李慶，宋萬清

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海，201620)

目前機械系統(tǒng)的運行狀態(tài)監(jiān)測與預(yù)測技術(shù)均建立在采集高質(zhì)量的振動信號的基礎(chǔ)上，然而，振動信號的采集必須滿足 Nyquist采樣定理，數(shù)據(jù)采集量一般較大，且數(shù)據(jù)存儲、傳輸速度等往往受到采集硬件的限制，因此，機械振動信號的壓縮與重構(gòu)技術(shù)顯得越來越重要。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)壓縮處理技術(shù)包括基于信號工程特征的特征值提取壓縮法、基于多分辨分析的小波壓縮法(閾值壓縮法以及信號多尺度邊沿回復(fù)壓縮法)、數(shù)據(jù)壓縮稀化法(分段判別和模式分類、分段壓縮)等[1-4]，這些方法雖降低了存儲與傳輸負(fù)擔(dān)，但仍要求采集系統(tǒng)具有很高的采樣頻率，依然存在數(shù)據(jù)壓縮計算復(fù)雜、數(shù)據(jù)壓縮有限、內(nèi)存浪費和適用范圍低等問題[5-6]。Candes等[7-9]提出壓縮傳感(compressive sensing，CS)理論，指出利用隨機測量矩陣把稀疏可壓縮的高維信號投影到低維空間中，通過求解一定的線性或非線性解碼模型，能以較高的概率重建原始信號。壓縮傳感理論將采樣與壓縮合并進行，克服了Nyquist采樣定理的限制，避免對原始信號直接采樣，降低了對數(shù)模轉(zhuǎn)換器的帶寬要求，有效降低了傳感器和抽樣系統(tǒng)的復(fù)雜性。然而，壓縮傳感理論是把采樣的復(fù)雜性轉(zhuǎn)移到重構(gòu)算法計算的復(fù)雜性中，且信號的稀疏度一般與信號的重構(gòu)精度和計算復(fù)雜度相關(guān)；機械振動信號不同于一般的模擬信號，屬于一種快速、非線性、非平穩(wěn)的突變信號[10]，信號稀疏性差，導(dǎo)致重構(gòu)效率低。因此，如何降低機械振動信號重構(gòu)的復(fù)雜度及提高重構(gòu)效率成為這一理論研究的關(guān)鍵技術(shù)。Smith[11]提出一種新的時頻分析方法——局部均值分解(local mean decomposition，LMD)算法。該方法可將多分量非線性信號分解為若干個乘積函數(shù) PF的線性組合，每個PF分量通過1個包絡(luò)信號和1個純調(diào)頻信號相乘得到，屬于單分量的調(diào)幅調(diào)頻信號。對于重構(gòu)精度與重構(gòu)速度，Zhang等[12]證明非凸罰最小化Lq正則子具有無偏性、稀疏性以及Oracle性等優(yōu)良特性，比經(jīng)典最小化 L0正則子更易求解，與最小化 L1正則子相比具有更好的稀疏性與穩(wěn)健性，重構(gòu)精度和速度要優(yōu)于一般最優(yōu)化算法。因此，結(jié)合以上2種算法思想，本文作者提出一種利用 LMD方法與非凸罰最小化Lq正則子壓縮傳感相結(jié)合的振動信號重構(gòu)方法，利用LMD把振動信號分解為若干個平穩(wěn)的PF分量，然后對每個 PF分量進行非凸罰最小化 Lq正則子 CS處理，重構(gòu)得到原始振動信號。該方法充分利用 LMD算法與非凸罰最小化Lq正則子算法的優(yōu)點，與直接采用 CS壓縮軸承故障振動信號相比，不但信號重構(gòu)精度得到提高，且計算復(fù)雜度降低，可在線應(yīng)用。

1 局部均值分解(LMD)

局部均值分解(LMD)與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)類似，是一種新的自適應(yīng)時頻分析方法。相對于EMD法，用滑動平均代替3次樣條插值，LMD法在抑制端點效應(yīng)、減少迭代次數(shù)和保留信號信息完整性等方面優(yōu)于EMD法[12]。給定任意非平穩(wěn)信號x(t)，其分解步驟如下。

1) 確定信號x(t)所有局部極值ni，求相鄰2個極值間的平均值mi=(ni+ni+1)/2，將所有的平均值點mi用折線連接，進行滑動平均平滑處理，得局部均值函數(shù)m11(t)。由局部極值 ni計算包絡(luò)估計值 ai=|ni-ni+1|/2，將所有包絡(luò)估計值ai采用滑動平均平滑處理，得包絡(luò)估計函數(shù)a11(t)。

