王慧蕾

（廣東外語外貿(mào)大學(xué)，廣州 510006）

基于MATLAB和GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)方法應(yīng)用實(shí)例

王慧蕾

（廣東外語外貿(mào)大學(xué)，廣州 510006）

GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)的重要組成部分，被應(yīng)用于許多領(lǐng)域，結(jié)合MATLAB的計(jì)算能力，解決灰色預(yù)測(cè)模型在矩陣計(jì)算方面的問題，同時(shí)應(yīng)用GM（1，1）模型對(duì)圖書館數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果可靠。

灰色系統(tǒng)；灰色預(yù)測(cè)；GM（1，1）模型

0 引言

1982年，鄧聚龍教授創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論[1]，灰色系統(tǒng)理論是對(duì)于“少數(shù)據(jù)”“貧信息”的不確定性問題的一種新的研究方法。在灰色系統(tǒng)理論中，“黑色”被用來表示未知信息；“白色”被用來表示已知信息；“灰色”則表示部分已知部分未知的信息。這種含有部分已知信息部分未知信息的研究對(duì)象的系統(tǒng)就叫做灰色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、國際貿(mào)易學(xué)等社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)等學(xué)科上都有廣泛的應(yīng)用。

灰色預(yù)測(cè)是對(duì)不確定性系統(tǒng)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的方法之一，是對(duì)系統(tǒng)因素發(fā)展趨勢(shì)的差異程度進(jìn)行鑒別，作關(guān)聯(lián)度分析，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)的原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行生成處理。在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)數(shù)據(jù)常被看成是隨機(jī)過程，經(jīng)常運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，但是，需要大的數(shù)據(jù)量才能有效。當(dāng)系統(tǒng)數(shù)據(jù)量少時(shí)，處理起來就比較困難?；疑到y(tǒng)研究的就是在少量信息下的建模，不是對(duì)數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而是將這個(gè)系統(tǒng)數(shù)據(jù)的隨機(jī)過程看成是在一定范圍內(nèi)與時(shí)間有關(guān)，用數(shù)據(jù)生成的方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將原本沒有規(guī)律的數(shù)據(jù)使其具有一定規(guī)律性[2]，生成具有較強(qiáng)規(guī)律性的生成序列，再按某種方法來求解，從而預(yù)測(cè)事物未來發(fā)展規(guī)律?；疑到y(tǒng)認(rèn)為數(shù)據(jù)表面是雜亂無章的，但是其內(nèi)部蘊(yùn)含著一定的規(guī)律，灰色系統(tǒng)建模就是在尋找這個(gè)內(nèi)部規(guī)律。一階單變量模型GM（1，1）灰色預(yù)測(cè)模型是應(yīng)用于灰色系統(tǒng)理論運(yùn)算的主要算法之一。當(dāng)原始序列的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出指數(shù)變化規(guī)律時(shí)，灰色模型GM（1，1）的解的逼近程度非常好。GM（1，1）模型被很多學(xué)者廣泛應(yīng)用[3～4]。

1 方法介紹

GM（1，1）模型的方法是將原始數(shù)據(jù)經(jīng)過累加生成規(guī)律明顯的一次累加生成數(shù)據(jù)。然后對(duì)一次累加生成數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的方法。

設(shè)原始序列為：

一次累加生成數(shù)據(jù)為：

其中:

將原始數(shù)據(jù)累加后，數(shù)據(jù)的隨機(jī)性減弱，規(guī)律性增強(qiáng)，由于GM（1，1）模型必須建立在離散的光滑的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建模時(shí)應(yīng)對(duì)原始數(shù)據(jù)和一階累加生成數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，若符合指數(shù)規(guī)律，則可以用微分方程來描述。一般檢驗(yàn)方法為：

當(dāng)序列{x（0）（k），k=2，…，n}滿足：

則通過準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)。

當(dāng)序列{x（1）（k），k=2，…，n}

則通過準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)。

當(dāng)序列{x（0）（k），k=2，…，n}

則通過級(jí)比檢驗(yàn)，此時(shí)可對(duì)其進(jìn)行GM（1，1）建模[2]。

GM（1，1）模型是指一階單變量的微分方程預(yù)測(cè)模型，一階微分。其具體形式是：

其中a，b是待識(shí)別的灰色參數(shù)。a稱為發(fā)展參數(shù)，b稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。將該式離散化：

