楊練根，劉丙康，王選擇，2，翟中生

（1.湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢430068；2.天津大學(xué) 精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072）

引言

在表面形貌光學(xué)干涉測(cè)量方法中，計(jì)算干涉相位的準(zhǔn)確性，直接決定測(cè)量結(jié)果的精度或誤差。因此，在干涉相位解包裹運(yùn)算之前，需要準(zhǔn)確提取相位信息。現(xiàn)在應(yīng)用的干涉相位提取算法主要有：三步法、四步法［1－2］、五步法［3］、FFT 算法、小波變換等［4－6］。這些算法的實(shí)質(zhì)都是通過(guò)消除幅值與偏置參數(shù)的影響，獲取各像素點(diǎn)的干涉序列的初相位。其中，三步法、四步法、五步法是研究時(shí)間較長(zhǎng)，應(yīng)用最為普遍的，它們的不同之處是抗噪聲干擾能力有一定差別。傳統(tǒng)的三步法、四步法等要求對(duì)相移驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)進(jìn)行嚴(yán)格控制，因此對(duì)相移驅(qū)動(dòng)要求閉環(huán)控制，增加了驅(qū)動(dòng)的難度與成本。同時(shí)，測(cè)量系統(tǒng)對(duì)環(huán)境要求也很高，因?yàn)闇y(cè)量過(guò)程中微小的振動(dòng)，都會(huì)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)發(fā)生改變，對(duì)最后的測(cè)量結(jié)果影響也較大。

如何在開環(huán)相移驅(qū)動(dòng)條件下，根據(jù)序列灰度圖得到干涉場(chǎng)上各像素點(diǎn)的初相位信息，且保證初相位信息受環(huán)境影響小及具有較高的識(shí)別精度，是本文需要解決的核心問(wèn)題。

為此，本文以四步法為基礎(chǔ)，提出了一種不要求等步長(zhǎng)相移驅(qū)動(dòng)的高精度相位識(shí)別方法。主要思想是根據(jù)干涉場(chǎng)上的各像素點(diǎn)的灰度關(guān)聯(lián)信息，在建立干涉方程組的基礎(chǔ)上，通過(guò)橢圓擬合準(zhǔn)確獲取干涉序列相位或驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)采樣提取多幅干涉圖的序列相位，運(yùn)用Lagrange拋物插值算法，計(jì)算并構(gòu)造滿足相位四步法求解的相差π／2的4幅干涉灰度圖［7］，經(jīng)計(jì)算表明構(gòu)造的干涉圖的相差具有較高的精度。最后，運(yùn)用四步法通過(guò)干涉灰度圖得到了整個(gè)干涉場(chǎng)上各像素點(diǎn)的相位信息。

1 相移驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)的確定

理論上干涉圖上每一像素點(diǎn)的序列灰度值gi可以表達(dá)為

每一像素點(diǎn)的交流幅值A(chǔ)、偏置量C與初相位θ0不同。

式中：i＝1－N，表示驅(qū)動(dòng)序列點(diǎn)；θi為序列驅(qū)動(dòng)相位，與相移驅(qū)動(dòng)位移Δi滿足如下關(guān)系：

由此可知，相移驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)與干涉相位成正比。因此，驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)的確定，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確獲取干涉序列上每一點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)相位θi。在灰度值已知的條件下，驅(qū)動(dòng)相位θi求解依賴于交流幅值A(chǔ) 與偏置量C的計(jì)算，下面討論如何計(jì)算A與C。

圖1 單像素點(diǎn)的灰度序列值Fig.1 Gray value sequence of single pixel

圖1為單像素點(diǎn)的12點(diǎn)灰度序列值，從圖中明顯可以看出，相移驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)不滿足等步長(zhǎng)的條件（等步長(zhǎng)驅(qū)動(dòng)時(shí)，灰度序列曲線應(yīng)近似為三角函數(shù)曲線），且從滿足 （1）式來(lái)看，灰度值含有較大的隨機(jī)噪聲。