2) 從信號x(t)中分離出m11(t)，得剩余信號h11(t)，對h11(t)進行解調(diào)，有：

若 s11(t)為純調(diào)頻信號，則其對應(yīng)包絡(luò)估計函數(shù)a12(t)=1，否則，s11(t)作為原始信號重復(fù)以上迭代過程，即-1≤s1n≤1，則

3) 將迭代過程得到的包絡(luò)估計函數(shù)相乘得到一瞬時幅值函數(shù)，即PF分量的包絡(luò)信號

將包絡(luò)信號a1(t)和純調(diào)頻信號s1n(t)相乘得到原始信號x(t)的第1個PF分量：

第1個分量1F()P t的瞬時幅值就是包絡(luò)信號a1(t)，而瞬時頻率f1(t)可以通過純調(diào)頻信號s1n(t)求出，其包含信號x(t)中的最高頻率成分，有

4) 從信號 x(t)中分離出1F()P t，得到新的信號u1(t)。將該信號作為新原始信號重復(fù)上述步驟K次，直到uk(t)的極值點小于或等于1為止。信號x(t)可分解為K個PF分量和殘余項uk(t)之和，即

因此，LMD分解是一個逐步去除信號高頻成分的過程，并沒有造成原始信號的信息丟失，而信號完整的時頻分布體現(xiàn)在所有 PF分量的瞬時幅值和瞬時頻率中。

2 非凸罰最小化Lq正則子重構(gòu)算法

在壓縮傳感中，信號的采集與壓縮合并進行，信號經(jīng)過非自適應(yīng)性投影和求解最優(yōu)化方法可高概率重構(gòu)原始信號，降低了傳感器的采集量與計算時間，適合對機械振動信號的長期運行的實時在線采集。壓縮傳感理論主要包括信號稀疏變換、測量矩陣設(shè)計和信號重構(gòu)算法3部分。

2.1 信號稀疏變換與測量矩陣設(shè)計

信號稀疏變換的目的是使信號在特定正交變換基下的表示系數(shù)的絕對大部分為 0，得到含有信號絕大部分信息的系數(shù)[13]。對于給定N維信號f在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的線性組合表示為式中，Ψi為列向量，Ψ為1個N×N維的矩陣)。若信號 f中非零元素的個數(shù)為K(KN＜＜)，則f是K稀疏的。稀疏基有離散小波變換基(DWT)、離散余弦變換基(DCT)、快速傅里葉變換基(FFT)和Gabor基、Currelet基等[14]，根據(jù)信號不同變換域下稀疏性不同，不同稀疏性影響 CS重構(gòu)精度，因此，對上述LMD分解得到的各PF分量，高頻分量采用離散小波變換基稀疏表示，低頻與殘余分量采用FFT變換基稀疏表示。

選取特定的測量矩陣Φ(M×N維矩陣)與測量次數(shù)M(MN＜＜)，通過線性測量的方法得到信號f的測量值[15]為

式中：Θ為傳感矩陣；y為f的測量值；x為稀疏向量，其為一維矩陣。

由于KMN＜＜≤，方程yf=Φ的逆問題是求解欠定方程，Candes等[16]指出在保證算法收斂的情況下，K個非零元素能夠有M個測量值準(zhǔn)確的恢復(fù)，測量矩陣Φ必須滿足約束等距條件時(restricted isometry property，RIP)[17]，稀疏信號的重構(gòu)精度才較高。常用的測量矩陣有高斯隨機矩陣、局部傅里葉矩陣、局部哈達(dá)瑪矩陣和二值隨機矩陣等。

2.2 信號非凸罰最小化Lq正則子重構(gòu)模型

由于方程y=xΘ屬于高度欠定的方程，存在無數(shù)組解，但向量x是K稀疏的，從M個測量向量中可重建x。通過尋找y中滿足M個測量向量的最稀疏信號，即信號x是l0最小化問題的解為

