中航工業(yè)沈陽飛機設計研究所 肖 山 畢金英 孫彥鵬

鈦合金具有比強度高、耐久性強、抗蠕變、可焊接等優(yōu)異的綜合性能，因此在航空領域得到了廣泛應用[1]。但常規(guī)鈦合金制成的結構中一旦出現(xiàn)損傷，剩余的疲勞裂紋擴展壽命就會較短，不適用于損傷容限設計。因此，需要研發(fā)提高鈦合金損傷容限壽命技術。目前，國內外學者經(jīng)過大量研究，已經(jīng)制備出多種損傷容限型鈦合金材料，并應用于飛機結構。

現(xiàn)代飛行器設計中損傷容限的設計思想要求：結構存在疲勞、腐蝕或意外損傷等損傷缺陷，直至被檢測或進行結構修理之前，結構仍然具有足夠的剩余強度和足夠的剩余壽命。即當結構中存在疲勞裂紋時，疲勞裂紋達到可檢長度后的疲勞擴展壽命要足夠長。這就要求在利用損傷容限型鈦合金的基礎上，在結構設計方面也需要考慮損傷容限設計思想，使疲勞裂紋在結構內的擴展壽命盡可能地提高。

研究發(fā)現(xiàn)利用擴散連接工藝制造的鈦合金層合板的DB界面對疲勞裂紋的擴展有顯著的抑制作用[2-3]。文獻[2]通過試驗對比分析了疲勞裂紋在擴散連接工藝成型的TC4層合板與TC4普通板材內的擴展情況，發(fā)現(xiàn)擴散連接成型件疲勞斷口的裂紋沿與連接面約成60°方向擴展，其抵抗疲勞斷裂的阻力增大，剩余壽命比相同裂紋長度下的普通板材要好。文獻[3]通過試驗研究了在DB界面人為預置分層的含孔鈦合金層合板在拉-拉循環(huán)載荷作用下的裂紋擴展特性，試驗結果表明，預置分層能夠改善鈦合金層合板的裂紋擴展特性。

分層的存在會降低結構的承載能力，但另一方面，也可能抑制裂紋的擴展，提高結構的疲勞裂紋擴展壽命。文獻[3]的研究結果說明，通過合理布置分層可以提高鈦合金疲勞裂紋的擴展壽命。實現(xiàn)分層的合理布置需要準確把握分層對裂紋擴展性能的影響規(guī)律。目前，對疲勞裂紋擴展規(guī)律的研究大多通過試驗進行。影響疲勞裂紋擴展的因素有很多，直接通過試驗對裂紋擴展過程進行系統(tǒng)研究是非常困難的，需要研究基于數(shù)值模擬技術的疲勞裂紋擴展分析方法。

擴展有限元法（XFEM）[4]通過在單元位移插值函數(shù)中引入間斷函數(shù)和增強函數(shù)以描述位移場的不連續(xù)性和奇異性，在分析不連續(xù)問題方面具有獨特優(yōu)勢。經(jīng)過近幾年的改進與發(fā)展，XFEM方法在處理不連續(xù)問題上已經(jīng)取得一些成果。裂紋是典型的不連續(xù)問題，擴展有限元方法將是一種有效的研究疲勞裂紋擴展規(guī)律的方法。

1 基于擴展有限元的裂紋擴展分析方法

1.1 含裂紋體擴展有限元方法簡介

XFEM的擴充項可以對單元內部任意位置存在的裂紋或材料界面等非連續(xù)性和奇異性場進行準確描述，因此分析時采用的網(wǎng)格可以與結構的幾何或者物理界面無關，避免了傳統(tǒng)有限元在對裂尖或者材料界面等問題描述時必須采用高密度網(wǎng)格的弊端。XFEM繼承了常規(guī)有限元(CFEM)的所有優(yōu)點，并且構造單元剛度矩陣式時，單剛形式可以與常規(guī)有限元保持一致，使其可以充分利用原有的有限元程序，大大縮短開發(fā)時間。

1.1.1 不連續(xù)界面描述方法

不連續(xù)界面采用水平集方法描述，核心思想是將界面的變化表示成比界面高一維的水平集函數(shù)φ（x，t），將界面表示成水平集函數(shù)的零水平集。n維（2維或3維）空間中移動界面可表示為：

