李亞博 逄 絳

(①江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000;②紐約城市學(xué)院格魯夫工程院，美國 紐約 10031)

在機(jī)械加工中，機(jī)床主軸的運(yùn)動(dòng)精度是影響被加工工件精度的一個(gè)重要的因素。機(jī)床主軸的運(yùn)動(dòng)誤差包括徑向跳動(dòng)、軸向竄動(dòng)和角度擺動(dòng)。根據(jù)已有文獻(xiàn)，分析角度擺動(dòng)時(shí)的加工誤差均是以主軸擺動(dòng)頻率和主軸旋轉(zhuǎn)頻率相等為前提計(jì)算得出的，而實(shí)際生產(chǎn)中主軸擺動(dòng)頻率往往與主軸旋轉(zhuǎn)頻率不一致。主軸擺動(dòng)的頻率較高時(shí)會(huì)涉及多種其他形位誤差，擺動(dòng)頻率較低時(shí)只涉及圓度誤差。故本文將著重討論較低擺動(dòng)頻率下的加工誤差的數(shù)學(xué)與幾何問題，并計(jì)算和分析不同加工情況下被加工工件的圓度誤差。

1 等頻下的數(shù)學(xué)分析及幾何仿真

1.1 主軸角擺動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式

建立絕對坐標(biāo)系XYZO，其中OZ軸為主軸的理想軸心線。再建立主軸的動(dòng)坐標(biāo)系X'Y'Z'O，其中 OZ'軸為瞬時(shí)軸心線。如圖1所示。

主軸以角速度ω自身旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，其軸心線在XOY平面內(nèi)做等頻率的角擺動(dòng)，擺動(dòng)的規(guī)律為

式中:θ0為角擺動(dòng)時(shí)主軸軸線擺動(dòng)幅值;α為主軸自身轉(zhuǎn)角，α =ωt。

1.2 車削時(shí)工件橫截面的參數(shù)方程

由于主軸自身旋轉(zhuǎn)和平面內(nèi)角擺動(dòng)同時(shí)存在，故可依據(jù)矩陣變換求得動(dòng)坐標(biāo)系與絕對坐標(biāo)系間的關(guān)系式。將主軸自身旋轉(zhuǎn)視為坐標(biāo)系繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將主軸軸線在XOY面內(nèi)角擺動(dòng)視為繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)。兩次旋轉(zhuǎn)后，可得:

由于車削時(shí)工件幾何形狀是由刀具在動(dòng)坐標(biāo)系中的相對軌跡決定的，故

車削加工時(shí)，刀具在絕對坐標(biāo)系的坐標(biāo)位置Z=L，X=R，Y=0，其中L為刀具在導(dǎo)軌方向上的位置，加工時(shí)隨走刀而變化;R為工件的加工半徑。

所以將刀具位置參數(shù)和式(1)代入式(2)中可得刀具在動(dòng)坐標(biāo)系中的軌跡參數(shù)方程為

由式(3)得工件橫截面幾何形狀的瞬時(shí)曲率半徑為

1.3 等頻下的軌跡分析

由MATLAB在極坐標(biāo)中繪制上述方程，假定R=1，L=1，θ0=0.1，主軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)如圖2所示。分析可得，當(dāng)擺動(dòng)頻率等于轉(zhuǎn)動(dòng)頻率時(shí)，工件旋轉(zhuǎn)一周后截面輪廓近似為圓。

2 變頻下的數(shù)學(xué)分析及幾何圖形

2.1 變頻下的軌跡參數(shù)方程

由式(1)可知，當(dāng)角擺動(dòng)頻率=主軸自身旋轉(zhuǎn)頻率時(shí)，r=R －Lθ0cosα;

經(jīng)計(jì)算可知:

當(dāng)擺頻 =2轉(zhuǎn)頻時(shí)，r=R －Lθ0cos(2α);

當(dāng)擺頻 =3轉(zhuǎn)頻時(shí)，r=R －Lθ0cos(3α);

以此類推:

當(dāng)擺頻 =n轉(zhuǎn)頻時(shí)，r=R －Lθ0cos(nα)。

2.2 不同擺動(dòng)頻率下的軌跡及誤差分析

由于本文分析主軸低頻角擺動(dòng)時(shí)的情況，故n取小于1的值。由MATLAB繪制上述方程，假定R=1，L=1，θ0=0.1，n=0.6，則主軸旋轉(zhuǎn)一周后如圖3所示。

由圖3可知，當(dāng)擺頻f＜轉(zhuǎn)頻f0時(shí)工件旋轉(zhuǎn)一周的軌跡為一條不封閉但曲率半徑有規(guī)律變化的曲線。

若使工件旋轉(zhuǎn)m周(m為整數(shù))至其封閉，則其內(nèi)包絡(luò)線就是被加工工件的外輪廓，如圖4所示。

提取出內(nèi)包絡(luò)線，即實(shí)際加工時(shí)工件的外輪廓，如圖5所示。

3 圓度誤差分析

根據(jù)中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T7235－2004《產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)評定圓度誤差的方法半徑變化量測量》中規(guī)定圓度誤差的評定方法有4種:最小區(qū)域法、最小二乘圓法、最小外接圓法和最大內(nèi)接圓法。一般而言用最小區(qū)域法計(jì)算圓度誤差是最小的，理論上是唯一的。故本文用最小區(qū)域法計(jì)算圖2的圓度誤差。

