于靖波, 李忠
中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所巖石圈演化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100029
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反正切函數(shù)擬合下的地震數(shù)據(jù)體斷裂刻畫方法
于靖波, 李忠
中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所巖石圈演化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100029
利用界面的形狀或者其不連續(xù)性是基于疊后地震數(shù)據(jù)刻畫斷裂的兩種主要方法,根據(jù)實(shí)際地震資料的特點(diǎn),兩種方法各有其優(yōu)劣性.對(duì)于同界面形狀相關(guān)的斷裂刻畫方法,較常用的為地震曲率屬性.受實(shí)際斷裂模型的制約,在曲率屬性的基礎(chǔ)上,曲率變化率表現(xiàn)出對(duì)斷裂更強(qiáng)的相關(guān)性及敏感性.本文發(fā)展了以反正切函數(shù)為準(zhǔn)線的柱面擬合法來刻畫斷裂,主要包括兩個(gè)步驟,分別為:一、柱面直母線的擬合;二、柱面準(zhǔn)線擬合及曲率變化率的求取.實(shí)際地震資料計(jì)算結(jié)果表明,該方法對(duì)斷裂刻畫的精度高于傳統(tǒng)方法,能夠揭示更多的斷裂細(xì)節(jié),特別是對(duì)于地震剖面上不易識(shí)別的小斷距斷裂,亦能夠清晰的刻畫,同時(shí)具有較高的信噪比.
曲率變化率; 斷裂刻畫; 柱面擬合; 反正切函數(shù); 地震屬性
就疊后地震數(shù)據(jù)體而言,利用同相軸的不連續(xù)性或者其幾何形態(tài)是多年來用作斷裂刻畫的兩種主流方法,其代表性的分別為地震相干體計(jì)算(Bahorich and Farmer, 1995; Marfurt et al., 1998; Gersztenkorn and Marfurt., 1999; Marfurt et al., 1999; Cohen and Coifman, 2002; Lu et al., 2005; 謝春臨等,2011;楊濤濤等,2013)與地震曲率屬性(Lisle, 1994; Roberts, 2001; Sigismondi and Soldo, 2003; Al-Dossary and Marfurt, 2006; Blumentritt et al., 2006; Chopra and Marfurt, 2007, 2010;王雷等,2010;楊威等,2011;印興耀等,2014).可以說兩種方法各有其優(yōu)缺點(diǎn).相干體利用波形的相似性,找出界面的不連續(xù)性.理論上,有斷裂的地方,無論其斷距大小,地震反射界面經(jīng)過斷點(diǎn)時(shí),都會(huì)產(chǎn)生地震波振幅及相位的變化,從而引起較低的相干值.對(duì)于實(shí)際疊后地震資料,受數(shù)據(jù)處理過程的影響,例如疊加、濾波處理,特別是背景噪聲較大,在提高信噪比過程中的平滑濾波,往往會(huì)增大斷裂處的相干值,從而影響到相干體刻畫斷裂的精度,因此常常需要在提高信噪比與斷裂刻畫精度之間做出權(quán)衡.而曲率屬性則直接通過斷裂面的幾何形狀刻畫斷裂,它在一定程度上彌補(bǔ)了平滑濾波的影響.但是曲率屬性基于二次曲面的考慮,因此常遇到一些具二次曲面特征的地質(zhì)界面,例如谷地、褶皺轉(zhuǎn)折端等在斷裂刻畫時(shí)造成混淆的情況.另外,當(dāng)斷距比較小時(shí),曲率屬性也表現(xiàn)出刻畫精度的不足(Yu, 2014).針對(duì)以上問題,Yu(2014)依斷裂面的幾何性質(zhì),考慮到對(duì)斷開的界面及斷裂面進(jìn)行擬合后的曲面是一個(gè)具有拐點(diǎn)的三次或更高次的曲面,因此提出了曲率變化率的方法,本次研究在之前工作的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步發(fā)展了以柱面擬合為基礎(chǔ)的斷裂刻畫方法,在保持原有刻畫精度的基礎(chǔ)上,顯著地提高了計(jì)算結(jié)果的信噪比.