考慮到干涉場(chǎng)上各點(diǎn)在相移驅(qū)動(dòng)的任何時(shí)刻，都具有相同的驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)或序列驅(qū)動(dòng)相位，選取干涉場(chǎng)上的任意兩點(diǎn)，就可以建立如下的序列灰度值方程組：

如果分別以g1i、g2i為橫、縱坐標(biāo)，理論上序列點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡為橢圓，且橢圓的中心分別為C1，C2。橢圓的參數(shù)由交流幅值A(chǔ)1，A2與兩像素點(diǎn)的初相位差（θ20－θ10）決定。且當(dāng)相差為π／2時(shí)，軌跡為正橢圓。通過(guò)橢圓擬合，可以得到C1，C2，A1，A2與初相位差（θ20－θ10）等5個(gè)關(guān)聯(lián)參數(shù)。

1.1 提高干涉方程組的擬合精度

考慮到橢圓參數(shù)的擬合精度受像素灰度值噪聲與橢圓形狀的影響，所以需要恰當(dāng)?shù)剡x取擬合像素點(diǎn)，并對(duì)像素點(diǎn)灰度值進(jìn)行降噪處理。當(dāng)兩像素點(diǎn)相差為π／2時(shí)，干涉序列灰度值滿足正交關(guān)系，此時(shí)擬合橢圓具有最高的精度。因此選取參與擬合的兩像素點(diǎn)應(yīng)盡量滿足相差為π／2的關(guān)系，采用的選取方案如下：

首先在某個(gè)特定區(qū)域內(nèi)（一般信噪比較高的地方），對(duì)各像素點(diǎn)的灰度序列值進(jìn)行如下的計(jì)算。

理論上，smn的大小處于［－1，1］之間。為了選取相差π／2的兩點(diǎn)，將smn絕對(duì)值最大與最小的點(diǎn)作為擬合像素點(diǎn)。理論可以證明，當(dāng)這兩點(diǎn)的相差接近π／2時(shí)，有利于提高橢圓擬合的精度。

1.2 橢圓擬合求解

橢圓擬合主要是對(duì)橢圓直角坐標(biāo)方程進(jìn)行線性回歸，得到回歸系數(shù)，然后根據(jù)回歸系數(shù)與干涉方程組參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算這些參數(shù)。

干涉方程組的橢圓直角方程可寫成如下形式：

通過(guò)基于最小二乘擬合的線性回歸運(yùn)算后，得到系數(shù)a，b，c，d，e。

由參數(shù)方程與坐標(biāo)方程的關(guān)系，可以推得：

其中相位差φ的符號(hào)由灰度序列值在橢圓中的旋轉(zhuǎn)方向決定。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為正。判斷方法采用向量叉乘的方式，具體判斷公式如下：若dz＞0，則取負(fù)號(hào)；反之，取正號(hào)。

圖2為降噪處理與零均化后的兩像素點(diǎn)10個(gè)灰度序列值及其橢圓擬合結(jié)果。需要指出的是，相同條件下，對(duì)于整周期內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，其橢圓擬合精度比非整周期內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)擬合精度高，所以這里僅取其中的10點(diǎn)進(jìn)行橢圓擬合。

圖2 灰度序列運(yùn)算結(jié)果Fig.2 Calculated results of gray value sequence

1.3 計(jì)算驅(qū)動(dòng)相位

根據(jù)橢圓擬合的結(jié)果，在計(jì)算得到 （6）式中的各個(gè)參數(shù)之后，在一定條件下對(duì)兩灰度序列值進(jìn)行相位計(jì)算。這里的條件包括：1）由于頭尾兩點(diǎn)無(wú)法確定其相位的單調(diào)性，不能計(jì)算其對(duì)應(yīng)的相位，因此頭尾2個(gè)點(diǎn)不參與計(jì)算；2）若當(dāng)前點(diǎn)與前后兩點(diǎn)的差分結(jié)果符號(hào)相同，就可以確定當(dāng)前點(diǎn)相位的單調(diào)性，因此當(dāng)前點(diǎn)與前后兩灰度值差分結(jié)果gi－gi－1與gi＋1－gi同為正或同為負(fù)時(shí)，計(jì)算驅(qū)動(dòng)相位，否則不予計(jì)算。

