甘夢(mèng)仙，胡 鵬，亢瑞紅

（1.池州學(xué)院 資源環(huán)境與旅游系，安徽池州 247000；2.安徽新華學(xué)院 土木與環(huán)境工程學(xué)院，安徽合肥230088；3.安徽大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，安徽合肥230601）

大地測(cè)量外業(yè)的成果是以鉛垂線和大地水準(zhǔn)面作為基準(zhǔn)線和基準(zhǔn)面，內(nèi)業(yè)計(jì)算時(shí)需要的參考基準(zhǔn)是法線和參考橢球面。因此，要得到內(nèi)業(yè)的成果，需要將外業(yè)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算和轉(zhuǎn)換，這一工作稱為大地測(cè)量計(jì)算。子午線弧長在測(cè)量計(jì)算時(shí)經(jīng)常會(huì)用到，如研究高斯投影計(jì)算、弧度測(cè)量計(jì)算。

2000國家大地坐標(biāo)系是我國新一代地心坐標(biāo)系統(tǒng)，自2008年開始啟用。目前的大地測(cè)量學(xué)和控制測(cè)量學(xué)等相關(guān)教科書上，橢球子午弧長等公式、算例均是基于Krassovsky橢球和IAG-75國際橢球參數(shù)。原有的教學(xué)內(nèi)容已不能滿足2000國家大地坐標(biāo)系下橢球面上的測(cè)量計(jì)算要求。因此，為了與原有坐標(biāo)承接，確保測(cè)繪教學(xué)內(nèi)容實(shí)時(shí)更新，給出新坐標(biāo)系下的子午弧長正反算公式十分有必要。李海祥[1]將子午線弧長積分公式按e2展開至e16項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)高精度的子午線弧長解算；劉仁釗[2]根據(jù)二項(xiàng)式定理及三角函數(shù)積分遞推關(guān)系導(dǎo)出弧長積分任意精度的公式；過家春等[3]采用橢圓第二類積分方法實(shí)現(xiàn)了弧長的解算，完善了子午線弧長理論。本文在國家高精度子午弧長正算公式的基礎(chǔ)上，給出的新坐標(biāo)系下子午弧長正算實(shí)用公式，原理簡單、計(jì)算簡便。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]（以下簡稱迭代算法和遞歸算法）方法的結(jié)果進(jìn)行比較，得出結(jié)論。

1 橢球基本參數(shù)簡介

2000國家大地坐標(biāo)系的地球橢球參數(shù)與克拉索夫斯基橢球、IAG-75國際橢球、WGS-84橢球體的參數(shù)列表如下：

表1 常用地球橢球參數(shù)

2 子午弧長正算實(shí)用公式

根據(jù)國家測(cè)繪局《現(xiàn)有測(cè)繪成果轉(zhuǎn)換到2000國家大地坐標(biāo)系技術(shù)指南》（下面簡稱“指南”）的規(guī)定，子午弧長計(jì)算公式各系數(shù)精度有所變動(dòng)。

設(shè)有子午線上一點(diǎn)p，其大地緯度為B，則該點(diǎn)至赤道的子午線弧長X計(jì)算公式：

式中

為方便編程計(jì)算，令t=tanB，將上式倍角函數(shù)化簡為冪級(jí)數(shù)：

其中：

第一偏心率是小于1的數(shù)，上式e的10次項(xiàng)以上對(duì)結(jié)果的影響小于0.0001m，因此可將上式保留8次項(xiàng)即可：

上式（3）為CGCS2000橢球子午弧長計(jì)算的實(shí)用公式。

3 實(shí)例計(jì)算與分析

將格拉索夫斯基橢球參數(shù)代入式（3），以MATLAB編程計(jì)算，結(jié)果與已有兩種算法（迭代與遞歸）作對(duì)比分析[5-8]，解算結(jié)果如表2。

表2 子午弧長計(jì)算結(jié)果

由上表可以看出，以子午線弧長實(shí)用公式計(jì)算的子午線弧長可保留0.001項(xiàng)的精度，可達(dá)到mm級(jí)，滿足工程控制測(cè)量的精度要求。MATLAB編程計(jì)算時(shí)，在同等運(yùn)算精度條件下，e的10次及以上的項(xiàng)對(duì)結(jié)果的精度影響可以忽略不計(jì)。為便于學(xué)生手工計(jì)算或電算，將適于CGCS2000的子午線弧長實(shí)用計(jì)算式表示如下：

我國的大地測(cè)量計(jì)算中還會(huì)用到原來采用過的橢球參數(shù)，以下是控制測(cè)量學(xué)教科書中未列出CGCS2000橢球的實(shí)用計(jì)算式：

WGS-84橢球子午線弧長計(jì)算式與我國CGCS2000計(jì)算式在主項(xiàng)上基本一致，本文不列出；如有需要計(jì)算的，請(qǐng)參照CGCS2000計(jì)算式解算。

4 結(jié)論

計(jì)算表明，該方法簡便實(shí)用，方便學(xué)生和測(cè)繪工作者手算和電算，可作為教學(xué)和學(xué)習(xí)的參考。文中特色之處在于將子午弧長正算的精密公式改進(jìn)為方便實(shí)用的計(jì)算式，并補(bǔ)充了相關(guān)教材缺少的CGCS2000子午弧長計(jì)算的示例。至于子午弧長的反算及其在高斯投影垂足緯度的計(jì)算問題將是下一步研究的內(nèi)容。

[1]李海祥，張偉國.高精度任意元素橢球面子午線長度的正反算[J].測(cè)繪與空間地理信息，2013（5）:179-181，184.

[2]劉仁釗，伍吉倉.任意精度的子午線弧長遞歸計(jì)算[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2007（5）:59-62.

[3]過家春，趙秀俠，徐麗，等.基于第二類橢圓積分的子午線弧長公式變換及解算[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2011（4）:94-98.

[4]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2010：114-120．

[5]覃軍，駱奇峰.在Excel中實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一橢球的高斯投影正反算[J].測(cè)繪與空間地理信息，2009（2）:205-208.

[6]趙英志，劉永濤，鄭玉軍.利用VB6.0實(shí)現(xiàn)2000國家大地坐標(biāo)系高斯正反算程序的編寫[J].測(cè)繪通報(bào)，2010（5）:38-41.

[7]劉修善.計(jì)算子午線弧長的數(shù)值積分法[J].測(cè)繪通報(bào)，2006（5）:4-6.

[8]過家春.基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2012（3）:116-120.