如圖1a所示,通常斷裂面表現(xiàn)為一個(gè)曲面,如果用兩個(gè)相互平行的豎直平面切割這個(gè)斷裂模型,則當(dāng)兩平面逐漸靠近時(shí),將產(chǎn)生一個(gè)次級(jí)“階梯狀”模型,如圖1b所示.此時(shí),斷裂面將趨于一個(gè)平面,而斷裂面同兩側(cè)地層界面的組合(圖1b中陰影部分)則表現(xiàn)為一個(gè)柱面,該柱面具有分段函數(shù)表達(dá)式.為了表征的方便,我們可以用另一個(gè)與之近似的可用連續(xù)函數(shù)表達(dá)的柱面(圖1c)對(duì)該模型進(jìn)行擬合,進(jìn)而提取所需屬性來刻畫斷裂.令r表示圖1c中曲面,則有
r=a(u)+vl,
(1)
其中a(u)為柱面的準(zhǔn)線,l為柱面的直母線.可見a(u)兩端延伸方向與斷裂傾向平行或者斜交,而l平行于斷裂走向.
(2)
其中κ為曲率,ds為弧微分.
進(jìn)一步的分析可知,對(duì)于三次曲線z(x),其兩端延伸方向同z軸(擬合時(shí)地震記錄的垂向軸)夾角小于45°,但實(shí)際地層界面傾角多介于0°~45°,較少介于45°~90°,即界面延伸方向更趨于水平方向,而非豎直方向.特別是地震所能記錄到的資料更是如此,如圖1c中準(zhǔn)線兩端延伸方向通常與x軸或y軸(橫向)的夾角小于45°,而同z軸(垂向)夾角大于45°,這種同三次曲線的延伸方向的不一致就導(dǎo)致了擬合時(shí)時(shí)常產(chǎn)生“噪聲”.如圖2a所示,為了對(duì)圖中斷裂模型較好地?cái)M合,在選用三次曲線時(shí),必須要加大三次函數(shù)中一次項(xiàng)的權(quán)重,如選z=0.3x3-1.5x(其函數(shù)圖形見圖2a中擬合曲線),可以對(duì)其中的斷裂模型進(jìn)行較為合適地?cái)M合.該三次曲線的曲率及曲率變化率如圖2a所示,可見,同曲率相比,曲率變化率對(duì)斷裂的敏感性更強(qiáng),但是一個(gè)斷裂對(duì)應(yīng)了4個(gè)曲率變化率極值,這將會(huì)影響到計(jì)算結(jié)果的斷裂分辨能力.本次研究,充分考慮了實(shí)際斷裂模型的這一特點(diǎn),選用反正切函數(shù)z=-arctanx來擬合斷裂模型,如圖2b所示,反正切函數(shù)同斷裂模型吻合很好,同時(shí)基于此函數(shù)的曲率變化率克服了三次曲線曲率變化率的不足,即只有一個(gè)極大值,這在利用該屬性提取斷裂信息時(shí),能夠有效地提高了計(jì)算結(jié)果的分辨率.
圖1 斷裂模型分析(修改自Yu,2014)
圖2 曲率及曲率變化率的對(duì)比
如前文所述,我們可以利用以反正切函數(shù)為準(zhǔn)線的柱面對(duì)斷裂面及兩側(cè)地層界面的組合進(jìn)行擬合,然后計(jì)算柱面準(zhǔn)線的曲率變化率,以此來刻畫斷裂.該方法包括對(duì)斷裂模型的擬合及曲率變化率的求取兩個(gè)方面,其中對(duì)斷裂模型的擬合分為柱面直母線擬合與準(zhǔn)線擬合兩個(gè)步驟.為了完整表達(dá)柱面,我們?cè)谒椒较颍▁y平面)選擇5×3個(gè)樣點(diǎn)(以圖3中彩色及黑色實(shí)心圓表示),5個(gè)樣點(diǎn)方向即為柱面準(zhǔn)線延伸方向,3組5個(gè)樣點(diǎn)是為了確定柱面直母線的延伸方向.
