曹曉平　劉淵

【摘要】 衡量控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)可以理解為對(duì)每一類(lèi)自動(dòng)控制系統(tǒng)被控量變化全過(guò)程提出的共同基本要求，即穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性。其中，穩(wěn)定性是首要的，那么如何準(zhǔn)確判斷控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定就是十分重要的問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)程序算法和控制系統(tǒng)仿真，能夠很好地解決這個(gè)問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 系統(tǒng)穩(wěn)定性 勞斯判據(jù) 仿真 算法 性能

引言

本論文通過(guò)闡述如何判斷自動(dòng)控制系統(tǒng)品質(zhì)優(yōu)劣的問(wèn)題入手，研究了判斷穩(wěn)定性如今最前沿的方法，利用軟件編程的策略，這樣可以通過(guò)仿真的方法準(zhǔn)確判斷任一閉環(huán)控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是將理論結(jié)合實(shí)際工作的典范。

一、設(shè)計(jì)內(nèi)容及意義

系統(tǒng)特征方程如下，試用勞思判據(jù)和霍爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性.s^5+3s^4+10s^3+24s^ 2+32s+48=0

自動(dòng)控制系統(tǒng)的共同基本要求可以歸結(jié)為穩(wěn)、準(zhǔn)、快三點(diǎn)。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其被控量偏離期望值的初始偏差經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間應(yīng)逐漸減小并趨于零。而不穩(wěn)定的系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)預(yù)定的控制任務(wù)。因此，穩(wěn)定性判斷對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)是非常緊要的，而自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一就是如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。根據(jù)題目要求，運(yùn)用控制原理相關(guān)知識(shí)，分析所給系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并結(jié)合控制系統(tǒng)仿真和matlab知識(shí)，編寫(xiě)出計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)程序，判斷穩(wěn)定性。

二、穩(wěn)定性分析

平衡狀態(tài)穩(wěn)定性概念是由俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫1892年首先提出，根據(jù)該穩(wěn)定性理論，線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義為：

線(xiàn)性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間推移逐漸衰減并趨于零（或原平衡工作點(diǎn)），系統(tǒng)最后可以達(dá)到平衡狀態(tài)，則稱(chēng)該系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定；若在初始擾動(dòng)影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間推移而發(fā)散，系統(tǒng)被控量失控，則稱(chēng)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若在初始擾動(dòng)影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移雖不能回到原平衡點(diǎn)，但能夠保持在原工作點(diǎn)附近的某一有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)為等幅振蕩形式則稱(chēng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外界因素條件無(wú)關(guān)。線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根全部都具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部都嚴(yán)格位于左半s平面。

根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必然要求準(zhǔn)確求出系統(tǒng)的全部特征根。對(duì)于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，求根的工作量十分龐大，那么就希望使用一種間接判斷系統(tǒng)特征根是否全部嚴(yán)格位于s左半平面的代替簡(jiǎn)便方法。

三、算法及對(duì)象選定

3.1 勞斯判據(jù)

將各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表

s^n a0 a2 a4 a6 …

s^（n-1） a1 a3 a5 a7 …

s^（n-2） b1 b2 b3 b4

s^（n-3） c1 c2 c3

.

.

s^2 d1 d2 d3

s^1 e1 e2

s^0 f1

表中：

這樣可求得n+1行系數(shù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變化，去判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過(guò)程如下：

①如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

②如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，也代表方程的正實(shí)根個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

③如果勞斯表中某一列出現(xiàn)全零行時(shí)，需要用上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程F（s）=0，并將輔助方程對(duì)變量s求導(dǎo)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行的元，便可按勞斯穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去，直到得出完整的勞斯計(jì)算表。

④如果勞斯表中某一行的第一列為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零時(shí)，以一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。

經(jīng)過(guò)手算，對(duì)于特征方程 s^5+3s^4+10s^3+24s^2+32s+48=0

列出勞斯表： s^5 1 10 32

s^4 3 24 48

s^3 2 16

s^2 0 48

s^2 e（-10） 48 輔助方程

s^1 16

s^0 48

根據(jù)勞斯判據(jù)，此系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。

3.2霍爾維茨判據(jù)

