趙琳

【摘要】從單調(diào)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，利用積分中值定理、積分不等式性質(zhì)、構(gòu)造函數(shù)等方法給出一道積分不等式的五種證明方法。

【關(guān)鍵詞】不等式；中值定理；單調(diào)；連續(xù)

數(shù)學(xué)分析中有這樣一道題目：設(shè)函數(shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，證明

證法一：因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，根據(jù)積分第一中值定理^【1】，存在 ，使

所以 .

證法二：因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，根據(jù)積分第二中值定理^【1】，存在

，使

所以 .

證法三：因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，所以

，

于是

所以 .

證法四：因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，所以

于是

從而

即

所以 .

證法五：因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，令函數(shù)

則 ，在 上可導(dǎo)，且

所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增且連續(xù)，于是

取 ，則 .

令 ，得

參考文獻(xiàn)：

【1】華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）【M】.3版，北京：高等教育出版社，2010，217-224.