最小化l0問題是一個N-P Hard問題，Donoho指出當(dāng)Θ滿足RIP條件時[8,14,17]，可轉(zhuǎn)化為最小化模型l1：

來求解，最終得到f的逼近信號 ? ? f=Ψx。

對以上最小化模型進行改進，本文提出非凸罰最小化Lq正則子(0＜q≤1)方法：

其中：ε ( ε ＞ 0 )為平滑參數(shù)；λ ( λ ＞ 0 )為懲罰參數(shù)；Φ為測量矩陣；b為觀測向量。算法步驟[18]如下：

1) 輸入：測量矩陣Φ，觀測向量(信號) b。

輸出：恢復(fù)向量(信號) x。

2) 選擇適當(dāng)?shù)膽土P參數(shù) λ ( λ ＞ 0 )， q (0 ＜ q≤1)；

3) 初始化迭代向量(信號) x(0)，使其滿足Φx(0)=b，且ε=1；

4) 開始迭代k=0；

5) 通過x(k)解決線性問題：

或

6) 當(dāng) x(k)滿足要求的重構(gòu)精度時，將其作為輸出幅值給x，同時結(jié)束算法，否則執(zhí)行下一步。

8) 令k=k+1，并返回到第4步繼續(xù)執(zhí)行。

2.3 模型求解與仿真

對于參數(shù)q，隨機選擇q屬于{0.1，0.5，0.7，1.0}來重構(gòu)稀疏空間向量。首先，由 MATLAB隨機生成64×256的測量矩陣Φ，原始向量x0的個數(shù)n=256，含有t個非零窄脈沖原始信號，非零向量的位置均勻隨機分布，t可取{8，10，12，…，32}，λ設(shè)置為10-6，λ=10-6足夠小使得滿足 Φ x =Φx0，算法迭代1 000次，若誤差滿足，則算法停止(式中，xr為重建向量)。

圖1(a)所示為在不同q時的重建成功率的變化圖。從圖1(a)可以看出：當(dāng)q為0.1和0.5時，比q=0.7和1.0時的效果好；另外，當(dāng)q為0.5時比q為0.1時的重構(gòu)精度高；q的取值越小，最小化函數(shù)的非凸性越強，重構(gòu)越困難。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：若減少平滑參數(shù)ε的變化率，則q為0.1時的重構(gòu)效果更好，但是運行時間大大增加。

圖1 稀疏向量重建結(jié)果比較Fig. 1 Comparison results of sparse vector reconstruction

下面仿真驗證非凸罰最小化 Lq正則子重構(gòu)算法與其他重構(gòu)算法的效果比較，選擇 L1-magic算法[19-20]，加權(quán) L1算法[21]，同倫算子法[22]與 Lq-FL算法[23]。其中L1-magic算法與加權(quán)L1算法均是解決限制最小化L1算法，表達(dá)式為

同倫算子法是一種解決非限制最小化L1算法，表達(dá)式為

Lq-FL算法表達(dá)式為

仿真驗證：由MATLAB隨機生成50×250測量矩陣，矩陣中每個元素滿足 N(0，1/50)高斯分布；原始向量x0仍為n=256，含有t個非零窄脈沖原始信號，非零向量的位置均勻隨機分布，令t取{5，7，9，25}，取λ=10-6，q=0.5，同倫算子法中取τ=10-6，使每個算法迭代1 000次，若誤差滿足，則算法停止。重構(gòu)結(jié)果比較如圖1(b)所示。

從圖1(b)可以看出：隨著稀疏度增大，各重構(gòu)算法的重構(gòu)誤差增大，重構(gòu)成功率降低，但非凸罰最小化 Lq正則子(q=0.5)重構(gòu)算法的重構(gòu)效果優(yōu)于其他算法的效果。

3 滾動軸承振動信號重建與分析

當(dāng)軸承內(nèi)圈或外圈表面發(fā)生故障時，在旋轉(zhuǎn)過程中由于周期性脈沖力作用，振動加速度信號往往產(chǎn)生峰值較高且尖銳的高頻振動信號。

圖2所示為本試驗所截取的某段采樣點為1 024的6205-2RS型內(nèi)圈有點蝕故障的深溝球軸承的振動信號時域波形。對該振動信號進行LMD分解，得到頻率由高到低的各個PF分量和殘余信號，分解結(jié)果如圖3所示。

為了使不同頻段的 PF分量達(dá)到壓縮傳感的最稀疏表示，高頻1FP 和2FP 分量采用小波變換，低頻與殘余分量采用快速傅里葉變換基(FFT)稀疏表示。測量矩陣選擇隨機高斯矩陣，利用非凸罰最小化 Lq正則子(q=0.5)算法重構(gòu)原始振動信號，對于恢復(fù)后的信號失真程度，通過如下均方根來測量信號重構(gòu)相對誤差ε：

