劉族剛

隨著新課程標準地不斷深入，高考對考生的實踐能力和創(chuàng)新意識的要求也逐年提高. 近年的高考試題都會推出一些構思精巧、情境別致、背景新穎且具有一定深度和導向清晰的創(chuàng)新試題，使得試卷富有時代氣息而精彩紛呈與亮點頻出. 本文采擷近三年高考全國卷與2015高考湖北卷數學情景題并予以分類賞析，旨在探索命題規(guī)律，揭示解題方法，達到科學備考、高效備考的目的.

創(chuàng)新題型之鮮明的立意

1. 考查基礎知識的靈活應用

2015年新課標Ⅰ卷遵循了考查基礎知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分知識點. 選擇題、填空題考查了復數、三角函數、簡易邏輯、概率、解析幾何、向量、框圖、二項式定理（理科）、線性規(guī)劃等知識點，大部分屬于常規(guī)題型和中等難度，是在高三平時訓練中常見的類型.有些試題考查了基礎知識的靈活應用.

如2015年新課標Ⅰ卷第16題：在平面四邊形[ABCD]中，[∠A=∠B=∠C][=75°，][BC=2]，則[AB]的取值范圍是 .

答案 [（6-2，6+2）]

賞析 命題者試圖引導我們將解三角形的原理推廣運用到四邊形中.

再如2013年新課標Ⅱ卷第7題：一個四面體的頂點在空間直角坐標系[O-xyz]中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，以[zox]平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）

[A B C D]

答案 A

賞析 本題考查空間點的坐標與三視圖，讓我們在數形結合中領悟空間想象.所有這些，要求我們打破常規(guī)思路，獨立思考，積極探究，才能達到目的.

2. 立意于能力，數學方法與思想貫穿考卷

數學思想是數學的靈魂，在考查知識的同時考查思想與方法是高考的必然. 2015年新課標Ⅰ卷第1題，利用復數相等，將復數問題轉化為實數問題；第8題由三角函數圖象寫解析式，是數形結合形數轉化的數學思想；第13題函數[f（x）=xln（x+a+x2）]為偶函數，可考慮特殊化思想，由[f（-1）=f（1）]求解；第18題將立體幾何的垂直關系、夾角轉化為向量的數量積問題；第21題第二問，是一個含參問題的分類討論思想等. 對思想方法的考查，在以后的高考試題中必將繼續(xù)受到重視.

3. 立意于應用考查，注重邏輯推理能力

考基礎、考能力是高考永恒不變的主題，而邏輯思維能力首當其沖.

如2015年新課標Ⅰ卷第9題算法循環(huán)到哪一步為止，進行的是什么運算；第10題[（x2+x+y）5]的展開式中，[x5y2]的系數問題等，無不蘊含數學邏輯推理.

再如2014年新課標Ⅰ卷第14題：甲、乙、丙三位同學被問到是否去過[A，B，C]三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過[B]城市；

乙說：我沒去過[C]城市；

丙說：我們三人去過同一個城市.

由此可判斷乙去過的城市為 .

答案 A城市

賞析 本題是集合的交集、補集運算在實際生活中的應用，或借助于邏輯聯(lián)結詞的“且、或、非”的含義求解.

邏輯思維能力是數學能力的核心，高考對邏輯思維的考查提出了三個方面的要求：會對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；會用演繹、歸納和類比進行推理；能準確、清晰有條理地進行表述.同一個問題一般有多個解決方法與路徑，使用哪一個，往往體現(xiàn)我們的思維水平的高低.

創(chuàng)新題型之新穎的情境

問題情境是實現(xiàn)立意的材料介質，問題是情境的焦點，情境因問題而存在，新穎的情境是創(chuàng)新高考試題的共同特點. 解答這類問題，靠解題套路、猜題押題、題海戰(zhàn)術等是難以達到好的效果的.

1. “新定義”型題

此類型是通過定義某新概念、新運算、新規(guī)則或新性質，從而達到完成某種推理證明或指定要求的問題. 這類問題可以考查同學們在新情景下解決問題的遷移能力，近幾年的高考命題中比較常見.

如2015年湖北卷：定義“陽馬”——底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐；“鱉臑”——四個面都為直角三角形的四面體. 2015年新課標Ⅰ卷第21題：[minm，n]表示[m，n]中的最小值等. 解決問題的基本思路是理解定義、緊扣定義、恰當類比和合理遷移.

2. 數學實踐情境

新課程標準要求同學們獲取知識不僅限于被動接受、機械記憶與練習模仿，更應該自主探究與動手實踐. 這一點在高考試題中得到了體現(xiàn).

2015年湖北卷：一種作圖工具如圖所示. [O]是滑槽[AB]的中點，短桿[ON]可繞[O]轉動，長桿[MN]通過[N]處鉸鏈與[ON]連接，[MN]上的栓子[D]可沿滑槽[AB]滑動，且[DN=ON=1]，[MN=3]. 當栓子[D]在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞[O]轉動一周（[D]不動時，[N]也不動），[M]處的筆尖畫出的曲線記為[C]. 以[O]為原點，[AB]所在的直線為[x]軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

（1）求曲線C的方程；

（2）設動直線[l]與兩定直線[l1：x-2y=0]和[l2：x+2y=0]分別交于[P， Q]兩點. 若直線[l]總與曲線[C]有且只有一個公共點，試探究：[△OPQ]的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

答案 （1）曲線[C]的方程為[x216+y24=1.]