根據(jù)最小區(qū)域法的算法計(jì)算內(nèi)包絡(luò)線上的數(shù)據(jù)，得到圓度誤差值。

3.1 不同頻率下的圓度誤差

令n在(0，1］之間取若干值，分析并計(jì)算其圓度誤差，得出表1。

表1 不同倍頻下的圓度誤差匯總

其中，倍頻n反映了擺動(dòng)頻率的大小。由表1知當(dāng)擺動(dòng)頻率低時(shí)，可發(fā)現(xiàn)其圓度誤差很小，可忽略不計(jì)。這時(shí)工件外輪廓等同于半徑為(R－θ0)的圓。

3.2 最大圓度誤差分析

由表1中也看出當(dāng)n=0.5即擺動(dòng)頻率為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的一半時(shí)，其圓度誤差值最大。故實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)盡量避免此種情況下的擺動(dòng)頻率。為了生產(chǎn)與研究需要，現(xiàn)分析此種擺動(dòng)頻率下圓度誤差分別與加工半徑、擺動(dòng)幅值和軸向位移的關(guān)系。

3.2.1 圓度誤差與半徑的關(guān)系

如前述假定，擺動(dòng)幅值θ0=0.1，倍頻n=0.5時(shí)，不同的工件半徑會(huì)造成不同的圓度誤差，經(jīng)計(jì)算后其變化規(guī)律如圖6所示。

由圖6分析可知，當(dāng)擺動(dòng)頻率和擺動(dòng)幅值不變時(shí)，工件某一截面上的圓度誤差隨加工半徑的增大而增大。但當(dāng)半徑足夠大時(shí)，圓度誤差的變化率很小。

3.2.2 圓度誤差與擺動(dòng)幅值的關(guān)系

假定倍頻n為0.5，以半徑R=40mm為例，不同的擺動(dòng)幅值θ0會(huì)造成不同的圓度誤差。經(jīng)計(jì)算其變化規(guī)律如圖7所示。

由圖7分析可知，當(dāng)擺動(dòng)頻率和加工半徑一定時(shí)，工件某一截面上的圓度誤差隨擺動(dòng)幅值的增大而增大，且近似線性關(guān)系。

3.2.3 圓度誤差與軸向位移的關(guān)系

假定倍頻n為0.5，加工半徑R=40mm，擺動(dòng)幅值為0.05，則不同的軸向走刀位移L會(huì)造成不同的圓度誤差。經(jīng)計(jì)算其變化規(guī)律如圖8所示。

由圖8分析可知，當(dāng)擺動(dòng)頻率、加工半徑和擺動(dòng)幅值均固定時(shí)，工件各個(gè)截面上的圓度誤差隨擺動(dòng)走刀距離的增大而增大，且近似線性關(guān)系。

4 結(jié)語

分析機(jī)床主軸平面內(nèi)角擺動(dòng)引起的圓度誤差對于精密機(jī)械的研究和制造具有重要的參考意義。通過對以上分析可知，機(jī)床主軸在純角度擺動(dòng)時(shí)的加工精度是與頻率相關(guān)的。不同擺動(dòng)頻率下，工件加工出的橫截面外形不同，其圓度誤差也不同。

當(dāng)主軸的擺動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)動(dòng)頻率時(shí)，即認(rèn)為擺動(dòng)頻率較小時(shí)，其圓度誤差很小，故可近似為圓，但此時(shí)工件有幾何偏差。當(dāng)擺頻為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的一半時(shí)，此時(shí)工件的圓度誤差最大，且遠(yuǎn)大于其他頻率下的圓度誤差值，故實(shí)際生產(chǎn)加工過程中應(yīng)盡量避免。在機(jī)床設(shè)計(jì)和車削工件時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮此頻率下主軸角擺動(dòng)引起的誤差。

圓度誤差不僅與擺動(dòng)頻率有關(guān)，也與工件半徑、擺動(dòng)幅值、橫向走刀位移有關(guān)。具體地，圓度誤差值隨加工半徑或擺動(dòng)幅值或軸向位移的增大而增大。故實(shí)際生產(chǎn)加工過程中應(yīng)充分考慮上述因素，合理設(shè)計(jì)制造，以避免較大的加工誤差。

［1］王先逵.機(jī)械制造工藝學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2013.

［2］張德豐 .MATLAB數(shù)字圖像處理［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

［3］閻樹田，陳惠賢.機(jī)械加工中主軸運(yùn)動(dòng)影響的數(shù)學(xué)分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，1999(2):40－42.

［4］葛磊，鄒鯤.基于MATLAB的圓度誤差分析［J］.機(jī)床與液壓，2011(22):99－101.