其中，水平集函數(shù)通常采用符號距離函數(shù)進行構造[5]，xr為裂紋面延長面上的點的坐標，r(t)表示裂紋面的延長面。通過上述水平集函數(shù)，整個求解域被φ=0分為φ>0和φ＜0兩部分，如圖1所示[6]。裂紋的尖端，采用另一個水平集函數(shù) ，通過2個水平集函數(shù)的交集描述。ψ(x，t)=0定義為通過裂紋面的前緣且與裂紋面垂直的面， 具體表示如下：

其中，t為裂尖的單位切向矢量，n為裂紋面的單位法向矢量，x*為裂尖的坐標。

裂紋擴展可由水平集函數(shù)的演化獲得[7]。

圖1 水平集方法對間斷面的描述Fig.1 Level set method for intermittent description

1.1.2 XFEM位移模式

XFEM中未知場uh的有限元近似由2個部分組成：

其中，NI(x)為常規(guī)有限元形函數(shù)；uI為標準節(jié)點的自由度；φ（x)為擴充項。根據(jù)單位分解特性，uh可以進一步表示為[4]：

對于裂紋問題，φ(x)通常取以下函數(shù)基的線性組合：

其中，r和θ為裂紋尖端局部坐標系統(tǒng)中的極坐標。對于裂紋問題需要對裂紋貫穿單元以及裂尖單元采用不同的位移模式，其中裂尖單元采用公式（4）進行描述，對于裂紋貫穿的單元，擴充形函數(shù)φ(x)采用如下形式：

其中，φ(x)為水平集函數(shù)，H(x)為海維賽德函數(shù)：

貫穿單元的位移模式為：

當求解域內函數(shù)XFEM時，在XFEM與常規(guī)單元交界處會產(chǎn)生混合單元。

1.1.3 XFEM離散方程

在線彈性問題中，XFEM離散方程的弱形式可以表示為[5]：

其中為面力，b為體力，uh與δuh為XFEM中的試探函數(shù)與檢驗函數(shù)。把試探函數(shù)、檢驗函數(shù)代入上述方程，并利用節(jié)點變分的任意性，可以得到離散的線性方程組：

可以看出上述平衡方程形式與常規(guī)有限元一致，K為結構的總體剛度矩陣，f為外載荷向量，d為待求解的位移向量。K和f由各個單元按照節(jié)點號組裝而成，各單元的貢獻可以表示為：

上述方程中子矩陣和向量的具體形式為：

其中，為形函數(shù)導數(shù)矩陣，具體形式如下：

三維情況的離散方程推導參見文獻[6]。

1.2 疲勞裂紋擴展準則與擴展描述

在疲勞擴展分析時，通過VCCT(虛裂紋閉合技術)計算裂紋前緣的3個量釋放率分量GⅠ、GⅡ、GⅢ，采用Wu和Reuter[9]提出的冪指數(shù)方程公式(15)計算等效能應變能釋放率GE(公式中取a1=a2=a3=1)，當最大等效應變能釋放率GME大于材料疲勞擴展的最小閾值Gth時，疲勞裂紋開始擴展，Gth=0.01GC，GC為材料的極限能量釋放率。當裂紋尖端滿足擴展準則時，采用公式（16）Paris公式計算疲勞裂紋擴展步長，裂紋沿垂直于最大切應力方向擴展。

由于Abaqus中XFEM的位移模式中不包含對裂紋尖端的描述項，裂紋每次擴展時裂紋尖端會擴展至單元邊界而不會停留在單元內部，所以在計算裂紋擴展步長時與傳統(tǒng)有限元有一定區(qū)別，并不是通過循環(huán)數(shù)確定下一步裂紋擴展的長度，而是需要計算出擴展一定距離（擴展時穿過的單元長度）所需要的循環(huán)次數(shù)N，N的選取需要計算裂紋面前緣每個單元擴展所需要的Nj，并從中選取最小的min(Nj)作為當前步擴展需要的循環(huán)次數(shù)N。

2 分析模型與基本參數(shù)