圖2 軸承內(nèi)圈振動時域信號Fig. 2 Time-domain fault vibration signal of inner race

圖3 故障振動信號的LMD分解結(jié)果Fig. 3 LMD decomposes results of inner race fault vibration signals

式中：N為信號采集點數(shù)。

考察不同壓縮比(R=M/N，N為采樣點)下，信號重構(gòu)精度的變化。改變測量值次數(shù)M，分別取768，512，384和256，通過仿真計算重構(gòu)相對誤差結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出：在同一頻段、同一變換基下，隨著測量數(shù)減少，重構(gòu)精度降低，相對誤差增大，其中高頻分量較低頻分量，計算復(fù)雜度高且重構(gòu)相對誤差也大；隨著頻率的降低，重構(gòu)相對誤差越來越小，PF3-U(t)分量在3種壓縮比情況下相對誤差較小，因為 LMD在分解信號過程中， PF3-U(t)信號頻率越來越低，逐漸平穩(wěn)，在快速傅里葉變換基(FFT)下的稀疏度越來越好，在測量次數(shù)很低的情況下，當(dāng)壓縮比 R為1/4時， PF3， PF4和U(t)的信號重構(gòu)相對誤差平均值也僅為0.271 3。

從測量次數(shù)來看，隨著測量次數(shù)的減少，各個分量的重構(gòu)相對誤差在增加，由于信號被壓縮的程度越來越大，因此，所采集到的信息便越來越少，相對誤差也就變大。

表1 不同壓縮比情況下各乘積函數(shù)(PF分量)的重構(gòu)相對誤差比較Table 1 Reconstruction relative error comparison of each PF component under different compression ratios

從各壓縮比信號重構(gòu)相對誤差的平均值來看，考慮既要達(dá)到很好的壓縮比，減少數(shù)據(jù)存儲量，提高傳輸效率的目的，又要控制重構(gòu)信號的相對誤差要求。因此，選擇 M=512，壓縮比為 1/2，信號重構(gòu)平均相對誤差為0.290 5；信號各PF分量進行組合得到的重構(gòu)信號，各PF分量及其重構(gòu)效果如圖4所示。圖5所示為重構(gòu) PF后最終輸出信號與原始振動信號及誤差對比圖，計算得重構(gòu)誤差為0.513 7。保留其他參數(shù)不變，對信號進行直接非凸罰最小化Lq正則子CS處理，得到重構(gòu)信號及其誤差如圖6所示，計算得到重構(gòu)誤差為0.707 3。

由圖5和圖6可以看出：采用LMD分解與非凸罰最小化 Lq正則子重構(gòu)算法相結(jié)合的方法重構(gòu)的信號的效果比直接運用CS理論重構(gòu)的信號的效果要好，重建結(jié)果與原始信號的特征變化不大，采用 LMD與非凸罰最小化Lq正則子重構(gòu)算法信號重構(gòu)精度更高，且隨著重構(gòu)采樣點的增多，效果會更加明顯。

圖4 振動信號各PF分量信號、各重建信號幅值及其誤差Fig. 4 Every PF component signal amplitude, reconstruction signal amplitude and their reconstruction errors

圖5 原始信號幅值、重構(gòu)的最終輸出信號幅值及其誤差Fig. 5 Original vibration signal amplitude, reconstruction signal amplitude and their reconstruction errors

圖6 原始信號幅值、直接重建信號幅值及其誤差Fig. 6 Original vibration signal amplitude, direct reconstruction signal amplitude and their reconstruction errors

4 結(jié)論

1) LMD方法能夠根據(jù)信號自身的時間尺度特征自適應(yīng)將軸承故障振動信號分解為若干個PF分量，每個PF分量由1個包絡(luò)信號和1個純調(diào)頻信號組成。

2) 仿真驗證表明在壓縮傳感過程中，非凸罰最小化 Lq正則子(q=0.5)重構(gòu)算法相對其他重構(gòu)優(yōu)化算法具有很高的重構(gòu)精度。

3) 針對不同頻段的 PF分量特征采用不同的稀疏基進行稀疏表示，用非凸罰最小化 Lq正則子(q=0.5)重構(gòu)算法合并得到的輸出振動信號重構(gòu)精度優(yōu)于直接對振動信號壓縮傳感得到的信號重構(gòu)精度。

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