陶為群

(中國(guó)人民銀行南京分行，南京 210004)

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兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化

陶為群

(中國(guó)人民銀行南京分行，南京 210004)

基于經(jīng)典的馬克思兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)公式,建立了離散確定型的持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型.在生產(chǎn)資料部類的不變資本產(chǎn)出率高于另一部類的條件下，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的指標(biāo)函數(shù)是作為決策變量的生產(chǎn)資料部類積累率的單調(diào)函數(shù)，因而可以使用逆序解法或者順序解法, 獲得唯一的最優(yōu)策略和最優(yōu)指標(biāo)函數(shù).借助《資本論》中的一個(gè)舉例，計(jì)算驗(yàn)證了最優(yōu)解.

政治經(jīng)濟(jì)學(xué)，持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)；優(yōu)化；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；逆序解法

1 引 言

馬克思的兩大部類社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)理論與模型對(duì)于研究國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具有重要指導(dǎo)意義，兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題可以為國(guó)民經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長(zhǎng)的優(yōu)化提供理論指導(dǎo).這一優(yōu)化問題本質(zhì)上是一個(gè)兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的靜態(tài)最優(yōu)化問題序列，因此，它的解也是這一序列的靜態(tài)最優(yōu)化問題的序列解.兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的根本意義，是通過尋求序列化的最優(yōu)策略(控制)而獲得擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)增長(zhǎng)路徑.李海明、祝志勇(2012)把馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)理論與一般動(dòng)態(tài)均衡分析方法結(jié)合,建立了馬克思社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)動(dòng)態(tài)均衡模型，并運(yùn)用最優(yōu)控制方法推導(dǎo)模型的最優(yōu)解[1].不過，他們的研究存在兩個(gè)方面的不足，因而很大地削弱了獲得的結(jié)果.第一, 假定了 “兩大部類可變資本之比不變”.鑒于陶為群、陶川(2012)已經(jīng)論證了在“兩大部類可變資本之比不變” 條件下，擴(kuò)大再生產(chǎn)的決策變量取值是被兩大部類可變資本之比所唯一確定的[2]，因而這個(gè)假定實(shí)際上就把擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題簡(jiǎn)化成為確定狀態(tài)變量的最佳初始值，改變了動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的根本意義.第二，把兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)成一個(gè)連續(xù)確定型模型，因而改變了經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式是離散確定型模型的基本設(shè)定.陶為群、陶川(2013) 使用“價(jià)值系數(shù)法” 簡(jiǎn)便地獲得了經(jīng)典的馬克思兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的靜態(tài)優(yōu)化問題的最優(yōu)解[3]，并且陶為群(2015)證明了兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件[4].事實(shí)上，兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題，是一個(gè)以擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行作為前提的兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的靜態(tài)最優(yōu)化問題序列．他們這兩方面的研究結(jié)果，為求解兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題做了鋪墊.在生產(chǎn)資料部類的不變資本產(chǎn)出率高的條件下，兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題可以構(gòu)成一個(gè)離散確定型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，并且使用逆序解法求解(編篡委員會(huì),2001)[5].

2 兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的當(dāng)年資本積累均衡和結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化

j=Ι,ΙΙ．

(1)

根據(jù)式(1)和每個(gè)部類內(nèi)部，總產(chǎn)值的各構(gòu)成部分之間保持固定不變關(guān)系，可以獲得社會(huì)再生產(chǎn)的當(dāng)年資本積累均衡方程：

(2)

(3)

用兩大部類新創(chuàng)造價(jià)值之間的比例

(4)

表示兩大部類總產(chǎn)品之間的結(jié)構(gòu)狀態(tài)，φ(t)是社會(huì)再生產(chǎn)系統(tǒng)中的狀態(tài)變量.φ(t)與資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率參數(shù)hj,ej共同體現(xiàn)了兩大部類再生產(chǎn)系統(tǒng)的完整結(jié)構(gòu).由于總產(chǎn)值增量的各構(gòu)成增量之間也保持同樣的固定不變關(guān)系，將式(3)和φ(t)的表達(dá)式代入資本積累均衡方程式(2)，得到：

(5)

(6)

式(6)就是擴(kuò)大再生產(chǎn)的解.陶為群(2015)證明了[4]，對(duì)于任何t年，在第Ⅰ部類資本利潤(rùn)率不高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)≤eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形下，社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件是

(7)

(8)

φ**≤φ(t)<φmax，式中

(9)

(10)

(11)

2個(gè)部類的新增產(chǎn)出總和是

(12)

能夠最一般地表示社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的結(jié)果.因而第t+1年相對(duì)于第t年全社會(huì)的產(chǎn)出增長(zhǎng)率是

(13)

將式(11)和φ(t)的表達(dá)式(4)代入式(13)，得到：

(14)

(15)

資本積累使下一年社會(huì)再生產(chǎn)的產(chǎn)出增加，而2個(gè)部類的新增產(chǎn)出會(huì)使2大部類結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生變化.下一年的兩大部類結(jié)構(gòu)狀態(tài)與當(dāng)年的狀態(tài)和下一年的兩個(gè)部類產(chǎn)出增長(zhǎng)率有關(guān).

