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        特征多項式的倒量即為m序列的推導

        2015-05-30 14:14:15房萬順
        中國新通信 2015年6期

        【摘要】 本文主要結合矩陣論知識分析了m序列與其特征多項式之間的關系,并利用matlab進行仿真實驗,將長除特征多項式與仿真輸出序列得到的序列進行比對。

        【關鍵詞】 特征多項式 m序列 MATLAB

        m序列是一種最長的線性移位寄存器序列,同時也是一種非常重要的偽隨機序列,這種序列有比較好的自相關特性而且易于產(chǎn)生。m序列在直擴系統(tǒng)中用來對要傳遞的信號進行擴展,m序列在跳頻系統(tǒng)中主要用于控制跳頻系統(tǒng)的頻率合成器,并生成隨機跳頻圖案[1]。更重要的是m序列可由它的特征多項式直接計算產(chǎn)生出來,本文將對它的計算式進行推導,并給出基于matlab的軟件仿真結果。

        此外,本文的涉及到的運算都是模二運算,運算結果最終都是除2取余,即xmod2,例如:2mod2=0,7mod2=1等等。

        一、問題描述

        m序列是一種最長的線性移位寄存器序列且經(jīng)常使用的,是移位寄存器加反饋后得出的。結構圖如圖1所示。圖中an-i(i=1,2,3,…,r)是每位寄存器在移位寄存器中的狀態(tài);ci(i=1,2,3,…,r)反饋系數(shù)是第i位寄存器的。當ci=0時,意味著是沒有反饋的,這時反饋線要斷開;當ci=1時,意味著有反饋,這就要將反饋線連接起來。在這個結構中c0= cr=1,c0=0說明著不存在反饋,是靜態(tài)移位寄存器,反饋移位寄存器:cr=0則降級為r-1級。

        序列多項式:

        (1)

        序列{an}即為m序列,且為周期序列,滿足:

        (2)

        二、理論推導

        令移位寄存器的現(xiàn)在表達的狀態(tài)和下一次表達的狀態(tài)分別由矢量bn和bn+1表示,分別為:

        bn=[an-1 an-2 an-3 … an-r]T (3)

        bn+1=[a(n+1)-1 a(n+1)-2 a(n+1)-3 … a(n+1)-r]T (4)

        取狀態(tài)轉移矩陣A為:

        (5)

        則將有:

        (6)

        那么m時刻的狀態(tài)與現(xiàn)態(tài)之間的關系為:

        (7)

        當Ammod2=E且m=2r-1時,m序列為該反饋移位寄存器產(chǎn)生的序列。

        下面求A的特征多項式:

        (8)

        由此可得:

        (9)

        (10)

        經(jīng)整理后

        (11)

        由Caley-Hamilton定理:一個滿足自己的特征方程rxr矩陣,即

        (12)

        根據(jù)A的特征方程,我們定義特征多項式f(x)為:

        (13)

        接下來推導G(x)與f(x)之間的關系:

        令線性移位寄存器序列為:

        {an}=a0,a1,a2,…,an,…

        相應的序列多項式為:

        (14)

        {an}的線性遞歸反饋函數(shù)為

        (15)

        (16)

        交換求和次序并做變量代換:

        (17)

        整理后,并考慮c0=1,則有

        (18)

        選擇移位寄存器的最初狀態(tài)為a-r,a-r+1=…=a-2=a-1=0,則式(17)的分子

        (19)

        由此可得:

        (20)

        三、實驗數(shù)據(jù)和結果

        3.1給定m序列性質(zhì)的驗證

        特征多項式為,m=2r-1=25-1=31,其狀態(tài)轉移矩陣為:

        (21)

        1、周期性

        運行matlab,輸入A^31得:

        (22)

        對A^31進行模二運算rem(A^31,2)得:

        (23)

        2、最長序列性

        下面抽取計算A的11,13,23,29,30次冪,驗證其最長性:計算結果如下:

        3.2 m序列的產(chǎn)生

        仍以特征多項式為f(x)=1+x2+x5的m序列為例。

        1、長除法求

        由理論推導結果G(x)=1/ f(x)對f(x)進行長除得:

        (24)

        2、Matlab反饋仿真移位寄存器

        取移位寄存器起始值為pninitial=[0 0 0 0 1],由特征多項式能得反饋系數(shù)為:

        (25)

        狀態(tài)矩陣為:

        (26)

        產(chǎn)生的m序列如圖2:

        由圖2可以看出m序列的周期為31,即:

        (27)

        五、結果分析與說明

        從以上實驗,我們可以得出以下結論:

        1)多項式長除法和matlab仿真反饋移位寄存器得出的結果完全一致,這充分說明了序列多項式與特征多項式之間存在倒量關系;

        2)m序列特征矩陣的周期性由A^31mod2=E驗證;

        3)周期恰好為2r-1時,A的其它次冪均不等于E充分說明了序列的最長性。

        參 考 文 獻

        [1]李新,何傳江.矩陣理論及其應用.重慶:重慶大學出版社,2005

        [2]曾興雯,劉乃安,孫獻璞.擴展頻譜通信及其多址技術.西安:西安電子科技大學出版社,2004

        [3]趙鴻圖,茅艷,趙軍良等,通信原理MATLAB仿真教程,北京:人民郵電出版社,2010

        [4]陳海龍,李宏.基于MATLAB 的偽隨機序列的產(chǎn)生和分析[J].計算機仿真.2005

        作者簡介:房萬順(1991.05)男,天津人,就讀于山西師范大學,所學專業(yè):電子信息工程。

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