張昊宇，鐘 波，趙世杰，李瑞潔，李海波，陳賢華

（成都精密光學(xué)工程研究中心，四川 成都610041）

引言

中頻誤差指空間頻率在0.030 3mm－1～8.3mm－1頻段內(nèi)的波前誤差，表現(xiàn)為波紋誤差，在光學(xué)元件使用過程中，中頻誤差在經(jīng)過長的傳輸距離后，轉(zhuǎn)化為較大的強度調(diào)制，惡化系統(tǒng)輸出的光束質(zhì)量。以國家點火裝置（NIF）為例，中頻誤差將影響焦斑拖尾、近場調(diào)制與散射性能［1］。因此，抑制光學(xué)表面的中頻誤差是光學(xué)元件加工的重要內(nèi)容之一。美國利弗莫爾實驗室（LLNL）在研制NIF的過程中提出了以功率譜密度（PSD）特征曲線評價中頻誤差［2－4］，其主要的思路是通過計算得出光學(xué)元件表面中頻誤差的PSD曲線，然后將其與PSD特征曲線相比較，當(dāng)光學(xué)元件表面誤差的PSD曲線在特征曲線之上則為不合格。作為中頻誤差評價指標(biāo)，PSD能夠準(zhǔn)確測定出不合格的頻段，但卻無法定位不合格頻段在元件表面的區(qū)域，從而不能進行確定性加工。針對此，國防科技大學(xué)的戴一帆、楊智等人提出使用二維小波變換確定不合格頻段所對應(yīng)的區(qū)域，從而指導(dǎo)確定性加工［5－8］。上述方法適用于中頻誤差均勻的光學(xué)表面，而處理誤差空間尺度有所波動的光學(xué)表面則較為困難。為解決其在非均勻中頻誤差表面的問題，本文提出一種新型的中頻誤差突出頻率提取方法，相比于傳統(tǒng)的提取方法，此方法改變了樣本的采樣方式，充分考慮樣本方向性與局部性對數(shù)據(jù)處理結(jié)果的影響，并采用了基于統(tǒng)計學(xué)的樣本數(shù)據(jù)處理，由傳統(tǒng)的單根PSD曲線對比變?yōu)镻SD曲線中不合格頻率出現(xiàn)次數(shù)統(tǒng)計處理，新方法的優(yōu)勢在于可以更為全面地反映光學(xué)表面的中頻信息。得到突出誤差頻率后，使用二維小波變換對其進行區(qū)域檢測，并指導(dǎo)確定性加工。

1 光學(xué)加工中的小波變換

為確定性修正光學(xué)表面中頻誤差，需要從采樣信號中提取空間信息，小波變換是空間和頻率的局部變換，其本質(zhì)是將一個函數(shù)分解成各頻率分量的小波基，由于小波基只在非常短的一段區(qū)間有非零值，且可以按比例伸展和壓縮以獲取低頻和高頻信號，因此可以得到不同頻率的具體空間信息，函數(shù)f（t）的小波變換如下：

式中：ψ（t）為小波基；a，b分別為伸縮因子和平移因子；＊表示取共軛。

考慮到光學(xué)表面是二維平面，因此需要使用二維連續(xù)小波變換（CWT2D）作為分析工具，一般通過下式表示：

WTf（a，θ，b） ＝當(dāng)選取各向同性的基本小波分析時，θ＝0，rθ＝而在本文中，所選取的小波基為各項同性的Mexican2d小波，因此公式可化簡為［9－11］

2 中頻誤差非均勻性分析

2.1 PSD指標(biāo)的計算

中頻誤差PSD曲線的計算是一種基于傅里葉變換的處理方法，通常所選用的傅里葉變換方法為一維離散傅里葉變換，公式如下：

而PSD特征曲線的計算公式如下：

PSD＝L·f－b（0.030 3mm－1≤f≤8.3mm－1）式中：n是序列中的采樣點數(shù)；L，b均為經(jīng)驗取值，在本文中，L＝0.000 5，b＝2。