(16)

當(dāng)?shù)趖年實(shí)現(xiàn)了擴(kuò)大再生產(chǎn),可將式(11)代入式(16)，得到：

(17)

(18)

持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)是一序列靜態(tài)意義下的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的前后銜接.由于資本積累會(huì)使兩大部類結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生變化或者不發(fā)生變化，因而狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以作為紐帶，通過第Ⅰ部類的資本積累把前后2個(gè)相鄰年份的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的銜接起來.

3 兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃及逆序解法

全社會(huì)的產(chǎn)出增長(zhǎng)能夠代表經(jīng)濟(jì)發(fā)展.以y(t)表示第t+1年相對(duì)于第t年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度.則

(19)

將式(15)代入式(19)，得到經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度與決策變量之間的關(guān)系式：

(20)

第t+1年的產(chǎn)出與當(dāng)年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度和第t年的產(chǎn)出具有確定的關(guān)系：

Y(t+1)=Y(t)y(t)

(21)

考察持續(xù)n+1年的擴(kuò)大再生產(chǎn)，對(duì)于k=1，2，…,n，根據(jù)式(21)，第k+1年的全社會(huì)產(chǎn)出是被第1年的產(chǎn)出和此后各年的全社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度所確定.

(22)

根據(jù)式(20)，決策變量影響著發(fā)展速度，因而經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度可以作為指標(biāo)函數(shù).

當(dāng)考察持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn),根據(jù)式(22)需要確定n個(gè)年份對(duì)于前一年的發(fā)展速度, 因而階段變量是n.擴(kuò)大再生產(chǎn)的狀態(tài)變量從第k年的φ(k)到第k+1年的φ(k+1)之間，對(duì)應(yīng)的階段指標(biāo)是第k+1年相對(duì)于第k年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度y(k)(k=1，2，…,n).當(dāng)從第k年的兩大部類的結(jié)構(gòu)狀態(tài)φ(k)出發(fā)，采用后部k段子策略，則后部指標(biāo)函數(shù)是：

(23)

由于指標(biāo)函數(shù)是階段指標(biāo)的乘積，因而可以分離，根據(jù)式(23)，有：

k=1，2，…,n-1．

(24)

在一定條件下，式(18)、(20)和(24)可以構(gòu)成一個(gè)持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，并且可以使用逆序解法求解.

根據(jù)式(23)可以確定，在從第k年的狀態(tài)φ(k)到第n+1年的終止?fàn)顟B(tài)的后部子過程，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)是

(25)

使用逆序解法，根據(jù)式(24)和(25)可以列出持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程：

k=n，n-1，…,2,1

(26)

式(26)當(dāng)中的第二式為邊界條件.式(20)和(26)構(gòu)成動(dòng)態(tài)規(guī)劃的逆序解法的基本方程.

(27)

).根據(jù)式(8)和式(10)，可以明確地寫出qΙ(φ(t)).在第Ⅰ部類資本利潤(rùn)率不高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)≤eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形下，

t=1，2，…,n．

(28)

在第Ⅰ部類利潤(rùn)率高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)>eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形下，

t=1，2，…,n．

(29)

于是在第n年的最優(yōu)決策是：

(30)

×Max(y(n-1))．

(31)

4 兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)策略和整體最優(yōu)函數(shù)

根據(jù)后部子過程的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)式(25)和逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程式(26)，原過程的整體最優(yōu)函數(shù)是：

(32)

由于初始年?duì)顟B(tài)變量φ(1)是既定的,因而根據(jù)以上解析結(jié)果以及式(28)或者式(29)，可以確定：

(33)

進(jìn)而根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式(18)和式(28)或者式(29)，可以順序逐年迭代確定：

t=1，2，…,n-1 ．

(34)

將式(33)和(34)代入整體最優(yōu)函數(shù)f1(φ(1))，f1(φ(1))就得以最終確定.

(35)

根據(jù)式(33)和(34)，也最終確定從第1年到第n+1年原過程的最優(yōu)策略.

(36)

式(36)清晰地表明：持續(xù)n+1年擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，是一序列的靜態(tài)最優(yōu)化問題的序列解.擴(kuò)大再生產(chǎn)的初始狀態(tài)φ(1)和原過程的最優(yōu)策略共同確定了持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的最優(yōu)增長(zhǎng)路徑.

