楊揚(yáng) 哈明虎

摘要：為了解決小樣本情況下安全第一投資組合選擇問(wèn)題，將結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則引入投資組合選擇過(guò)程中。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的直接實(shí)現(xiàn)，構(gòu)建了含有范數(shù)約束的安全第一投資組合優(yōu)化模型，并研究了模型參數(shù)的選取方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本模型的有效性。

關(guān)鍵詞：小樣本；結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則；投資組合選擇；安全第一

中圖分類(lèi)號(hào)： F830.91文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1005-6378（2015）01-0116-04

DOI：10.3969/j.issn.1005-6378.2015.01.022

一、引言

投資組合選擇是現(xiàn)代投資組合理論中一個(gè)極其重要的研究方向[1-2]。1952年Markowitz[3]提出了均值-方差投資組合選擇模型，奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基石，同年，Roy[4]提出了投資組合選擇的安全第一（RSF）準(zhǔn)則。和均值-方差模型不同，安全第一準(zhǔn)則沒(méi)有將方差作為投資組合風(fēng)險(xiǎn)的度量，而是將災(zāi)難事件（即投資組合收益低于某個(gè)災(zāi)難水平）的發(fā)生概率作為風(fēng)險(xiǎn)的度量，旨在選擇使災(zāi)難事件發(fā)生概率最小化的投資組合，換言之，Roy關(guān)注的是投資組合的下行風(fēng)險(xiǎn)[5]。受這一思想的啟發(fā)，學(xué)者們開(kāi)始研究開(kāi)發(fā)基于下行風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合選擇模型，如均值-半方差模型[6]，條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型[7]，投資組合表現(xiàn)指數(shù)最大化模型[8]等。

雖然RSF準(zhǔn)則得到了學(xué)者們的高度評(píng)價(jià)和重視，但是它在投資組合選擇的實(shí)際應(yīng)用中存在一定的困難。如在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)收益的真實(shí)分布函數(shù)通常是未知的，投資者僅能夠獲得資產(chǎn)收益的歷史數(shù)據(jù)，因而無(wú)法準(zhǔn)確確定不同投資組合所對(duì)應(yīng)的災(zāi)難事件發(fā)生的概率，限制了RSF準(zhǔn)則的應(yīng)用。目前學(xué)者們通常致力于RSF準(zhǔn)則的間接實(shí)現(xiàn)，即最小化災(zāi)難事件發(fā)生概率的上界或近似值[4][9-11]。其中，Haley等[11]采用“頻率近似法”，構(gòu)建了光滑安全第一投資組合選擇模型，即使用災(zāi)難事件發(fā)生的頻率近似逼近概率，從而最小化災(zāi)難事件發(fā)生的頻率以實(shí)現(xiàn)投資組合的RSF準(zhǔn)則。由Glivenko-Cantelli定理可知當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮時(shí)，用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)真實(shí)分布函數(shù)是可行的[12]。但是，在小樣本情況下，采用災(zāi)難事件頻率最小化方法所得到的最佳投資組合并不一定能保證有小的災(zāi)難事件概率。因此，研究在小樣本情況下如何實(shí)現(xiàn)安全第一的投資組合選擇是有意義的。

由Vapnik等[12-13]提出的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論已成為一套非常完善的解決小樣本機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題的理論，這個(gè)理論中的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則是小樣本情況下解決機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題的指導(dǎo)性原則，在此基礎(chǔ)上給出的支持向量機(jī)已成功應(yīng)用于分類(lèi)、回歸和密度估計(jì)等機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題?？紤]到結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則處理小樣本問(wèn)題的優(yōu)越性，本文將其引入投資組合選擇中以更好地實(shí)現(xiàn)RSF準(zhǔn)則。

本文主要內(nèi)容包括：構(gòu)建了小樣本下的安全第一投資組合優(yōu)化模型；模型參數(shù)的選取問(wèn)題；利用股票市場(chǎng)中的收益率數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證分析。

二、模型構(gòu)建

考慮n個(gè)股票S1，S2，…，Sn的投資組合問(wèn)題，假定股票收益率是隨機(jī)變量，則基于RSF準(zhǔn)則的投資組合優(yōu)化模型為minwR（w）=Pr{（w·R）≤θ}，