具體的計(jì)算公式如下：

式中相位符號(hào)的確定由當(dāng)前點(diǎn)的差分符號(hào)決定，即若gi－gi－1＞0，相位符號(hào)取負(fù)，否則取正。

對(duì)灰度序列計(jì)算相位結(jié)果如表1所示：

表1 驅(qū)動(dòng)相位計(jì)算結(jié)果Table 1 Results of driving phases

考慮擬合相位φ＝ －1.167 9，通過(guò)如下方法計(jì)算中間10點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)相位：若兩序列中相應(yīng)點(diǎn)相位都存在，則計(jì)算相位φi＝（φ1i＋φ2i－φ）／2；若僅序列1中存在，則φi＝φ1i；僅序列2中存在，φi＝φ2i－φ。并通過(guò)取2π圓整，使計(jì)算結(jié)果處在（－π，π）之間。因此，除了頭尾兩點(diǎn)相位不參與反算外，圖3中虛線所代表的灰度序列在第3，7兩點(diǎn)不參與運(yùn)算；實(shí)線所代表的序列在第5，9三點(diǎn)不參與運(yùn)算。表1中第3行為計(jì)算的驅(qū)動(dòng)相位。

2 構(gòu)造滿足四步法的干涉灰度圖

在計(jì)算出驅(qū)動(dòng)相位量之后，就可以構(gòu)造滿足π／2相差的4幅干涉灰度圖?？紤]到橢圓擬合后，實(shí)際相位的計(jì)算是從采樣序列的第2幅干涉圖開始有效的，因此以第2幅圖為起點(diǎn)，即以第2幅圖為初相位灰度圖g0，構(gòu)造剩下的相差π／2的3幅干涉灰度圖。

具體構(gòu)造方法如下：

首先對(duì)表1中的綜合相位進(jìn)行解包裹運(yùn)算，并通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算把起點(diǎn)移位到零位，圖3為移位前后的相位，以角度來(lái)表示。然后分別選擇與π／2，π，3π／2偏差最小的3點(diǎn)，并計(jì)算這3個(gè)點(diǎn)與目標(biāo)相位的偏差ε1，ε2，ε3。

圖3 驅(qū)動(dòng)相位解包裹運(yùn)算結(jié)果Fig.3 Unwrapping results of driving phases

例如圖3中與π／2，π，3π／2偏差最小的3點(diǎn)分別為第3，5，7點(diǎn)，且以此3點(diǎn)為中心的弧度偏差量分別為 （－0.4145，0.3442，1.0659），（－0.5049，0.2133，0.8941），（－0.6767，0.0551，0.6656）。最后利用Lagrange拋物插值來(lái)完成目標(biāo)相位灰度圖像的重構(gòu)，例如針對(duì)π／2的灰度值重構(gòu)公式如下：

