奧古麗江·艾尼

（烏魯木齊市第二中學(xué)，新疆烏魯木齊830000）

一個帶負顧客排隊系統(tǒng)算子的半群特征

奧古麗江·艾尼

（烏魯木齊市第二中學(xué)，新疆烏魯木齊830000）

利用泛函分析中的線性算子半群理論討論一個帶負顧客的非空竭服務(wù)休假排隊系統(tǒng)模型相應(yīng)算子的半群特征。結(jié)果表明該排隊模型相應(yīng)的算子生成一個正定壓縮C0-半群S（t）。

帶負顧客的排隊系統(tǒng)；Cauchy問題；線性算子；耗散算子

線性算子半群理論是研究排隊系統(tǒng)和可靠性系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)和重要工具，尤其是在討論系統(tǒng)解的存在唯一性、漸近性和穩(wěn)定性等方面發(fā)揮著重要的作用［1-12］。與此同時，利用數(shù)學(xué)模型的方法，研究、評價排隊系統(tǒng)在內(nèi)的各類系統(tǒng)的可靠性已經(jīng)成為可靠性理論及可靠性數(shù)學(xué)的熱門課題。隨著排隊論的發(fā)展，90年代左右產(chǎn)生了一類新型的排隊系統(tǒng)，即帶負顧客排隊系統(tǒng)。負顧客是一種全新的顧客，他們相對于一般（正）顧客而言的，他們本身不需要系統(tǒng)提供的任何服務(wù)，負顧客到達后，若系統(tǒng)是空閑的則立刻從系統(tǒng)中消失，若系統(tǒng)中有接受服務(wù)的正顧客，則立刻把他帶走。負顧客通常被認為是一次操作失誤，外來信號的干擾，一種病毒，工作信號的消失等等。負顧客概念的提出，使許多計算機、控制、機械和交通等領(lǐng)域中的各類現(xiàn)實問題找到了解決問題的方法，引起了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，從而對負顧客排隊進行了一系列的研究。在文獻［13］中作者將負顧客引進非空竭服務(wù)休假且正顧客有流失的M／G／1排隊系統(tǒng)，利用求吸收分布以及普通M／G／1排隊系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件，研究了一類帶有負顧客且正顧客有流失的M／G／1非空竭服務(wù)休假排隊系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件。文章利用線性算子的半群理論，討論該排隊系統(tǒng)算子的半群特征，以期進一步研究這些系統(tǒng)解的漸近性，并在此基礎(chǔ)上研究系統(tǒng)的可靠性。

1 帶負顧客的非空竭服務(wù)休假排隊模型及模型轉(zhuǎn)換

由文獻［13］帶有負顧客的非空竭服務(wù)休假排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用以下方程組描述：

其中（t，x）∈［0，∞）×［0，∞）；p0（t）表示在t時刻顧客已結(jié)束服務(wù)離開系統(tǒng)的概率；p1（t，x）dx表示在t時刻服務(wù)器正在為顧客服務(wù)，并服務(wù)已逝去的時間在［x，x＋dx）之間的概率；p2（t，x）dx表示在t時刻服務(wù)器處于工作休假期，并休假已逝去的時間在［x，x＋dx）之間的概率。λ-表示負顧客的到達率；α表示正常狀態(tài)率；μ（x）表示服務(wù)失效率；υ（x）表示休假失效率。

選取狀態(tài)空間為

顯然X是一個Banach空間［14］。下面引進算子及其定義域：

則方程組（1）-（6）可以描述為Banach空間X上的一個抽象Cauchy問題：

引理1 A生成一個C0-半群。

引理2 B是有界算子。

2 帶負顧客的非空竭服務(wù)休假排隊系統(tǒng)算子的半群特征

定理1 A＋B生成一個正壓縮C0-半群S（t）。

證明 分兩步證明此定理。第一步指出B是有界線性算子，并推出A＋B生成一個C0-半群S（t）。第二步由算子的耗散性和Philips定理得到S（t）是一個正壓縮C0-半群。