2.1 分析模型

下面基于Abaqus采用XFEM方法對鈦合金層合板中的疲勞裂紋擴展特性進行模擬分析。由于鈦合金的萌生壽命相對較長，在損傷容限設計時需要對其擴展特性具有更深入的了解，所以在有限元建模時通過設置初始裂紋，重點對疲勞裂紋在鈦合金層板內的擴展過程進行研究。為說明XFEM方法對疲勞裂紋擴展模擬的有效性，建立與試驗件相同的有限元模型，以便結果的對比分析。

圖2 分析模型Fig.2 Analysis model

圖2為分析模型示意圖，長L=180mm，寬W=40mm，在中心位置有一φT=6mm的通孔，模型總厚度T=8mm，由2層鈦合金板擴散連接而成，板材厚度均為4mm，在DB界面中設置以孔圓心為圓心，直徑φF=15mm的分層（此區(qū)域為連接間隙，無材料），在通孔的一側板材表面上設置1個沿板材厚度和寬度都為0.5mm的初始裂紋面。有限元建模時，分層部分用厚度為0.2mm的圓柱體缺陷進行模擬。

2.2 分析過程基本參數(shù)

計算中模型的邊界條件與試驗條件保持一致，在模型兩端采用固支的方式對模型施加應力比R=0.093的等幅值單向拉—拉疲勞載荷，應力峰值σmax=276Ma，Paris公式常數(shù)：C=3.2×10-5，n=1.43。公式常數(shù)以及材料屬性取自文獻[10]，材料參數(shù)在表1中列出。

表1 TC4鈦合金的材料參數(shù)

3 結果分析

采用擴展有限元方法對上述試件的裂紋擴展過程進行數(shù)值模擬，裂紋擴展軌跡如圖3所示，徑向裂紋擴展速率da/dN-a曲線如圖4所示。

對該層合板試件進行了試驗研究。試驗結果顯示，表面裂紋的擴展表現(xiàn)出3個階段（圖4）。即初始擴展階段（階段I）、在預置分層邊界附近擴展階段（階段II）、越過預置分層邊界后的擴展階段（階段III）。

圖3 裂紋擴展軌跡Fig.3 Path of crack growth

由圖3、圖4可看出，通過擴展有限元方法預測出的裂紋擴展規(guī)律具有明顯的三階段擴展特征。第1階段，裂紋擴展速率隨疲勞裂紋長度的增加而增加，當疲勞裂紋擴展到預置分層時（裂紋長度約5mm），裂紋擴展進入第2階段，徑向裂紋的擴展速率降低，說明預置分層對裂紋擴展有明顯的抑制作用；當疲勞裂紋面前緣繞過預置分層邊界時（圖中第3階段，對應徑向裂紋長度約為10mm），裂紋擴展速率迅速增加，結構剩余強度急劇下降。圖4顯示，3個階段的分界線與試驗結果良好吻合。這說明，擴展有限元方法預測的裂紋擴展規(guī)律抓住了真實特征。

給定一徑向裂紋長度（如a0=1.0mm）作為初始裂紋長度，以此對比分析裂紋擴展長度與循環(huán)次數(shù)a-N曲線。

圖4 da/dN-a 曲線數(shù)值與試驗結果對比圖Fig.4 da/dN-a curves comparison of the numerica results and the experimental results

圖5 a-N曲線數(shù)值與試驗結果對比圖Fig.5 a-N curves comparison of numerical results and experimental results

數(shù)值分析與試驗結果的a-N對比曲線（圖5）顯示，通過數(shù)值方法模擬得到的裂紋擴展壽命與試驗手段測得裂紋擴展壽命總數(shù)基本一致，并且兩者的a-N曲線趨勢相同，這表明擴展有限元法可獲得準確的裂紋擴展規(guī)律。

分別對無預置分層和含預置分層的層合板模型進行疲勞裂紋擴展分析，從圖6的a-N曲線看出，DB界面中預置分層使得疲勞擴展壽命大約從104次提高到3×104次，這反映出預置分層對裂紋的擴展有一定的抑制作用。

圖6 a-N曲線數(shù)值分析結果Fig.6 a-N curves of numerical results

4 結論

擴展有限元方法獲得的裂紋擴展特性與試驗結果比對分析表明：擴展有限元法可準確獲得含預置分層鈦合金層合板結構的裂紋擴展規(guī)律，是分析該類結構裂紋擴展規(guī)律的有效方法；在鈦合金層合板的DB界面中預置分層可以大幅度提高疲勞裂紋的擴展壽命。

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