從以上解析的過程看到，持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)規(guī)劃也可以使用順序解法求解.

綜合以上解析的結(jié)果，在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類的條件下，只要初始年?duì)顟B(tài)變量φ(1)滿足擴(kuò)大再生產(chǎn)的充分必要條件式(7)或者式(9)，那么式(20)、(25)、(26)可以構(gòu)成一個(gè)持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，并且可以使用逆序解法或者順序解法求解.全部過程的最優(yōu)策略由式(33)、(34)和(36)表示；整體最優(yōu)函數(shù)的取值由式(33)、(34)和(35)共同表示.最優(yōu)策略和整體最優(yōu)函數(shù)的取值都是被兩個(gè)部類的資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率參數(shù)和初始年結(jié)構(gòu)狀態(tài)φ(1)唯一確定.

考慮連續(xù)n+1年的擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化，應(yīng)當(dāng)以在n+1年里相對(duì)于初始產(chǎn)出Y(1)的各年新增產(chǎn)出總和最大作為目標(biāo)函數(shù)；也就是以n+1年里的各年產(chǎn)出總和最大作為目標(biāo)函數(shù).根據(jù)式(22)，n+1年里各年產(chǎn)出總和是

(37)

在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類的條件下，只要初始年?duì)顟B(tài)變量φ(1)滿足擴(kuò)大再生產(chǎn)的充分必要條件式(7)或者式(9)，則第k+1年的最大產(chǎn)出是

k=1，2，…,n．

(38)

各年產(chǎn)出的總和最大值是

(39)

5 數(shù)值計(jì)算兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的最優(yōu)解

下面借助馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的第二例[6]，對(duì)以上獲得的持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)解，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證.此例設(shè)定兩個(gè)部類結(jié)構(gòu)參數(shù)hⅠ=5，hⅡ=5.017 5,eⅠ=eⅡ=1，滿足第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類的條件.馬克思用此例做了連續(xù)三年的計(jì)算,說明一般情形下兩個(gè)部類的擴(kuò)大再生產(chǎn)過程.該例是本文所論析的第Ⅰ部類的資本利潤(rùn)率高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)>eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形.直接引用該例中的第1年(起始年)數(shù)據(jù),列在表1中的第1年的前3列.根據(jù)式(9)，計(jì)算出φ**=0.199 8，φmax=0.398 6；于是兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量取值區(qū)間是半開區(qū)間[0.199 8, 0.398 6 ).第1年兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量φ(1)=0.285, 處于上述半開區(qū)間內(nèi)，滿足兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件式(9).

表1 舉例驗(yàn)算兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的最優(yōu)解

6 結(jié) 論

綜合以上研究結(jié)果表明，基于經(jīng)典的馬克思兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)公式,可以建立離散確定型的持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，并且在生產(chǎn)資料部類的不變資本產(chǎn)出率高的條件下，使用逆序解法或者順序解法獲得唯一的最優(yōu)解.最優(yōu)解是被兩個(gè)部類的資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率參數(shù)和初始年結(jié)構(gòu)狀態(tài)所確定.

[1] 李海明,祝志勇.擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)模型[J]，經(jīng)濟(jì)科學(xué)，2012(6):12-22.

[2] 陶為群、陶川.馬克思經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型中的特征值及其理論蘊(yùn)涵[J].經(jīng)濟(jì)評(píng)論,2011(3):5-11.

[3] 陶為群,陶川.兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)中的廣義拉格朗日乘子[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2013，30(4)：49-54.

[4] 陶為群. 兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的按比例發(fā)展定理 [J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2015,32(2):60-65.

[5] 編篡委員會(huì).現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊(cè)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)卷[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2001：351-363.

[6] 馬克思.資本論(第二卷) [M].北京：人民出版社，2004:579-585.

The Optimization of the Two-sector Continuous Expanded Reproduction

TAO Wei-qun
(Nanjing Branch, The People’s Bank of China, Nanjing, Jiangsu 210004, China)

Based on classical Marx's two-sector reproduction scheme, this paper established a dynamic programming model of the optimization problem of the continuous expanded reproduction. The model is a dispersed and determined type. Depending on the condition that the constant capital output ratio of the capital goods sector is higher than that of another sector , the target function in the dynamic programming is a monotone function of the accumulation rate of the capital goods sector , which is treated as a decision variable. Therefore, only the optimum strategy and optimum target function can be obtained by the inverted sequence solution. An example from Marx's "Das kapital" was drawn upon to verify the optimum solution.

political economy; continuous expanded reproduction; optimization; dynamic programming; inverted sequence solution

2015-06-07

陶為群(1955—)，男，江蘇南京人，研究員，碩士 E-mail:taoweiqun@aliyun.com

F224，F(xiàn)014.3

A