（2）[SΔOPQ]的最小值為8.

賞析 本題給出橢圓的方法帶有“數學實踐”與“實習作業(yè)”特點，第一問的切入看似“高大上”，如若去除背景，實際上就是下面這個問題：[N]是單位圓[O：x2+y2=1]上的動點，[D]在[x]軸上且[|DN|=|ON|=1]，若[DM=2ND]，求[M]的軌跡方程（下略），很容易想到采用坐標轉移法或參數方程法求解.

創(chuàng)新題型之深刻的背景

1. 數學文化背景

無論是今年全國卷還是近幾年湖北卷，一個明顯的亮點就是在基礎試題中滲透中國數學文化.我國數學文化歷史悠久，在高考試卷中選取了體現(xiàn)中國古代優(yōu)秀數學文化，并與中學數學內容結合緊密的素材編擬試題，是自然而然的事.

如2015年全國課標Ⅱ卷第8題，其設計思路來源于《九章算術》中的“更相減損術”等.

再如2015高考湖北卷第2題，我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（ ）

A. 134石 B. 169石

C. 338石 D. 1365石

答案 B

賞析 這些試題都不是滲透中國古代數學文化的良好載體，在以后的高考命題中應該會一直持續(xù)下去.

2. 生活實踐背景

數學源于生活與實踐，數學知識是解決實際問題的有力工具，數學也是培養(yǎng)理性思維的重要學科，對創(chuàng)新應用意識的形成和發(fā)展具有重要作用.試卷中有很多涉及應用背景的試題，貼近生活實際，讓考生深深感受到“生活就是數學”、“數學就在身邊”.

例如2015年新課標Ⅰ卷：某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費[x]對年銷售量[y]和年利潤[z]的影響問題，本題要求考生根據試題所給的散點圖，自主選擇回歸方程類型，對企業(yè)投入產品的宣傳費用進行預測.

又如2015年新課標Ⅱ卷：我國二氧化硫年排放量柱形圖問題、第18題用戶對其產品的滿意度隨機調查問題（略）.

再如2014年全國卷：4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率（ ）

A. [18] B. [38] C. [58] D. [78]

答案 D

賞析 這些試題都重視現(xiàn)實生活中的熱點問題，緊密結合社會實際和現(xiàn)實生活，考查我們運用數學工具和思想方法分析、解決問題的能力，也體現(xiàn)了數學在解決實際問題中的重要作用和應用價值，體現(xiàn)了高考改革中加強實踐性、應用性的要求.

3. 高等數學背景

高等數學的一些基本思想、基本概念為設計高考試題提供了廣闊而又深刻的背景，其基本思想和方法是考查同學們進一步學習潛能的良好素材，加之命題小組成員中有一部分來自高校教師，因而有高等數學背景的試題走進考卷是一件再正常不過的事了.

如2015年高考湖北卷理科第6題的“符號函數”、理科第10題的“高斯函數”等，就是高等數學知識向初等數學的下移.

4. 數學教材背景

教材是教師教學內容與我們學習內容的根本. 為充分發(fā)揮了教材的示范作用，高考試題“源于教材、高于教材”是有目共睹的事實（有人統(tǒng)計2014年湖北文、理卷達到90分之多，新課標卷也有不少）.

如2014年新課標卷：設函數[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點[（1，f（1））]處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

答案 （1）[a=1，b=2] （2）略

賞析 作為壓軸題第一問考查基礎的切線問題；第二問則是典型的不含參數的不等式恒成立問題的證明，利用左邊的最小值大于等于右邊的最大值，不失為一個有效的方法（注意不等價性）. 本題經過變形將左邊變?yōu)閇xlnx]，再直接利用導數求極值方法即可得到證明.實際上本題脫胎自課本上[xlnx]的求導.這種立足于教材編擬高考試題的理念和方法，充分保障了試題背景的公平性，對中學數學教學重視教材、回歸教材、減輕學業(yè)負擔、促進課程改革的深化具有良好的導向作用.

隨著新一輪課程改革的深入和推進，高考的改革使“知識立意”轉向“能力立意”（2015年湖北卷就是例證）. 高考試題更加重視考查同學們的學習潛能，因而命題專家必然在試題創(chuàng)新方面下了很大功夫，各種新題型層出不窮，如開放題型的設計（含條件開放，結論開放、方法開放等），2015年新課標Ⅰ卷第20題（2）就是結論開放探究的例證.

面對創(chuàng)新試題，我們要堅信兩個原則：其一是“新題不難”，一般創(chuàng)新試題只是對以前的問題“換件外套”、“化了個妝”，貌似超凡脫俗“新面孔”，但只要我們努力揭開題目的神秘“面紗”，便可識別其“真面目”；其二是“千變萬變、方法不變”，無論試題怎么新，方法總離不開課標要求.

備考時，建議可以從以下幾個方面嘗試：一是重視基礎，強化概念建構，突出數學問題本質；二是優(yōu)化知識結構，形成體系，既見樹木又見森林；其三是優(yōu)化學習過程，提高學習質量，知其然還要知其所以然；其四是研究新穎試題，強化對點訓練，提高應試能力，我想沒有過不去的坎！