其中，R=（R1，R2，…，Rn），w∈{w|（w·e）=1}，e=（1，1，…，1）是n維單位列向量，f（R）是n個(gè)股票收益率的聯(lián)合分布函數(shù)。實(shí)際上，上述模型還可以表述為如下風(fēng)險(xiǎn)泛函最小化問(wèn)題

minwR（w）=∫Q（R，w）df（R），（1）

其中，Q=（R，w）=0，（w·R）>θ，

1，其他。

即，小樣本情況下的安全第一投資組合選擇問(wèn)題可以歸結(jié)為小樣本下的風(fēng)險(xiǎn)泛函最小化問(wèn)題，因而可以將結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則[12]引入投資組合選擇問(wèn)題中。由結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則可知，為了最小化實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，只需最小化經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與置信范圍之和。這里，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的直接實(shí)現(xiàn)方法[14]來(lái)實(shí)現(xiàn)安全第一投資組合選擇。

首先選取依賴(lài)于參數(shù)的決策函數(shù)候選集。

F（t）={f=（w·R）|‖w‖2≤t，（w·e）=1}，t∈（0，+∞]。

然后求解一系列依賴(lài)于參數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。

minwRemp[ 瘙 楋 ]=1T∑Ti=1exp-exp[（w·Ri）-θh]

st.（w·e）=1，

‖w‖2≤t，（2）

其中，t∈（0，+∞]。優(yōu)化問(wèn)題（2）的解表示為wNC。

最后選擇最佳的參數(shù)所對(duì)應(yīng)投資組合為最佳的投資組合。

注意到當(dāng)t2=1/n，由于（w·e）=1，可知優(yōu)化問(wèn)題 （2） 的解為wNC=1/n，即基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的安全第一投資組合束退化為均衡投資。當(dāng)t=+∞時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題（2）退化為光滑安全第一投資組合選擇模型。顯然，優(yōu)化問(wèn)題（2）的解wNC是參數(shù)t的函數(shù)，參數(shù)t的選擇對(duì)優(yōu)化問(wèn)題 （2） 的解wNC有較大影響。

河北大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版）2015年第1期三、模型參數(shù)選取

由前面的討論知參數(shù)t的確定至關(guān)重要，其影響優(yōu)化模型（2）的解。然而，參數(shù)t的范圍為t∈（0，+∞]，增加了選取最佳參數(shù)t的難度。接下來(lái)，為了提高參數(shù)t的選取效率，我們進(jìn)一步縮小了參數(shù)的可選范圍。

定理1. 范數(shù)約束優(yōu)化模型 （2） 中參數(shù)t的范圍t∈（0，+∞]可以縮小為閉區(qū)間[1/n，‖wSM‖2]，其中wSM為光滑安全第一投資組合選擇模型的解。

由結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的直接實(shí)現(xiàn)，需要從有效范圍[1/n，‖wSM‖2]內(nèi)得到最佳的參數(shù)。不難看出，當(dāng)t=1/n時(shí)，決策函數(shù)候選集F（1/n）內(nèi)只有一個(gè)元素（1/n·R）；隨著t的增加，決策函數(shù)候選集F（t）={ 瘙 楋 =（w·R）|‖w‖2}≤t，（w，e）=1}的元素在增加。即，如果t1≤t2，我們有F（t1）F（t2）。隨著決策函數(shù)候選集的擴(kuò)大，優(yōu)化問(wèn)題（2）的最優(yōu)值

1T∑Ti=1exp-exp[（wNC·Ri）-θh]

在逐漸縮小，即經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)越來(lái)越小，直至t=‖wSM‖2，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)取得最小值。而t=1/n時(shí)，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最大。因此，我們可以得出如下結(jié)論，隨著參數(shù)t的增加，投資組合的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)在減小。當(dāng)樣本量很小時(shí)，我們知道經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化并不能保證有小的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，所以我們可以選取較小t的代入優(yōu)化模型（2）；當(dāng)樣本量很大時(shí)，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化得到的投資組合也會(huì)有小的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，因而我們可以選取較大的代入優(yōu)化模型（2）；當(dāng)樣本量居中時(shí)，我們可以選取閉區(qū)間[1/n，‖wSM‖2]內(nèi)近似居中的點(diǎn)，如

t=1/n+β10‖wSM‖2-1/n，β=4，5，6。

確定最佳參數(shù)后，代入優(yōu)化模型（2），可以實(shí)現(xiàn)小樣本情況下的安全第一投資組合選擇。

四、數(shù)值實(shí)驗(yàn)

