔQ為單元節(jié)點(diǎn)力增量；ΔU為單元節(jié)點(diǎn)位移增量；ΔP為單元外力增量；N為單元軸力．

OpenSees是基于剛度法編制的有限元程序，為了實(shí)現(xiàn)將混合單元嵌入該程序，由式(14)、式(15)通過(guò)靜力凝聚將單元節(jié)點(diǎn)力未知量ΔQ消除得到

式中：Ke為混合單元?jiǎng)偠染仃?；Qe為單元內(nèi)力向量．

1.4 單元狀態(tài)確定

混合單元需要對(duì)截面平衡方程、單元協(xié)調(diào)方程及單元平衡方程進(jìn)行求解，單元狀態(tài)確定過(guò)程較為復(fù)雜，文獻(xiàn)[11]介紹了4種用于混合單元狀態(tài)確定的算法．Denavit等[9]采用線性算法通過(guò)線性求解將截面層次和單元層次的殘余誤差轉(zhuǎn)化為不平衡力在結(jié)構(gòu)層次進(jìn)行迭代求解．該算法需要在結(jié)構(gòu)層次進(jìn)行多次迭代以消除截面不平衡力和單元?dú)堄嘧冃蔚睦鄯e誤差，需要程序儲(chǔ)存大量單元矩陣．由于只在結(jié)構(gòu)層次進(jìn)行迭代求解，當(dāng)單元層次殘余誤差過(guò)大時(shí)可能導(dǎo)致計(jì)算不收斂．

非線性迭代算法在結(jié)構(gòu)層次每一次迭代過(guò)程中都會(huì)分別在截面層次和單元層次通過(guò)迭代將對(duì)應(yīng)的殘余誤差消除，從而減少結(jié)構(gòu)層次的迭代次數(shù)，程序只需儲(chǔ)存少量的單元矩陣．本文基于OpenSees采用C++語(yǔ)言編制程序?qū)⒎蔷€性迭代算法用于混合單元狀態(tài)確定，具體計(jì)算過(guò)程如圖2所示．

圖2 非線性迭代算法Fig.2 Nonlinear iteration algorithm

2 算例分析

2.1 材料本構(gòu)關(guān)系

本文圓鋼管混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線(見(jiàn)圖3)采用Denavit等[9]改進(jìn)的Chang-Mander模型，混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

圖3 圓鋼管混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain relationship curve of circular CFST

本文方鋼管混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線(見(jiàn)圖4)在混凝土達(dá)到峰值應(yīng)力前參考韓林海[12]模型考慮方鋼管對(duì)混凝土的約束效應(yīng)，峰值應(yīng)力之后參考文獻(xiàn)[13]考慮構(gòu)件截面尺寸、鋼管和混凝土強(qiáng)度對(duì)混凝土應(yīng)變軟化及殘余應(yīng)力的影響．其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

圖4 方鋼管混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain relationship curve of square CFST

核心混凝土峰值應(yīng)力后應(yīng)變軟化曲線斜率Kc表示為

式中：B/t為方鋼管寬厚比；Es為鋼材彈性模量．

核心混凝土殘余應(yīng)力frc和對(duì)應(yīng)的壓應(yīng)變?chǔ)舝c可表示為

2.2 軸壓試驗(yàn)

Han[14]進(jìn)行了一組細(xì)長(zhǎng)圓鋼管混凝土柱軸壓試驗(yàn)，本文選取其中2個(gè)試件進(jìn)行分析，其試驗(yàn)參數(shù)見(jiàn)表1，初始缺陷取L/5,000[15]．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性取一半結(jié)構(gòu)采用1個(gè)單元模擬，單元設(shè)置4個(gè)積分點(diǎn)，截面離散為16個(gè)鋼纖維和32個(gè)混凝土纖維．混合單元的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖5所示．可見(jiàn)，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，說(shuō)明混合單元能較好地反映細(xì)長(zhǎng)鋼管混凝土軸壓柱的極限承載力和軟化行為．

表1 軸壓試驗(yàn)試件參數(shù)Tab.1 Test parameters of specimen under axial load

圖5 軸壓柱混合單元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of mixed element computational results and test results of axial compression columns

2.3 偏壓試驗(yàn)

Grauers[16]進(jìn)行了一組方鋼管混凝土柱偏壓試驗(yàn)，整個(gè)加載過(guò)程隨著荷載的增大試件在軸力和彎矩的共同作用下逐漸表現(xiàn)出材料非線性和幾何非線性.本文分別采用混合單元、剛度法單元和柔度法單元對(duì)其中7個(gè)方鋼管混凝土柱進(jìn)行分析，試件S-2和S-10基本試驗(yàn)參數(shù)見(jiàn)表2．

偏壓柱3種單元的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖6所示．可見(jiàn)，整個(gè)加載過(guò)程中混合單元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，較為準(zhǔn)確地反映了試件的初始剛度、極限承載力以及軟化剛度．基于剛度法單元、柔度法單元的計(jì)算結(jié)果在加載初期與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，隨著試件變形增大計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差逐漸增大，均高估了試件極限承載能力．

表2 偏壓試驗(yàn)試件參數(shù)Tab.2 Test parameters of specimen under eccentric load

圖6 偏壓柱3種單元的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.6Comparison of computational results and test results of three kinds of elements of eccentric compression columns

