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        特征多項(xiàng)式的倒量即為m序列的推導(dǎo)

        2015-05-30 14:14:15房萬(wàn)順
        中國(guó)新通信 2015年6期

        【摘要】 本文主要結(jié)合矩陣論知識(shí)分析了m序列與其特征多項(xiàng)式之間的關(guān)系,并利用matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),將長(zhǎng)除特征多項(xiàng)式與仿真輸出序列得到的序列進(jìn)行比對(duì)。

        【關(guān)鍵詞】 特征多項(xiàng)式 m序列 MATLAB

        m序列是一種最長(zhǎng)的線性移位寄存器序列,同時(shí)也是一種非常重要的偽隨機(jī)序列,這種序列有比較好的自相關(guān)特性而且易于產(chǎn)生。m序列在直擴(kuò)系統(tǒng)中用來(lái)對(duì)要傳遞的信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)展,m序列在跳頻系統(tǒng)中主要用于控制跳頻系統(tǒng)的頻率合成器,并生成隨機(jī)跳頻圖案[1]。更重要的是m序列可由它的特征多項(xiàng)式直接計(jì)算產(chǎn)生出來(lái),本文將對(duì)它的計(jì)算式進(jìn)行推導(dǎo),并給出基于matlab的軟件仿真結(jié)果。

        此外,本文的涉及到的運(yùn)算都是模二運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果最終都是除2取余,即xmod2,例如:2mod2=0,7mod2=1等等。

        一、問(wèn)題描述

        m序列是一種最長(zhǎng)的線性移位寄存器序列且經(jīng)常使用的,是移位寄存器加反饋后得出的。結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。圖中an-i(i=1,2,3,…,r)是每位寄存器在移位寄存器中的狀態(tài);ci(i=1,2,3,…,r)反饋系數(shù)是第i位寄存器的。當(dāng)ci=0時(shí),意味著是沒(méi)有反饋的,這時(shí)反饋線要斷開(kāi);當(dāng)ci=1時(shí),意味著有反饋,這就要將反饋線連接起來(lái)。在這個(gè)結(jié)構(gòu)中c0= cr=1,c0=0說(shuō)明著不存在反饋,是靜態(tài)移位寄存器,反饋移位寄存器:cr=0則降級(jí)為r-1級(jí)。

        序列多項(xiàng)式:

        (1)

        序列{an}即為m序列,且為周期序列,滿足:

        (2)

        二、理論推導(dǎo)

        令移位寄存器的現(xiàn)在表達(dá)的狀態(tài)和下一次表達(dá)的狀態(tài)分別由矢量bn和bn+1表示,分別為:

        bn=[an-1 an-2 an-3 … an-r]T (3)

        bn+1=[a(n+1)-1 a(n+1)-2 a(n+1)-3 … a(n+1)-r]T (4)

        取狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A為:

        (5)

        則將有:

        (6)

        那么m時(shí)刻的狀態(tài)與現(xiàn)態(tài)之間的關(guān)系為:

        (7)

        當(dāng)Ammod2=E且m=2r-1時(shí),m序列為該反饋移位寄存器產(chǎn)生的序列。

        下面求A的特征多項(xiàng)式:

        (8)

        由此可得:

        (9)

        (10)

        經(jīng)整理后

        (11)

        由Caley-Hamilton定理:一個(gè)滿足自己的特征方程rxr矩陣,即

        (12)

        根據(jù)A的特征方程,我們定義特征多項(xiàng)式f(x)為:

        (13)

        接下來(lái)推導(dǎo)G(x)與f(x)之間的關(guān)系:

        令線性移位寄存器序列為:

        {an}=a0,a1,a2,…,an,…

        相應(yīng)的序列多項(xiàng)式為:

        (14)

        {an}的線性遞歸反饋函數(shù)為

        (15)

        (16)

        交換求和次序并做變量代換:

        (17)

        整理后,并考慮c0=1,則有

        (18)

        選擇移位寄存器的最初狀態(tài)為a-r,a-r+1=…=a-2=a-1=0,則式(17)的分子

        (19)

        由此可得:

        (20)

        三、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果

        3.1給定m序列性質(zhì)的驗(yàn)證

        特征多項(xiàng)式為,m=2r-1=25-1=31,其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

        (21)

        1、周期性

        運(yùn)行matlab,輸入A^31得:

        (22)

        對(duì)A^31進(jìn)行模二運(yùn)算rem(A^31,2)得:

        (23)

        2、最長(zhǎng)序列性

        下面抽取計(jì)算A的11,13,23,29,30次冪,驗(yàn)證其最長(zhǎng)性:計(jì)算結(jié)果如下:

        3.2 m序列的產(chǎn)生

        仍以特征多項(xiàng)式為f(x)=1+x2+x5的m序列為例。

        1、長(zhǎng)除法求

        由理論推導(dǎo)結(jié)果G(x)=1/ f(x)對(duì)f(x)進(jìn)行長(zhǎng)除得:

        (24)

        2、Matlab反饋仿真移位寄存器

        取移位寄存器起始值為pninitial=[0 0 0 0 1],由特征多項(xiàng)式能得反饋系數(shù)為:

        (25)

        狀態(tài)矩陣為:

        (26)

        產(chǎn)生的m序列如圖2:

        由圖2可以看出m序列的周期為31,即:

        (27)

        五、結(jié)果分析與說(shuō)明

        從以上實(shí)驗(yàn),我們可以得出以下結(jié)論:

        1)多項(xiàng)式長(zhǎng)除法和matlab仿真反饋移位寄存器得出的結(jié)果完全一致,這充分說(shuō)明了序列多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式之間存在倒量關(guān)系;

        2)m序列特征矩陣的周期性由A^31mod2=E驗(yàn)證;

        3)周期恰好為2r-1時(shí),A的其它次冪均不等于E充分說(shuō)明了序列的最長(zhǎng)性。

        參 考 文 獻(xiàn)

        [1]李新,何傳江.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用.重慶:重慶大學(xué)出版社,2005

        [2]曾興雯,劉乃安,孫獻(xiàn)璞.擴(kuò)展頻譜通信及其多址技術(shù).西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2004

        [3]趙鴻圖,茅艷,趙軍良等,通信原理MATLAB仿真教程,北京:人民郵電出版社,2010

        [4]陳海龍,李宏.基于MATLAB 的偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生和分析[J].計(jì)算機(jī)仿真.2005

        作者簡(jiǎn)介:房萬(wàn)順(1991.05)男,天津人,就讀于山西師范大學(xué),所學(xué)專(zhuān)業(yè):電子信息工程。

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