圖3 計(jì)算所需的樣點(diǎn)組合
3.1 柱面直母線擬合
對(duì)于直母線l延伸方向(即斷裂的走向),由于涉及到不同樣點(diǎn)組的選擇,我們首先限定其所在區(qū)間.如圖3(a、b)中左上角插圖陰影部分所示,圖a中代表斷裂走向與y軸夾角呈-45°到45°,而圖b中代表斷裂走向與x軸夾角呈-45°到45°.這兩種情況代表了斷裂所有可能的走向.對(duì)于每種情況,分別擬合其中5個(gè)彩色樣點(diǎn),進(jìn)而求擬合曲線的曲率變化率,受斷裂模型自身特點(diǎn)的制約,曲率變化率大者更加接近斷裂面傾向的方向,也即確定了斷裂走向區(qū)間.具體包括兩個(gè)步驟,分別為:
1)樣點(diǎn)的擬合.基于前文斷裂模型的分析,我們可以用反正切函數(shù)對(duì)斷裂及兩側(cè)被斷開的界面組合進(jìn)行很好的擬合.以圖3a樣點(diǎn)為例,其樣點(diǎn)的空間分布如圖4a所示,各樣點(diǎn)的編號(hào)如圖4b所示.令坐標(biāo)原點(diǎn)位于分析點(diǎn)(紅色實(shí)心圓表示).為了便于擬合,令x軸方向各相鄰樣點(diǎn)水平間距為5,這樣樣點(diǎn)分布范圍為-10到10.如圖2b中擬合曲線所示,當(dāng)以閉區(qū)間[-10, 10]截取反正切函數(shù)時(shí),其符合所期望的函數(shù)圖形.另外,為了便于討論,令y軸方向各相鄰樣點(diǎn)水平間距為1.在y=0平面,用以下一般的反正切函數(shù)
(3)
對(duì)圖3a中彩色樣點(diǎn)進(jìn)行擬合.其中a為待求參數(shù).考慮到通常地層會(huì)存在一定的傾斜,在這種情況下,斷裂發(fā)生時(shí),除具有(3)式中一般反正切函數(shù)的特點(diǎn)外,函數(shù)圖像還應(yīng)該有一定的旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)符合地層界面的傾角.此時(shí),可以利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換,對(duì)原函數(shù)做旋轉(zhuǎn)后再進(jìn)行擬合,旋轉(zhuǎn)變換方程如下:
(4)
其中θ為任意旋轉(zhuǎn)的角度.此式若把θ當(dāng)作未知數(shù),在通過最小二乘法作擬合時(shí)需要對(duì)θ求偏導(dǎo),求解較為復(fù)雜,我們只需假設(shè)θ在一定范圍內(nèi)變化,對(duì)每一個(gè)θ取值做一次最小二乘擬合,這樣遍歷各θ值后,比較各次擬合公差,便能確定θ值,同時(shí)確定(3)式中的a值.下面以圖4b中β-2-β25個(gè)樣點(diǎn)為例做說明.假設(shè)(4)式中θ已知,將(3)式代入(4)式,利用最小二乘擬合,有
(5)
其中Zβi(i=-2,-1,1,2)代表樣點(diǎn)βi縱坐標(biāo).這樣將(5)式代入(3)式,就求得了擬合曲線.
(6)
比較圖3(a、b)中兩種情況下曲率變化率在分析點(diǎn)處的值,其中較大者即指明了柱面直母線方向所在的區(qū)間.這里不妨假設(shè)圖3a中5個(gè)彩色樣點(diǎn)的擬合曲線在分析點(diǎn)處具有較大的曲率變化率,那么我們用圖3a中15個(gè)樣點(diǎn)來進(jìn)一步確定柱面直母線方向.假設(shè)通過原點(diǎn)的直母線與平面y=1的交點(diǎn)為(p,q),柱面與平面y=1相交于z1,那么根據(jù)柱面性質(zhì),z1在形狀上與z0完全相同,只是產(chǎn)生了一定的位移,水平位移為p,垂向位移為q,即在平面y=1,有
(7)
同時(shí),在平面y=-1,有
(8)
接下來,我們有兩種方法確定p、q值.一種是解析法,通過z1、z-1分別同平面y=1、y=-1內(nèi)的樣點(diǎn)進(jìn)行擬合來確定,另一種是利用逐點(diǎn)掃描法,令p、q在一定范圍內(nèi)逐點(diǎn)取值,求得z1、z-1后,再求其與平面y=1、y=-1內(nèi)各樣點(diǎn)的差值,當(dāng)差值絕對(duì)值的和取到最小時(shí),所對(duì)應(yīng)的p、q即為所求.由于第一種方法求解過程中涉及到反三角函數(shù)同冪函數(shù)乘積的混合求解問題,難以獲得解析表達(dá)式,因此本次研究采用后者.
如圖4b、c所示,圖中陰影部分代表了p、q的取值范圍,即p∈[-5, 5],q∈[-HW,HW],其中HW為半時(shí)窗.通過逐點(diǎn)將(p,q)代入(7)、(8)式,并比較曲線與樣點(diǎn)的差值大小,最終確定p、q值..
3.2 柱面準(zhǔn)線擬合及曲率變化率的求取
在上一步驟中,我們實(shí)際上已經(jīng)對(duì)柱面準(zhǔn)線在一定程度上進(jìn)行了擬合,只是僅用到了5個(gè)采樣點(diǎn)(即圖3中的5個(gè)彩色樣點(diǎn)),而沒有使所有樣點(diǎn)參與計(jì)算,這樣會(huì)影響結(jié)果的精度及穩(wěn)定性.如圖4b,對(duì)各樣點(diǎn)進(jìn)行編號(hào),利用上一步確定的p、q值,基于最小二乘法,通過(3)、(7)、(8)式的反正切函數(shù)對(duì)圖4中15個(gè)樣點(diǎn)進(jìn)行擬合,確定a值.略去繁瑣的推導(dǎo)過程,其結(jié)果如下:
圖4 柱面擬合示意圖
其中Ai=arctan(5i-p),Zαi、Zβi、Zγi(i=-2, -1, 0, 1, 2)為各樣點(diǎn)的縱坐標(biāo).