結(jié)合結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則及其直接實(shí)現(xiàn)，本文提出了用以解決小樣本投資組合選擇問(wèn)題的范數(shù)約束優(yōu)化模型（2）。而Haley等[11]提出光滑安全第一投資組合選擇模型是在經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則基礎(chǔ)上建立的。為了說(shuō)明本文提出的范數(shù)約束優(yōu)化模型的優(yōu)越性，將其與光滑安全第一投資組合選擇模型進(jìn)行比較。選擇Haley等[11]使用的股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)集作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，此數(shù)據(jù)集含有21支股票從1977年1月至1996年12月的240個(gè)月收益率樣本數(shù)據(jù)。

采用滾動(dòng)時(shí)域方法：選取訓(xùn)練樣本量為T(mén)=10，15，…，160的樣本Rτ-T，Rτ-（T-1），…，Rτ-1訓(xùn)練模型，得到兩個(gè)投資組合選擇模型的解wSM和wNC，之后分別將所得的最優(yōu)投資組合應(yīng)用于第τ個(gè)樣本Rτ以測(cè)試它的表現(xiàn)，即考察所得最優(yōu)投資組合是否能使（Rτ·w）>θ，其中161≤τ≤240?？梢钥闯鑫覀兯x取的測(cè)試樣本集是不變的，為{Rτ|161≤τ≤240|}，而訓(xùn)練樣本集{Rτ-T，Rτ-（T-1），…，Rτ-1|161≤τ≤240}隨著樣本量T的變化而變化。令θ=-0.015，h=0.0171，最佳參數(shù)t的選取參照如下公式

t=1/n+β10‖wSM‖2-1/n，β∈[0，10]可以看出，當(dāng)β=0時(shí)，t=1/n；當(dāng)β=10時(shí)，t=‖wSM‖2 。這里，為了考察訓(xùn)練樣本量和參數(shù)t對(duì)模型推廣能力的影響，選取了不同的訓(xùn)練樣本量（T=10，15，…160）及不同的參數(shù)

tt=1/n+β10‖wSM‖2-1/n，β=0.5，1，3，5，7，9，

比較了范數(shù)約束模型和光滑安全第一投資組合選擇模型在測(cè)試樣本集上的風(fēng)險(xiǎn)水平，比較指標(biāo)如下

|{τ∶（Rτ·w）≤θ}|80，τ∈（161，162，…，240）

此評(píng)價(jià)指標(biāo)描述了測(cè)試樣本集按照投資組合選擇模型得到的最優(yōu)投資組合進(jìn)行投資發(fā)生災(zāi)難事件的比例，是風(fēng)險(xiǎn)在測(cè)試集上的具體表現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖1-6。

圖1-6依次描述了β=0.5，1，3，5，7，9時(shí)，兩個(gè)模型及均衡投資在測(cè)試集上的不同表現(xiàn)，橫軸表示訓(xùn)練樣本的數(shù)量，縱軸表示模型在測(cè)試集{Rτ|161≤τ≤240|}上的風(fēng)險(xiǎn)水平。其中點(diǎn)劃線(xiàn)‘-·代表了光滑安全第一投資組合選擇模型，實(shí)線(xiàn) ‘— 代表了范數(shù)約束優(yōu)化模型，斷點(diǎn)線(xiàn) ‘… 代表了均衡投資。

由圖1-6可以看出，整體上，范數(shù)約束優(yōu)化模型在測(cè)試集上發(fā)生災(zāi)難事件的程度小于光滑安全第一投資組合選擇模型。當(dāng)β很小如β=0.5時(shí)，兩個(gè)模型的表現(xiàn)差距最大，而隨著參數(shù)β的逐漸增大，兩個(gè)模型的表現(xiàn)差距在逐漸縮小，說(shuō)明了參數(shù)的選取對(duì)范數(shù)約束優(yōu)化模型的推廣能力有很大影響。