在分別計算得到中頻誤差PSD曲線與PSD特征曲線后，使用雙對數(shù)曲線函數(shù)描述兩者，通過對比，即可得到中頻誤差不合格的頻率點。

2.2 中頻誤差的方向性與局部性

評價光學(xué)表面中頻誤差前，需要先選取樣本，由于光學(xué)表面的面形分布不均勻，不同區(qū)域不同方向的樣本存在較大的差異，如圖1所示。

圖1 光學(xué)表面的采樣線選取Fig.1 Sample line on optic surface

圖中x，y為不同方向的采樣線，x，z為相同方向不同區(qū)域的采樣線，分別畫出其PSD誤差曲線并與PSD特征曲線對比，如圖2所示。

可以看出，由于光學(xué)表面的非均勻性，采樣線x中的中頻誤差成分更為豐富，因此中頻誤差不合格的頻率較多；而采樣線y的方向與面形波紋方向近乎垂直，誤差的頻帶不在中頻范圍內(nèi)，因此中頻誤差不合格的頻率較少。雖然采樣線x與z的采樣方向相同，但采樣區(qū)域的不同也會造成計算結(jié)果不同。比如采樣線a在0.044mm－1空間頻率下處于合格狀態(tài)，而采樣線z處于不合格狀態(tài)。通過以上分析可以得出，PSD誤差曲線的計算與采樣線的區(qū)域和方向均有很大的相關(guān)性，因此在實際檢測和加工過程中，需要對其進行特定處理，以便得到準(zhǔn)確的誤差頻率。

圖2 不同方向不同區(qū)域采樣線的PSD誤差對比Fig.2 PSD errors of sample lines in different directions or areas

3 非均勻中頻誤差突出頻率提取

在傳統(tǒng)的功率譜密度特征曲線評價中，不合格頻率的提取方法：在同一方向上選取數(shù)條采樣線，分別對其進行傅里葉變換，得到PSD誤差。再對數(shù)條采樣線的PSD誤差進行平均處理，得到光學(xué)表面的PSD誤差曲線，PSD誤差曲線在PSD特征曲線上方時，即為不合格，通過此方法可以提取出不合格頻率。但正如前文中所提到的，在非均勻的光學(xué)表面中，中頻誤差有著較強的方向性與局部性，若按照傳統(tǒng)方法提取，不合格頻率往往會被掩蓋。因此，本文采取如下方法提取中頻誤差：

1）首先選取某一方向作為參考方向，再選擇與參考方向一致的多條采樣線，對每一條采樣線均進行傅里葉變換并得到PSD誤差曲線。

2）將得到的PSD誤差曲線與PSD特征曲線進行對比，統(tǒng)計出所有不合格頻率并記錄。對每一條PSD誤差曲線均作此處理，并將不合格頻率出現(xiàn)的次數(shù)疊加。

3）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得到出現(xiàn)次數(shù)較多的數(shù)個不合格頻率。

4）選取其他方向的采樣線，重復(fù)上述過程，通過各個方向的不合格頻率即可提取光學(xué)表面中頻誤差。

以上采樣方法可以覆蓋不同方向不同區(qū)域的中頻誤差信息，相比于傳統(tǒng)的提取方法，此方法更加完備，能更有針對性地加工數(shù)個突出誤差頻率所對應(yīng)的區(qū)域。

4 實驗驗證

為驗證前文提出方法的可行性，在口徑為410mm的透鏡表面進行加工實驗。采樣線的選取方向如圖3所示。首先選取A方向作為參考方向，按照上述方法得到出現(xiàn)次數(shù)最多的3個不合格頻率，然后再選取B方向、C方向和D方向的采樣線，重復(fù)上述過程。

圖3 實驗中采樣線的選取Fig.3 Sample line in experiment

統(tǒng)計結(jié)果如表1所示，可以看出，每個方向都有其特定的突出不合格頻率，且各方向的不合格頻率的出現(xiàn)次數(shù)也有較大差距，此結(jié)論也驗證了光學(xué)表面中頻誤差的非均勻性。