最后計(jì)算分析點(diǎn)處的曲率變化率,由于坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在分析點(diǎn)處,因此(6)式中x=0,于是計(jì)算簡(jiǎn)化為
(10)
將(9)式代入(10)式,即得所需曲率變化率.
該方法以同相軸所代表的地質(zhì)界面形態(tài)為基礎(chǔ).當(dāng)界面發(fā)生斷裂時(shí),沿?cái)嗔衙鎯A向,曲率變化率具有極大值.由于首先對(duì)斷開的界面進(jìn)行柱面擬合,柱面準(zhǔn)線的延伸方向與斷裂面傾向一致,這樣通過計(jì)算柱面準(zhǔn)線的曲率變化率,能夠保證計(jì)算結(jié)果取得極大值,因此能夠反映出斷裂存在.理論上,在合理擬合斷裂的前提下,只要存在垂向上的斷距,無論大小,都可以得到曲率變化率的相對(duì)高值,但是實(shí)際資料,即使濾波處理后,仍存在不少噪聲干擾、同相軸橫向強(qiáng)弱變化等,均能對(duì)結(jié)果產(chǎn)生干擾作用.受實(shí)際資料的約束,計(jì)算結(jié)果定性地反映了小斷距斷裂的平面分布情況.
曲率變化率對(duì)界面的變化較為敏感,對(duì)地震資料的品質(zhì)有一定的要求.一般情況下,當(dāng)信噪比較低時(shí),往往難以從曲率變化率計(jì)算結(jié)果中,有效分辨出單條斷裂,此時(shí),需要對(duì)同相軸做平滑處理(如中值濾波、構(gòu)造約束濾波等).在同相軸平滑處理過程中,界面的形態(tài)通常能夠保持,特別是斷裂引起的界面彎曲形態(tài)不會(huì)因?yàn)槠交?因此,當(dāng)?shù)卣鹳Y料品質(zhì)不高時(shí),只需對(duì)其進(jìn)行平滑濾波,再進(jìn)行曲率變化率的計(jì)算,這樣不但能提高結(jié)果的信噪比,亦能有效地保留斷裂信息.
下面用一個(gè)實(shí)例來考察本文方法的優(yōu)越性.實(shí)際疊后地震資料來源于塔中北斜坡的西部平臺(tái)區(qū),2 ms采樣率,面元為25×25 m.該地區(qū),如圖中黃線標(biāo)出的地層界面之上為桑塔木組海相碎屑巖沉積,界面之下為良里塔格組碳酸鹽巖沉積,二者之間較大的波阻抗差,使得良里塔格組頂界面在地震資料中被清晰地記錄.這也為我們對(duì)斷裂刻畫結(jié)果的驗(yàn)證提供了良好的基礎(chǔ).如圖5a中AA′-EE′為同一條斷裂不同段的橫切剖面,(b、c)中FF′、GG′為橫跨不同斷裂的剖面.圖中黑色箭頭指明了斷裂位置.這些剖面中大多數(shù)斷裂的斷距都比較小,另外同一條斷裂,不同段斷距也不盡相同,如圖5a中BB′、EE′兩處斷距明顯小于AA′、CC′、DD′,甚至在地震剖面上,不經(jīng)過反復(fù)對(duì)比,難以識(shí)別.這些地震剖面的位置如圖6所示.