系統(tǒng)特征方程s^5+3s^4+10s^3+24s^2+32s+48=0

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

特征方程的全部系數(shù)都為正，且主行列式及對(duì)角線(xiàn)上的子行列式都大于零。

3.3 用求特征方程根的方法，判斷實(shí)部是否小于零來(lái)判斷穩(wěn)定性，存在實(shí)部大于零的根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.4也可構(gòu)成單位負(fù)反饋系統(tǒng)，繪制開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)，利用奈奎斯特判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

四、仿真算法選取與性能分析

根據(jù)題目要求，利用勞斯判據(jù)和霍而維茨判據(jù)判斷所給系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這兩種算法直接并且實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單。

構(gòu)造系統(tǒng)的routh表

格式： [rtab，info]=routh（den）

說(shuō)明：其中den是系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式向量，rtab是構(gòu)造的routh表矩陣，info為字符串型變量，返回有關(guān)信息。系統(tǒng)不穩(wěn)定極點(diǎn)的數(shù)目等于所產(chǎn)生的routh表中第一列元素的符號(hào)變化次數(shù)。

function [rtab，info]=routh（den）

info=[]；

vec1=den（1：2：length（den））； nrT=length（vec1）；

vec2=den（2：2：length（den））；

rtab=[vec1； vec2， zeros（1，nrT-length（vec2））]；

for k=1：length（den）-2

alpha（k）=vec1（1）/vec2（1）；

if mod（length（den），2）==0，n=length（vec1）-1；

else n=length（vec2）；

end

for i=1：n

a3（i）=rtab（k，i+1）-alpha（k）*rtab（k+1，i+1）；

end

if sum（abs（a3））==0

a3=polyder（vec2）；

info=[info，'All elements in row '，...

int2str（k+2） ' are zeros；']；

elseif abs（a3（1））

a3（1）=1e-6；

info=[info，'Replaced first element；']；

end

構(gòu)造Hurwitz矩陣。

格式： [H，Hz_det]=hurwitz（den）

說(shuō)明：H為構(gòu)造的Hurwitz矩陣，Hz_det為各階主子式的行列式值，den為系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式D（S）。

D（S）=a0Sn+ a1Sn-1 + a2Sn-2+ ……+ an-1S1 + an

H 矩陣

function [H，Hz_det]=hurwitz（den）

n=length（den）-1；

for i=1：n

i1=floor（i/2）；

if i==i1*2

hsub1=den（1：2：n+1）； i1=i1-1；

else hsub1=den（2：2：n+1）；

end

l1=length（hsub1）；

H（i，：）=[zeros（1，i1），hsub1，zeros（1，n-i1-l1）]；

end

[nr，nc]=size（H）；

for i=1：nr

Hz_det（i，1）=det（（H（1：i，1：i）））；

end

經(jīng)過(guò)分析計(jì)算，仿真編程序?qū)崿F(xiàn)，知道這個(gè)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，勞斯表中第四行的第一列為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零時(shí)，以一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。而運(yùn)用霍爾維茨判據(jù)，得到行列式為零，也可以判斷系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。

五、結(jié)論

經(jīng)過(guò)程序運(yùn)行與調(diào)試，判斷出系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，系統(tǒng)性能并不理想，若在初始擾動(dòng)影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移雖不能回到原平衡點(diǎn)，但可以保持在原工作點(diǎn)附近的某一有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在外加一定擾動(dòng)下，會(huì)偏離平衡狀態(tài)而變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)控制性能帶來(lái)不利影響，是我們應(yīng)該避免的狀態(tài)，在實(shí)際控制系統(tǒng)中應(yīng)該使系統(tǒng)階躍相應(yīng)為衰減振蕩的，才能滿(mǎn)足一般自動(dòng)系統(tǒng)的最基本要求，穩(wěn)定性。

我們?cè)O(shè)計(jì)的這個(gè)程序針對(duì)不同的情況，可以判斷出系統(tǒng)是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定或者是臨界穩(wěn)定的，適應(yīng)性很強(qiáng)，而不是簡(jiǎn)單的只是判斷是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，這也是它的優(yōu)越性所在。