表3給出了7個(gè)偏壓試件的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差．從表中可以看出，采用1個(gè)混合單元模擬即可得到較為精確的結(jié)果；剛度法單元和柔度法單元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有較大誤差，需要成倍增加單元數(shù)量才能減小計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差，嚴(yán)重降低了計(jì)算效率．

表3 偏壓構(gòu)件數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差Tab.3 Errors of computational and test results of eccentric compression member

3 參數(shù)對(duì)構(gòu)件幾何非線性的影響

以上分析說(shuō)明不考慮幾何非線性會(huì)過(guò)高估計(jì)鋼管混凝土構(gòu)件的承載力．本文針對(duì)試件S-10分析了參數(shù)對(duì)構(gòu)件幾何非線性的影響，參數(shù)包括長(zhǎng)細(xì)比λ和荷載偏心比e/B，其中λ＝40～140，e/B＝0.1～0.5．

圖7所示為長(zhǎng)細(xì)比λ＝140、荷載偏心比e/B＝0.1的計(jì)算結(jié)果對(duì)比．可見(jiàn)，隨著變形的增大不考慮幾何非線性明顯高估構(gòu)件承載能力，達(dá)到極限承載力60%左右時(shí)不考慮幾何非線性對(duì)構(gòu)件承載力約高估10%，達(dá)到構(gòu)件極限承載力時(shí)約高估16%．極限承載力之后相對(duì)誤差隨變形增大逐漸減小并趨于穩(wěn)定．

圖7 幾何非線性參數(shù)對(duì)構(gòu)件承載力的影響Fig.7 Influence of geometric nonlinear parameters on bearing capacity of member

圖8 所示為構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比λ與荷載偏心比e/B對(duì)幾何非線性的影響．可見(jiàn)，荷載偏心比不變時(shí)，相對(duì)誤差與構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比大致呈線性增長(zhǎng)關(guān)系，且小偏心比情況下相對(duì)誤差增長(zhǎng)更快．構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較小(λ≤80)時(shí)，極限承載力相對(duì)誤差隨荷載偏心比變化較為平緩，構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較大(λ＞80)時(shí)，極限承載力相對(duì)誤差隨著荷載偏心比增大線性減小，說(shuō)明大長(zhǎng)細(xì)比情況下荷載偏心比對(duì)幾何非線性影響更明顯．

圖8 長(zhǎng)細(xì)比與荷載偏心比對(duì)幾何非線性的影響Fig.8Influence of slenderness ratio and load eccentricity ratio on geometric nonlinearity

4 結(jié) 論

(1)建立了一種基于Hellinger-Reissner變分的混合單元，采用非線性迭代算法確定單元狀態(tài)，并將單元模型嵌入OpenSees用于非線性分析．

(2)采用非線性迭代算法在單元層次和截面層次將殘余變形消除，減少了結(jié)構(gòu)層次的迭代次數(shù)，具有良好的穩(wěn)定性．相對(duì)于剛度法和柔度法單元，單個(gè)構(gòu)件采用1個(gè)混合單元即可較為準(zhǔn)確地反映構(gòu)件強(qiáng)非線性狀態(tài)下的內(nèi)力和變形，具有更好的分析精度和計(jì)算效率．

(3)不考慮幾何非線性對(duì)鋼管混凝土構(gòu)件承載力大約高估3%～16%．長(zhǎng)細(xì)比對(duì)幾何非線性有明顯的影響，長(zhǎng)細(xì)比越大幾何非線性越明顯．構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較小(λ≤80)時(shí)，荷載偏心比對(duì)幾何非線性影響較小．構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較大(λ＞80)時(shí)，隨著荷載偏心比增大，構(gòu)件幾何非線性減弱．

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(責(zé)任編輯：樊素英)

Development and Application of Mixed Element Based on Hellinger-Reissner Variation

Ding Yang1,2，Lai Chenggang1，Li Ning1,2，Li Zhongxian1,2
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

This paper proposed a beam-column mixed element based on Hellinger-Reissner variation for geometric and material nonlinear analysis. A governing differential formulation of mixed element is established using displacement shape function and force shape function including second-order effects for interpolation of section deformation and innerforce，respectively．The element stiffness matrix and internal forces are derived by eliminating the force unknown through static condensation. During the element state determination，nonlinear iteration algorithm is adopted for residual error of section equilibrium and element compatibility，which reduces the numerical cost of structural equilibrium iteration. This mixed element based fiber section is used for numerical studies of concrete filled steel tube(CFST) members，and the results indicate good agreement. Relative to the displacement-based and flexibility-based elements，the mixed element based Hellinger-Reissner variation was more reasonable in predicting geometric and material nonlinearity of members，and the nonlinear iteration algorithm carried out for element state determination is of good efficiency and stability. Finally，a parametric study for geometric nonlinearity of CFST was performed based on the mixed element model.

Hellinger-Reissner variation；mixed element；nonlinear iteration；geometric nonlinearity；material nonlinearity；concrete filled steel tube(CFST)

O344.3

A

0493-2137(2015)05-0422-07

10.11784/tdxbz201310064

2013-10-25；

2013-11-20.

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2011CB013606，2011CB013603)；國(guó)家自然科學(xué)基金紫霞湖項(xiàng)目(51238007，

51378341，51178306)；天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JCZDJC35200，13JCQNJC07200).

丁 陽(yáng)（1966— ），女，博士，教授.

李 寧，neallee@tju.edu.cn.

時(shí)間：2013-12-31. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201310064.html.