圖5 橫跨斷裂的地震剖面
圖6 不同地震屬性斷裂刻畫效果對(duì)比
圖6為由不同方法計(jì)算的屬性體,沿良里塔格組頂面提取的屬性切片.(a—d)為分別用地震相干技術(shù)、曲率及兩種不同柱面擬合下的曲率變化率計(jì)算的結(jié)果.顯然傳統(tǒng)的相干技術(shù)及曲率屬性,在刻畫斷裂時(shí)損失了不少細(xì)節(jié),特別是斷距較小時(shí).如BB′、EE′在曲率切片上沒能顯示,EE′在相干體切片上也沒能得到顯示.相比之下,兩種曲率變化率切片刻畫出了許多斷裂細(xì)節(jié),如上述斷距較小的BB′、EE′都得到了清晰顯示.但是與圖6d相比,圖6c的信噪比較低,這是解釋中所不希望出現(xiàn)的結(jié)果,因此本次研究在之前研究的基礎(chǔ)上,既保留了斷裂刻畫的細(xì)節(jié),又有效地提高了刻畫結(jié)果的信噪比.如圖2a所示,如果利用三次曲線作為柱面擬合時(shí)的準(zhǔn)線,則當(dāng)?shù)貙咏缑鎯A角較小時(shí),可能會(huì)出現(xiàn)同一條斷裂對(duì)應(yīng)多個(gè)曲率變化率極值,這勢(shì)必引起許多干擾,特別是斷裂密集處,對(duì)單條斷裂的識(shí)別帶來一定的困難(圖6c).而使用反正切函數(shù)作為柱面準(zhǔn)線時(shí)(圖2b),有效避免了同一條斷裂出現(xiàn)多個(gè)極值的問題.對(duì)應(yīng)于本例中的圖6d,可見干擾信號(hào)明顯得到了抑制,有效改善了個(gè)別斷裂的拾取.
柱面擬合下的曲率變化率斷裂刻畫方法是對(duì)相干體技術(shù)、地震曲率屬性的補(bǔ)充,由于其對(duì)界面變化的敏感性高于曲率,因此,其優(yōu)勢(shì)在于能夠刻畫更低級(jí)別的小斷距斷裂.實(shí)際地質(zhì)情況,存在諸如河道、帶狀隆起等局部具有類似斷裂的界面組合,會(huì)導(dǎo)致該方法存在多解性.因此,在實(shí)際地震解釋中,應(yīng)該視其為輔助方法,同時(shí)結(jié)合剖面的觀察,才能既高效地表征斷裂,又可避免錯(cuò)誤的解釋.
本次研究依斷裂模型自身特點(diǎn),提出了以反正切函數(shù)為準(zhǔn)線的柱面對(duì)斷裂模型進(jìn)行擬合,進(jìn)而求取準(zhǔn)線的曲率變化率達(dá)到刻畫斷裂的目的.曲率變化率本質(zhì)上具三階導(dǎo)數(shù)特征,對(duì)斷裂發(fā)生處的界面變化較曲率更加敏感,實(shí)踐表明,同傳統(tǒng)的曲率及相干技術(shù)相比,曲率變化率能有效地提高斷裂刻畫的精度,特別是對(duì)斷距較小,地震剖面上不易直觀識(shí)別的斷裂亦能有效揭示.本方法是對(duì)柱面擬合法刻畫斷裂的進(jìn)一步發(fā)展,考慮到了實(shí)際地層傾斜情況,以反正切函數(shù)代替三次曲線作為柱面的準(zhǔn)線,其計(jì)算結(jié)果在信噪比方面有了顯著的改善.
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(本文編輯 汪海英)
Using arctan function-based fitting method to characterize faults and fractures
YU Jing-Bo, LI Zhong
StateKeyLaboratoryofLithosphericEvolution,InstituteofGeologyandGeophysics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100029,China
When using post-stack seismic data for characterizing faults and fractures, there are two different sets of seismic attributes available to choose, i.e. surface-shape-related and seismic discontinuity attributes. Depending on seismic data itself, each of them has its good points. Curvature falls into the former category and is powerful and popular in delineating faults and fractures. Based on our study, the curvature change rate is more relevant and sensitive to a faulted horizon. The new method employs the fitting of a cylindrical surface with arctan function as its directrix to characterize faults and fractures, including generatrix fitting and directrix fitting, both fittings are estimated in a least square sense. And then we calculate the curvature change rate of the directrix of the cylindrical surface. The applications of the new attribute demonstrate it can detect more subtle faults and fractures than traditional seismic attributes, especially for characterizing faults with small throws, and the results show high signal-to-noise ratio.Keywords Curvature change rate; Characterizing faults and fractures; Cylindrical surface fitting; Arctan function; Seismic attribute
國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05008-003),國(guó)家青年科學(xué)基金(41204059)資助.
于靖波,男,1982年生,固體地球物理學(xué)博士,主要從事地震屬性及反演工作.E-mail:yujingbo@mail.iggcas.ac.cn
10.6038/cjg20151224.
10.6038/cjg20151224
P631
2015-04-08,2015-10-22收修定稿
于靖波, 李忠. 2015. 反正切函數(shù)擬合下的地震數(shù)據(jù)體斷裂刻畫方法.地球物理學(xué)報(bào),58(12):4628-4635,
Yu J B, Li Z. 2015. Using arctan function-based fitting method to characterize faults and fractures.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(12):4628-4635,doi:10.6038/cjg20151224.