式中g(shù)2，g3，g4分別代表第2，3，4幅圖像的灰度值。

重構(gòu)系數(shù)k1，k2，k3分別采用如下公式計(jì)算：

使用同樣的計(jì)算方法，可以得到gπ、g3π／2。通過(guò)計(jì)算Lagrange插值余項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果表明：對(duì)于3幅重構(gòu)圖灰度值，由于Lagrange插值偏差導(dǎo)致的灰度值截?cái)嘀貥?gòu)誤差分別小于2.53%，1.57%，0.52%。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)Ra＝0.44μm的方波多刻線粗糙度樣板的表面形貌進(jìn)行多波長(zhǎng)干涉測(cè)量，該樣板經(jīng)中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院采用粗糙度國(guó)家基準(zhǔn)校準(zhǔn)，校準(zhǔn)結(jié)果的不確定為U95＝5%。用上述方法對(duì)多波長(zhǎng)干涉圖的每一個(gè)波長(zhǎng)的采樣序列進(jìn)行相位提取，圖4為對(duì)波長(zhǎng)550nm的干涉序列圖重構(gòu)的4幅相差π／2的灰度圖像。傳統(tǒng)四步法得到的4幅干涉圖中包含了相移驅(qū)動(dòng)和噪聲干擾造成的誤差，同時(shí)相移誤差是四步法相位計(jì)算誤差的主要來(lái)源［8］。而通過(guò)上述方法得到的4幅干涉圖將相移誤差轉(zhuǎn)換為驅(qū)動(dòng)相位計(jì)算的誤差和Lagrange插值誤差，這類誤差可以通過(guò)增加采樣次數(shù)和插值節(jié)點(diǎn)數(shù)目來(lái)減小。

最后利用重構(gòu)灰度圖進(jìn)行各點(diǎn)相位計(jì)算。計(jì)算公式如下：

式中θ0的取值范圍為（－π，π］，即通過(guò)判斷分子分母的正負(fù)在4個(gè)象限內(nèi)計(jì)算相位。同理，依次對(duì)波長(zhǎng)520nm，640nm的干涉序列圖進(jìn)行相位提取?？紤]對(duì)雙波長(zhǎng)測(cè)量［9］，當(dāng)兩波長(zhǎng)差較小時(shí)，測(cè)量范圍顯著增大，但得到的測(cè)量結(jié)果精度很低。因此應(yīng)用兩近波長(zhǎng)（520nm，550nm）的相位差在大尺度范圍內(nèi)識(shí)別測(cè)量結(jié)果，用兩遠(yuǎn)波長(zhǎng)（550nm，640 nm）相位差在小尺度內(nèi)進(jìn)一步縮小測(cè)量結(jié)果的誤差，最后用單波長(zhǎng)（550nm）相位計(jì)算最終測(cè)量結(jié)果，得到干涉圖像上各點(diǎn)的相對(duì)高度，即被測(cè)表面的形貌信息［10－12］。最后計(jì)算粗糙度樣板的Ra值為0.439 0μm，該樣板測(cè)量的相對(duì)誤差δ＝0.23%。

圖4 重構(gòu)的4幅相差π／2的干涉圖像Fig.4 Reconstructing 4 interference images withπ／2 phase－difference

4 結(jié)論

該方法不要求嚴(yán)格的等步長(zhǎng)驅(qū)動(dòng)，簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)四步法對(duì)相移驅(qū)動(dòng)的控制。僅通過(guò)兩像素點(diǎn)灰度序列關(guān)聯(lián)關(guān)系，把驅(qū)動(dòng)步長(zhǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的橢圓擬合問(wèn)題，并準(zhǔn)確地獲取了相移驅(qū)動(dòng)相位，為高精度尋找與構(gòu)造4幅干涉序列圖提供了條件，對(duì)相關(guān)技術(shù)的相位識(shí)別具有指導(dǎo)意義。采用Lagrange拋物插值算法，使重構(gòu)灰度值相對(duì)誤差控制在0.5%以內(nèi)。結(jié)果表明，上述方法的相對(duì)誤差δ＝0.23%。因此，該方法對(duì)相移驅(qū)動(dòng)要求不高，抗局部環(huán)境振動(dòng)干擾能力強(qiáng)，受相移驅(qū)動(dòng)非線性驅(qū)動(dòng)誤差影響小，降低了驅(qū)動(dòng)與閉環(huán)控制的難度與成本，為多波長(zhǎng)測(cè)量奠定了基礎(chǔ)。

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