對(duì)x（1）作緊鄰均值生成

z（1）（k）=0.5x（1）（k）+0.5x（1）（k-1）

用最小二乘法估計(jì)a，b

其中：

由此可得GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)公式為：

2 模型精度檢驗(yàn)

常用的檢驗(yàn)有“殘差檢驗(yàn)”、“后驗(yàn)差檢驗(yàn)”、“灰關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)”、“級(jí)比偏差檢驗(yàn)”等方法。

（1）殘差檢驗(yàn)。

（2）關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

關(guān)聯(lián)度Re是在（0，1）中取定的實(shí)數(shù)，Re=1時(shí)，累加生成值序列與預(yù)測(cè)值序列完全一致，精度最高；Re=0時(shí)，精度最差。一般Re≥0.6時(shí)就可滿足精度要求。

3 GM（1，1）實(shí)例分析

表1 2000～2009年地方公共圖書館個(gè)數(shù)（單位：千個(gè)）

（1）構(gòu)造原始數(shù)據(jù)時(shí)間序列

x（0）（k）=（2.674，2.695，2.708，2.719，2.761，2.777，2.798，2.819，2.849）

（2）構(gòu)造累加生成序列

x（1）（k）=（2.674，5.369，8.065，10.773，13.492，16.253，19.03，21.828，24.647，27.496）

（3）數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建?？尚行苑治?/p>

準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)：

準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)：

級(jí)比檢驗(yàn)：

序列通過以上檢驗(yàn)，可以建模。

（4）建立GM（1，1）模型

（5）得出預(yù)測(cè)模型

計(jì)算預(yù)測(cè)值的MATLAB語句：

（6）對(duì)模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)

殘差檢驗(yàn)后的結(jié)果殘差值與相對(duì)誤差如表2所示。

（7）利用經(jīng)過檢驗(yàn)的GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

根據(jù)這一公式計(jì)算出2000～2009年度預(yù)測(cè)值，擬和結(jié)果驗(yàn)證如表2所示。

表2可以看出，灰色預(yù)測(cè)模型的結(jié)果可以接受，平均誤差為0.244%，最大年度誤差為0.018（絕對(duì)值），模型精確度高。

表2 2001～2009年GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果（單位：千個(gè)）

4 結(jié)語

本文通過對(duì)灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用，對(duì)全國地方公共圖書館個(gè)數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，建立GM（1，1）模型，并進(jìn)一步計(jì)算了殘差，由數(shù)據(jù)可見，擬合度較好。通過實(shí)證分析得到，地方公共圖書館數(shù)量逐年增長，并符合一定的規(guī)律性。接下來可以通過改進(jìn)緊鄰生成值中的權(quán)值0.5，進(jìn)一步優(yōu)化模型，可得到更優(yōu)的預(yù)測(cè)值，同時(shí)做關(guān)聯(lián)度分析可以更好地檢驗(yàn)預(yù)測(cè)精度[5]。

[1] 鄧聚龍.灰色預(yù)測(cè)與決策[M].華中理工大學(xué)出版社，1988

[2] 劉思峰，謝乃明等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].第5版.北京：科學(xué)出版社，2010:1～4

[3] 宋秀英.基于MATLAB的灰色預(yù)測(cè)GM（1，1）模型在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（11）：93～95

[4] 唐麗芳，賈冬青，孟慶鵬.用MATLAB實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)GM（1，1）模型[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008（6）：35～37

[5] 魏永棋.用關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)精度[J].江西水利科技，1992，18（4）:322～327

Application Examples of Prediction Method Based on MATLAB and GM（1，1）Model

WANG Hui-1ei
（Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510006）

GM(1,1)is an important part of grey theory and has been app1ied to many fie1ds.Combined with the computing matrix with MATLAB, based on the actua1 va1ue,ca1cu1ates 1ibrary data by using GM(1,1)mode1 method.Resu1ts show that the proposed method has higher precision to meet the actua1 demands.

Grey Theory;Grey Prediction;GM（1，1）Mode1

1007-1423（2015）05-0044-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.05.009

王慧蕾（1978-），女，吉林通化人，碩士，講師，研究方向?yàn)殡S機(jī)過程

2014-12-02

2015-01-20