楊振平 李凈

【摘要】因?yàn)橐恍┬盘柸鐔芜呍鲩L的指數(shù)信號等，則根本不存在傅里葉變換。另外，再求傅里葉反變換時(shí)，需要求從到區(qū)間的廣義積分。求這個(gè)積分往往是十分困難的，甚至是不可能的，所以需要引入一些特殊函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】傅里葉變換 拉普拉斯變換 復(fù)頻域

一、引言

利用傅里葉變換只能求系統(tǒng)函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)，而不能求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。在需要求零輸入響應(yīng)時(shí)，還得利用其它方法，例如經(jīng)典的方法。由于傅里葉變換在工程上受到一些限制，所以現(xiàn)今在研究線性系統(tǒng)問題時(shí)引入了拉普拉斯變換。

二、傅里葉變換和拉普拉斯變換的意義

傅里葉變換簡單通俗的理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號中主要振動(dòng)頻率的特點(diǎn)。而拉普拉斯變換是為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，這種計(jì)算往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果簡單的多。

三、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

當(dāng)函數(shù) 不滿足絕對可積條件時(shí)，可采取給 乘以因子 （ 為任意實(shí)常數(shù)）的辦法，這樣即得到一個(gè)新的時(shí)間函數(shù) 。若能根據(jù)函數(shù) 的具體性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)倪x取 的值，從而使當(dāng) 時(shí)，函數(shù) ，既滿足條件

則函數(shù) 即滿足絕對可積的條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢娨蜃?起著使函數(shù) 收斂的作用，故稱 為收斂因子。

設(shè)函數(shù) 滿足狄里赫利條件且絕對可積（這可通過恰當(dāng)?shù)倪x取σ的值來達(dá)到），根據(jù) 可以得到 ，在上式中， 是以 的形式出現(xiàn)的。令 ，s為一復(fù)數(shù)變量，稱為復(fù)頻率。 的單位為 ， 的單位為 。這樣上式變?yōu)?由于上式中的積分變量為t，故積分結(jié)果必為復(fù)變量s的函數(shù)，故應(yīng)將 改寫成 ，即

復(fù)變函數(shù) 稱為時(shí)間函數(shù) 的單邊拉普拉斯變換。 稱為 的像函數(shù)， 稱為 的原函數(shù)。一般記為

符號 為一算子，表示對括號內(nèi)的時(shí)間函數(shù) 進(jìn)行拉普拉斯變換。利用 （t>0）或 可推導(dǎo)出 反變換的公式，即 對上式等式兩邊同時(shí)乘以 ，并考慮到 不是 的函數(shù)而可置于積分號內(nèi)。于是得 由于上式中被積函數(shù)是 ，而積分變量卻是實(shí)變量 ，所以欲進(jìn)行積分，必須進(jìn)行變量代換。因 故 （ 因?yàn)槿我鈱?shí)常數(shù)）故 且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。將以上這些式子帶入 中即得 （t>0）

或?qū)懗?稱為拉普拉斯變換，可以已知的像函數(shù) 求與之對應(yīng)的原函數(shù) 。一般記為 符號 為一算子，表示對括號內(nèi)的像函數(shù) 進(jìn)行拉普拉斯變換。式子 與 （t>0）或 構(gòu)成拉普拉斯變換對，一般記為 或

若 不是因果信號，則拉普拉斯變換式 的積分下限應(yīng)改寫為（ ），即 稱為雙邊拉普拉斯變換。因?yàn)橐话愠Ｓ眯盘柧鶠橐蚬盘枺从惺夹盘枺?，所以我們一般主要討論和?yīng)用單邊拉普拉斯變換。由上述可知，傅里葉變換是建立了信號的時(shí)域與頻域之間的關(guān)系，即 而拉普拉斯變換則是建立了信號的時(shí)域與復(fù)頻域之間的關(guān)系，即

復(fù)頻率平面是以復(fù)頻率 的實(shí)部 和虛部 為相互垂直的坐標(biāo)軸而構(gòu)成的平面，稱為復(fù)頻率平面，簡稱s平面，如下圖5-1所示。

復(fù)頻率平面（即s平面）上有三個(gè)區(qū)域： 軸以左的區(qū)域?yàn)樽蟀腴_平面； 軸以右的區(qū)域?yàn)橛野腴_平面； 軸本身也是一個(gè)區(qū)域，它是左半開平面與右半開平面的分界軸。故將s平面劃分為這樣的三個(gè)區(qū)域，為以后研究提供了很大的方便。

四、結(jié)論

在線性微分方程的已知輸入求輸出時(shí)，若系統(tǒng)穩(wěn)定，且輸入信號的傅里葉變換存在，在零初始條件下（t<0，x（t），y（t）及各階導(dǎo)數(shù)為零），兩種方法求解結(jié)果相同，傅里葉變換同樣可用于對瞬時(shí)過程的求解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]嚴(yán)晉強(qiáng)，機(jī)械工程測試技術(shù)，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，1990

[2]關(guān)正毅，信號處理及信號變換，北京，清華大學(xué)出版社，1989

[3]鄭君里，信號與系統(tǒng)，高等教育出版社