張 毅李 斐鄢建國李 輝湖北省地震局地震大地測量重點實驗室，武漢 430071武漢大學(xué)測繪遙感信息工程國家重點實驗室，武漢 430074

基于拉格朗日乘子的三維位場約束反演方法

張 毅1,2）李 斐2）鄢建國2）李 輝1）
1）湖北省地震局地震大地測量重點實驗室，武漢 430071
2）武漢大學(xué)測繪遙感信息工程國家重點實驗室，武漢 430074

一般來說，地球物理數(shù)據(jù)是地下物質(zhì)某種物性參數(shù)在特定空間中的響應(yīng)，而地球物理反演正好相反，它是通過獲得不同的模型參數(shù)估計來擬合實際觀測數(shù)據(jù)。由于地下模型參數(shù)網(wǎng)格個數(shù)通常遠遠大于觀測數(shù)據(jù)個數(shù)，反演方程通常是欠定，反演結(jié)果并不唯一。通過在模型目標函數(shù)中添加最小模型及最平緩模型的限制，構(gòu)建L2范數(shù)條件下的反演方法，解決了反演問題中解的非唯一性問題。

其中，w(z)為深度加權(quán)函數(shù)。在位場反演的過程中，由于該函數(shù)隨深度的迅速衰減，會產(chǎn)生類似電場中的“趨膚效應(yīng)”，即反演結(jié)果基本趨向集中于地表。為了克服這種效應(yīng)，Li & Oldenburg（1996, 1998）引入了深度加權(quán)函數(shù)，用來近似地補償核函數(shù)隨著深度的衰減。

實際觀測數(shù)據(jù)中通常都含有一定的噪音，這些噪聲既可能來源于采集時儀器或者人工誤差，也可能來自數(shù)據(jù)后處理過程中的誤差。因此，定義一個合理的評價數(shù)據(jù)的誤差數(shù)據(jù)目標函數(shù)，即數(shù)據(jù)擬合差是十分有必要的。

利用Tikhonov正則化理論構(gòu)建反演目標函數(shù)：min：φ（m）=φd+μφm，其中μ為Tikhonov正則化參數(shù)。對反演目標函數(shù)求最小值

在實際地球物理反演過程中，通常會有大量的地質(zhì)、地球物理等先驗約束信息。通過拉格朗日乘子法，可以構(gòu)建約束條件下的三維位場數(shù)據(jù)反演目標函數(shù)，使物性分布特征等先驗信息可以添加進反演過程之中。此時，反演過程還需要滿足如下關(guān)系式：

引入拉格朗日乘子、松弛變量以及懲罰函數(shù)，并求取最小值可以得到：

通過拉格朗日乘子法中約束項的引入，使反演目標函數(shù)得到適當(dāng)擴展，重新構(gòu)建了新的三維位場反演的目標函數(shù)，由于各種先驗信息在反演過程中的使用，會在一定程度上對反演結(jié)果起到“聚焦”的作用，同時也更加符合實際情況。