耿建

摘 要：教材中有些規(guī)律的給出只是在一些鋪墊的基礎(chǔ)上提出“可以證明”“實(shí)驗(yàn)表明”“理論計(jì)算表明”等。對(duì)于這些“可以證明”的內(nèi)容，教師必須知其所以然。本文從選修3-1、3-2中選擇了四處進(jìn)行了證明。

關(guān)鍵詞：電場(chǎng)強(qiáng)度；電勢(shì)能；電容器極板間電勢(shì)差；交變電流有效值

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）3-0042-3

教材中有些規(guī)律的給出，沒有給出嚴(yán)格的證明，只是在一些鋪墊的基礎(chǔ)上提出 “可以證明”“實(shí)驗(yàn)表明”“理論計(jì)算表明”等。對(duì)于這些“可以證明”的內(nèi)容，我們教師必須知其所以然，有些也可以在條件允許的情況下證明給學(xué)生知曉。

1 均勻帶電球體（或球殼）產(chǎn)生的外部電場(chǎng)與位于球心的帶等電量點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同

此處，帶電球殼的電場(chǎng)可以分兩步來證明。

①通過包圍點(diǎn)電荷的同心球面的電通量都等于4πkQ。

②均勻帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)球殼半徑為R，帶電總量為Q。

由于電荷均勻分布在球殼上，所以，帶電體具有球?qū)ΨQ性，電場(chǎng)的分布也具有對(duì)稱性。即在任何與帶電球殼同心的球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小均應(yīng)相等，方向沿半徑向外呈輻射狀。

根據(jù)電場(chǎng)的球?qū)ΨQ性特點(diǎn)，取以球殼球心為中心、半徑為r的球面為高斯面，此高斯面上場(chǎng)強(qiáng)的大小處處相等，設(shè)為E，方向均沿半徑方向向外，則通過此高斯面的電通量為：

同一高斯面上的電通量應(yīng)該相等，則根據(jù)上述的①和②可以得到以下結(jié)論：

若高斯面半徑r小于球殼半徑R，則高斯面包圍的范圍內(nèi)電荷量為0，則4πr2E=0，即球殼內(nèi)任一位置的電場(chǎng)強(qiáng)度為0；

2 非勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)

選修3-1第一章第4節(jié)《電勢(shì)能和電勢(shì)》中，在證明了勻強(qiáng)電場(chǎng)中移動(dòng)電荷時(shí)，靜電力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)后，接著說“這個(gè)結(jié)論雖然是從勻強(qiáng)電場(chǎng)中推導(dǎo)出來的，但是可以證明，對(duì)于非勻強(qiáng)電場(chǎng)也是適用的?！?/p>

一般情況下，非勻強(qiáng)電場(chǎng)可以是由單個(gè)點(diǎn)電荷形成的，也可以是由多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)疊加而成的。只要證明了單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中靜電力做功與路徑無關(guān)，就可以說明任意電場(chǎng)中靜電力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)這一結(jié)論。

如圖2，設(shè)靜止的點(diǎn)電荷+q位于O點(diǎn)，設(shè)想一試探電荷q0沿任意路徑L從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)。因?yàn)樵囂诫姾稍谝苿?dòng)過程中受到的電場(chǎng)力是變化的，不妨將路徑L分割成無限多的微元dl，在每一微元dl中靜電力可近似認(rèn)為不變。設(shè)距點(diǎn)電荷+q為r的K處的微元dl與該處的靜電力F方向夾角為θ，則在該微元中靜電力做功為：

dW=Fcosθdl

如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心作過圖中點(diǎn)M的圓弧，交OK延長線于N，則ΔKMN近似看做一個(gè)直角三角形，設(shè)沿電場(chǎng)方向的微小量KN=dr，則：

dW=Fcosθdl=Fdr。

其中，rP=OP，rQ=OQ?？梢?，單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力對(duì)試探電荷所做的功與路徑無關(guān)，僅和試探電荷移動(dòng)路徑的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置有關(guān)。

3 充電后電容器兩極板的電勢(shì)差與極板的電量有關(guān)

這可以借助于傳感器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明。

如圖3連接電路，單刀雙擲開關(guān)先接穩(wěn)壓電源對(duì)電容器進(jìn)行充電，充電完畢后再接到電阻R上，電容器通過電阻R進(jìn)行放電。通過電流傳感器可以記錄電容器的放電電流隨時(shí)間的變化規(guī)律，即i-t圖像。在i-t圖像中利用圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積可以求出電容器的帶電量。

對(duì)同一電容器先后進(jìn)行了兩次充放電實(shí)驗(yàn)。第一次的充電電壓是16 V，第二次的充電電壓是10 V。兩次放電過程的i-t圖像如圖4中的圖線1和圖線2。

在i-t圖像的背景上畫上方格子，使豎直方向每一小格代表0.005 A，水平方向每一小格代表0.2 s，則每一小方格的面積數(shù)值上等于q=0.005×0.2 C=1.0×10-3 C的電荷量。用此方法分別粗略地計(jì)算出電容器的帶電量。圖5是充電電壓為16 V的放電過程，圖6是充電電壓為10 V的放電過程。具體的數(shù)據(jù)見“電容器兩次充放電情況統(tǒng)計(jì)對(duì)照表”（如表1）。

因?yàn)閭鞲衅魇敲扛粢欢〞r(shí)間采集一個(gè)數(shù)據(jù)，所以得到的i-t圖線是不平滑的。電容器帶電量是將i-t圖線擬合成平滑的曲線后再計(jì)算的，存在誤差。單刀雙擲開關(guān)由電容器充電狀態(tài)轉(zhuǎn)換到放電狀態(tài)，電容器開始放電的時(shí)刻與傳感器記錄放電過程的起始時(shí)刻不一定同步，也存在誤差。除了這兩個(gè)主要誤差原因外，實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)的處理中還存在一些偶然誤差因素。可見，在實(shí)驗(yàn)誤差的范圍之內(nèi)，同一電容器的帶電量與電壓的比值是一定的。

4 正弦式交變電流的有效值計(jì)算

選修3-2第五章第2節(jié)《描述交變電流的物理量》中，談及正弦交變電流的有效值時(shí)，教材中表述說：理論計(jì)算表明，正弦式交變電流的有效值I、U與峰值Im、Um之間有如下關(guān)系：

并且強(qiáng)調(diào)說“這兩個(gè)關(guān)系式只對(duì)正弦式電流成立”。

現(xiàn)以電流強(qiáng)度的有效值為例。理論計(jì)算如下：

設(shè)正弦交變電流瞬時(shí)表達(dá)式為：i=Imsinωt。

若該電流加在某一定值電阻R上，設(shè)該交變電流的有效值為I，則根據(jù)電流有效值的定義，在一個(gè)周期T內(nèi)該交流電在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為：Q=I2RT。

因?yàn)檎医蛔冸娏麟S時(shí)間在變化，在極短的時(shí)間內(nèi)，可近似認(rèn)為電流強(qiáng)度不變，則在一個(gè)周期內(nèi)，在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱的積分表達(dá)式為：

以上四個(gè)例子的“證明”過程需要借助于高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理的相關(guān)知識(shí)，或者需要一定的實(shí)驗(yàn)技能。這些也是中學(xué)物理教師比較欠缺的知識(shí)與能力，要能自如地駕馭中學(xué)物理教學(xué)，僅僅停留在中學(xué)物理知識(shí)的層面是不夠的。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)（上）[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]楊梅芬，李維兵.正弦式交變電流有效值的兩種推導(dǎo)方法[J].物理教學(xué)探討，2011，（4）：50.

（欄目編輯 羅琬華）