由B的定義對?p=（p0，p1，p2）∈X，?q=（q0，q1，q2）∈X，?k，l∈R有

（8）與引理2表明B是有界線性算子。此結(jié)果結(jié)合到引理1與C0-半群的擾動定理［3］知道A＋B生成一個C0-半群S（t）。

第二步證明A＋B是dispersive算子。對p（x）=（p0，p1（x），p2（x））∈D（A），令

對p∈D（A）與上述的φ（x），由（9）式與邊界條件推出

此式說明算子A＋U是dispersive。因此由Philips定理得到A＋U生成一個正壓縮C0-半群［3］。再由半群的唯一性理論［3］即知這個正定壓縮C0-半群就是S（t）。定理證畢。

此結(jié)論對于今后進一步討論該排隊系統(tǒng)算子的擬緊性、豫解集和漸近穩(wěn)定性等方面發(fā)揮著重要的作用。

［1］Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations［M］.New York：Springer-Verlag，1983.

［2］Engel KJ.，Nagel R.One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations［M］.Graduate Texts in Mathematics，New York：Springer-Verlag，2000.

［3］Gupur G.，Li X Z，Zhu G T.Functional Analysis Method in Queueing Theory［M］.Hertfordshire：Research Information Ltd，2001.

［4］Alim Mijit，Geni Gupur.Asymptotic behavior of the time-dependent solution of the M／M／1 queueing model with optional second service［J］.Inter?national Journal of Pure and Applied Mathematics，2011，69：289-328.

［5］阿力木·米吉提.第二種服務(wù)可選的M／M／1排隊模型的一個注［J］.新疆大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，29（4）：414-420.

［6］Alim Mijit.Semigroup method on a MX／G／1 queueing model［J］.Advances in Mathematical Physics，2013：893254.

［7］Alim Mijit，Geni Gupur.Semigroup approach of a two-unit system with connecting and disconnecting effect［J］.International Journal of Applied mathematics and Statictics，2013，41：23-30.

［8］阿力米·米吉提.一類排隊模型的適定性［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，36（2）：110-114.

［9］阿力木·米吉提，蔡玲霞.一個排隊模型時間依賴解的漸近性質(zhì)［J］新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，33（2）：53-57.

［10］阿力米·米吉提.帶負顧客的非空竭服務(wù)休假排隊模型非負解的存在唯一性［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，38（6）：574-577.

［11］Alim Mijit.Time-dependent analysis for a two-unit system with connecting and disconnecting effect［J］.Gazi University Journal of Science，2015，28（1）：27-35.

［12］阿力米·米吉提.一類由兩個同型部件與一個修理設(shè)備構(gòu)成的系統(tǒng)研究中出現(xiàn)的投影算子的表達式［J］.新疆大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，32（1）：45-56.

［13］尹小玲.帶負顧客的非空竭服務(wù)休假排隊系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析［J］.中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，47（2）：1-4.

［14］阿力木·米吉提，蔡玲霞.第二種服務(wù)可選的M／M／1排隊模型狀態(tài)空間及對偶空間的完備性［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，31（2）：72-76.

Semigroup Characteristics of a Queueing System Operator with Negative Customers

Oghuljan·AINI
（No．2 Middle School of Urumqi，Urumqi，Xinjiang，830000，China）

By using the strong continuous semigroup theory of linear operators in functional analysis，we dis?cuss the semigroup characteristics of the system operator expressed by the queue with negative customers and vaca?tion on non-exhaustive service.Our results show that the underlying operator of the model generates a positive con?traction C0-semigroup S（t）.

Queue system with Negative Customers；abstract Cauchy problem；linear operator；dispersive op?erator

G623.5

A

1008?9659（2015）03?056?04

2015-06-10

新疆廣播電視大學(xué)基金（2013xjddkt001）。

奧古麗江·艾尼（1977-），女，新疆吐魯番人，中教一級，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和模型的動態(tài)分析方面的研究。