針對表中不合格頻率，通過多次二維小波變換得到不合格頻率所對應(yīng)的區(qū)域，此方法在文獻［7］中已有介紹。通過確定性加工修正這些區(qū)域，確定性加工的主要參數(shù)如下：拋光盤材料為73＃瀝青，直徑50mm，偏心距為5mm，公轉(zhuǎn)速度為180r／min，自轉(zhuǎn)速度為50r／min。由于有多個不合格頻率，因此對應(yīng)多個不合格區(qū)域，在每個區(qū)域的加工時間與該頻率的不合格次數(shù)相關(guān)，不合格次數(shù)越多，加工該誤差頻率區(qū)域的時間越長，本次加工的總時間約為40min。

表1 不同采樣線的突出誤差頻率與不合格次數(shù)Table 1 Marked error frequency and unqualified number in different sample lines

經(jīng)過確定性修正后，仍按照同樣的方法選取采樣線，考察加工前各個方向采樣線突出的不合格頻率，并給出不合格頻率次數(shù)的對比圖4。

可以看出所有突出誤差頻率對應(yīng)的不合格次數(shù)均有所減少，以A方向為例，加工后，空間頻率0.044 1mm－1，0.085 8mm－1，0.041 7mm－1所出現(xiàn)的不合格次數(shù)分別降至加工前的23.9%，18.3%，29.2%。說明經(jīng)過確定性修正，特定頻率的中頻誤差得到很好地抑制。而D方向的不合格頻率出現(xiàn)次數(shù)減少的幅度較小，推測原因如下：D方向的初始不合格頻率次數(shù)較小，已接近確定性加工的極限精度，因此加工效果并不明顯。

圖5給出加工前后空間頻率為0.044 1mm－1的區(qū)域，可以看出，加工前此頻率對應(yīng)的區(qū)域有較強的方向性，拋光過程中的走刀痕跡較為明顯，加工后的誤差區(qū)域分布較為均勻，且總體的幅值也有所降低。

為定量分析光學(xué)表面的整體中頻誤差是否被抑制，統(tǒng)計所有不合格頻率出現(xiàn)的總次數(shù)，并得到圖6。

圖4 加工前后不合格頻率出現(xiàn)次數(shù)對比圖（按順序依次為ABCD方向）Fig.4 Unqualified frequency in different sample directions before and after processing（order is ABCD）

圖5 0.044 1mm－1空間頻率所對應(yīng)區(qū)域（左圖加工前，右圖加工后）Fig.5 Area corresponding to 0.044 1 mm－1 spatial frequency（left：before processing，right：after processing）

圖6 加工前后不合格頻率出現(xiàn)的總次數(shù)Fig.6 Number of unqualified frequency before and after processing

可以看出，加工后總不合格頻率出現(xiàn)的次數(shù)降至加工前的50.1%。經(jīng)過確定性加工，中頻誤差在某些采樣方向上得到較好地抑制，而在某些方向的抑制效果較差，總體來說光學(xué)表面的整體中頻誤差情況有所改善。造成特定頻率的中頻誤差大幅度改善，而整體表面的中頻誤差改善效果隨著采樣方向變化而變化的原因是：目前所采用的確定性去除針對中頻誤差較為突出的頻率，因此特定頻率的中頻誤差大幅度改善；同時，在去除過程中，由于加工工具的口徑及精度限制，并不能非常精確地進行特定區(qū)域修正，因此會對整體中頻誤差的改善造成不可控的影響。

5 結(jié)束語

使用本文中的誤差頻率提取方法，能夠準(zhǔn)確得到非均勻光學(xué)表面不合格中頻誤差頻率。在此基礎(chǔ)上，通過確定性修正加工，不合格頻率對應(yīng)區(qū)域的中頻誤差得到大幅度抑制，在某特定方向，空間頻率0.044 1mm－1，0.085 8mm－1，0.041 7mm－1所出現(xiàn)的不合格次數(shù)分別降至加工前的23.9%，18.3%，29.2%。同時，整個光學(xué)表面的中頻誤差也得到較好地控制，加工后總不合格頻率出現(xiàn)的次數(shù)降至加工前的50.1%。實驗證明，本文提出的中頻誤差提取方法降低了由光學(xué)表面空間頻率方向性與局部性引起的不確定性，能夠有效地應(yīng)用于非均勻中頻誤差評價與修正。

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