此外，當(dāng)T≥100時(shí)，兩個(gè)模型在測(cè)試樣本集上的風(fēng)險(xiǎn)水平較低。當(dāng)T<100時(shí)，光滑安全第一投資組合選擇模型在測(cè)試樣本集上的風(fēng)險(xiǎn)水平很高，推廣能力較差，而范數(shù)約束優(yōu)化模型的風(fēng)險(xiǎn)水平較低，特別地，當(dāng)參數(shù)t取最小值（即β=0）時(shí)，范數(shù)約束優(yōu)化模型退化為均衡投資，其風(fēng)險(xiǎn)水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于光滑安全第一投資組合選擇模型。然而，并非參數(shù)越小，范數(shù)約束優(yōu)化模型的推廣能力越強(qiáng)，如T≥100時(shí)，β=1時(shí)范數(shù)約束優(yōu)化模型的風(fēng)險(xiǎn)水平比β=0時(shí)要低，進(jìn)一步驗(yàn)證了我們的參數(shù)選取原則。

五、結(jié)論

本文構(gòu)建了基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則的安全第一投資組合選擇模型，有效地解決了小樣本下的安全第一投資組合選擇問(wèn)題。初步分析了模型參數(shù)對(duì)模型推廣能力的影響，證明了均衡投資和光滑安全第一投資組合選擇模型是本文所構(gòu)建模型的特例。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文所構(gòu)建的模型比光滑安全第一投資組合選擇模型具有更強(qiáng)的推廣能力。

致謝：本課題來(lái)源于國(guó)家自然科學(xué)基金（No. 61073121；No. 60773062），河北省自然科學(xué)基金（No. F2012402037）的部分內(nèi)容，特此致謝。

[參考文獻(xiàn)]

[1]ELTON E J， GRUBER M J， BROWN S J， GOETZMANN W N. Modern portfolio Theory and Investment Analysis[M]. 9th edn. New York： John Wiley & Sons Ltd， 2013.

[2]余維彬. 現(xiàn)代投資組合理論與投資分析[M].7版. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2008.

[3]MARKOWITZ H M. Portfolio selection [J]. Journal of Finance， 1952， 7（1）： 77-91.

[4]ROY A D. Safety first and the holding of assets [J]. Econometrica， 1952， 20（3）： 431-449.

[5]CHIU M C， WONG H Y， LI D. Roys safety-first portfolio principle in financial risk management of disastrous events [J]. Risk Analysis， 2012， 32（11）： 1856-1872.

[6]MARKOWITZ H M. Portfolio Eelection： Efficient Diversification of Investments [M]. New York： John Wiley & Sons， 1959.

[7]ROCKAFELLAR R T and URYASEV S. Optimization of conditional value-at-risk [J]. Journal of risk， 2000， 2（3）： 21-41.

[8]STUTZER M. A portfolio performance index [J]. Financial Analysts Journal， 2000， 56（3）： 52-61.

[9]ZABARANKIN M， URYASEV S. Statistical Decision Problems [M]. New York： Springer， 2014.

[10]HALEY M R， WHITEMAN C H. Generalized safety first and a new twist on portfolio performance [J]. Econometric Reviews， 2008， 27（4-6）： 457-483.

[11]HALEY M R， PAARSCH H J， WHITEMAN C H. Smoothed safety first and the holding of assets [J]. Quantitative Finance， 2013， 13（2）： 167-176.

[12]VAPNIK V N. The Nature of Statistical Learning Theory[M]. 2nd edn. Berlin： Springer， 2000.

[13]VAPNIK V N. Statistical Learning Theory [M]. New York： John Wiley & Sons， 1998.

[14]ZHANG C H， TIAN Y J， DENG N Y. The new interpretation of support vector machines on statistical learning theory [J]. Science in China （Series A： Mathematics）， 2010， 53（1）： 151-164.

【責(zé)任編輯郭玲】