曾 怡，郭祖華，趙士杰

(北京航空航天大學(xué)，北京 100191)

0 引言

對于多足機器人而言，至少有三條腿支撐才能保持機體穩(wěn)定，每個足端反力有3個分量。但對于一個移動機器人而言，只能列出6個平衡方程，無法解得唯一的解，這個問題被稱為力/力矩的分配問題［1-7］。國內(nèi)外許多學(xué)者對此問題進行了研究，歸納起來主要有兩種解決方法。第一種方法即偽逆法。V．Kumar［2］采用螺旋理論列出了多肢體系統(tǒng)的平衡方程，根據(jù)偽逆的思想，推導(dǎo)了足端支反力的求解公式，該方法沒有考慮摩擦約束。J．F．Gardner［3］通過實驗結(jié)果補充了兩個有關(guān)摩擦力的方程，同樣利用偽逆理論進行求解，該方法得到的結(jié)果不能保證機器人關(guān)節(jié)的控制力矩最優(yōu)。第二種方法即優(yōu)化法。Mustafa Suphi Erden［4］和王新杰［5］都推導(dǎo)了以關(guān)節(jié)力矩為變量的動力學(xué)方程、摩擦約束方程，分別以關(guān)節(jié)力矩平方和最小、電機所需功率總和最小為目標(biāo)函數(shù)，進行優(yōu)化求解，使得機器人關(guān)節(jié)力矩達到最小。該方法克服了文獻［3］中的問題，但計算費時。此外，H．Y Liu［6］補充了三個與足端反力有關(guān)的線性方程，實現(xiàn)了解析求解，計算速度快，由于忽略了一些約束條件，得到的關(guān)節(jié)力矩較大。本文中提出一個新的力分配算法，在求解模型中考慮了機器人動力學(xué)模型和足端的摩擦條件，然后對方程組進行線性化處理，得到一組關(guān)于關(guān)節(jié)力矩的線性方程組，然后采用偽逆法求解該方程組，該方法求解得結(jié)果既保證了關(guān)節(jié)力矩最小，又保證了高的計算效率。

1 計算模型

這類問題中的約束條件和接觸反力有關(guān)，故將這些非線性等式約束用一組非線性方程組抽象表達為:

式中:f為支反力向量。

利用Newton-Euler建立動力學(xué)方程，然后改變動力學(xué)方程形式，簡記成如下形式:

式中:τ為關(guān)節(jié)力矩向量;A，C為系數(shù)矩陣。

把式(3)代入式(1)中，有:

對于方程(4)利用泰勒公式展開，在初值τ0附近取一階近似對原方程進行線性化處理:

…，m;m為關(guān)節(jié)力矩向量τ的維數(shù);i為約束方程的個數(shù)。

把方程(5)寫成矩陣的形式如下:

把式(3)代入式(2)中，得:

簡記作:

由式(7)和式(9)組合，得:

方程(10)包含了動力學(xué)約束Aτ和非線性約束G。其中，Aτ為n×m的矩陣。假設(shè)補充的方程個數(shù)為m-n，那么方程(10)有唯一解。如果補充方程的個數(shù)小于m-n，則利用偽逆理論求具有最小范數(shù)的解。

由方程(6)可知，初值的選擇是一個關(guān)鍵的問題。如果初值的較為準(zhǔn)確，求解過程收斂速度將很快。通過循環(huán)迭代解決初值問題，跌代過程如下。

隨意給定初始值τ0;利用偽逆理論求解τ;計算|τ-τ0|，如果小于ε，退出循環(huán)。否則，跳轉(zhuǎn)把τ賦給τ0，回到式(2)繼續(xù)計算。

在機器人行走過程中，只需要在第一時間步時通過上述循環(huán)計算出τ0，然后計算τ。在下一時刻，只須用上一時刻的τ作為初值τ0進行當(dāng)前時刻的關(guān)節(jié)力矩計算，而不再需要跌代，這可以使計算速度大為提高，而且計算結(jié)果足夠精確。

2 計算實例

筆者以機器人三條腿支撐情況為例驗證新算法?，F(xiàn)給出六足機器人的模型和結(jié)構(gòu)參數(shù)，如圖1和表1所示。

圖1 一條腿的坐標(biāo)系示意圖

表1 軀體及桿件的設(shè)計參數(shù)

此時只有6個平衡方程，但有9個未知量?，F(xiàn)引用文獻［1］的補充方程:

其中:fxi，fyi，fzi，i=1，2，3 為足端反力的三個分量。

F、M為軀體的慣性力/力矩減去邁步腿對軀體作用的力/力矩所得的支撐腿對軀體作用的力/力矩。

圖3顯示了三種不同方法求得的三個支撐足的足端支反力大小，結(jié)果顯示，三種方法求得的結(jié)果變化趨勢一致，其中偽逆法求得的支反力大小略小，另外兩種方法求得的支反力大小幾乎完全一樣。

圖4給出了三種算法求得的每條支撐腿足端反力的切法比系數(shù)。結(jié)果顯示，偽逆法求得的切法比系數(shù)非常小，小于10-3。而優(yōu)化法和新算法求出的切法比系數(shù)大小相當(dāng)，都在0．15左右，滿足足端不打滑的約束條件。

圖2 支撐腿關(guān)節(jié)力矩的平方和

圖3 三個支撐腿的足端力變化

圖4 三支撐腿支反力比率的變化

圖5 顯示了機器人單步行走時，三條支撐腿的力矩大小變化。其中最左側(cè)的一列是各腿關(guān)節(jié)1的力矩，最右側(cè)的一列是各腿關(guān)節(jié)3的力矩。從圖中可以看出，由于偽逆法和優(yōu)化法、新算法追求的目標(biāo)不一樣，所以得到的各關(guān)節(jié)力矩有較大區(qū)別。用偽逆法求得的結(jié)果顯示各條腿關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)3的力矩很小，而關(guān)節(jié)2的力矩很大;用優(yōu)化法和新算法求得的結(jié)果也是關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)3的力矩小，關(guān)節(jié)2的力矩大，但差別沒有那么顯著。另外，用優(yōu)化法和新算法得到的結(jié)果有所差別，關(guān)節(jié)1的力矩差別比較大，但數(shù)值都比較小。關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的力矩變化趨勢一致，大小略有不同。結(jié)合圖2可以看出，使用用不同的力分配方法，在采用相同的步態(tài)行走一步時，機器人各個關(guān)節(jié)的力矩平方和的不同，圖中2顯示新方法的力矩與優(yōu)化法類似但明顯優(yōu)于傳統(tǒng)偽逆法，所以可以推測新方法可以使機器人的總體能耗小于傳統(tǒng)偽逆法。利用優(yōu)化法和新算法求解機器人單步行走關(guān)節(jié)力矩大小時，記錄了兩種算法的求解時間。優(yōu)化法耗時5 019 ms，新算法耗時21 ms，可見新算法的計算效率比優(yōu)化法高很多，可用于實時控制。

圖5 支撐腿9個關(guān)節(jié)力矩的變化

3 結(jié)論

本文提出了一種新的多足機器人足端反力的求解方法。在求解模型中考慮了機器人動力學(xué)平衡和足端的摩擦條件，然后對方程組進行線性化處理，得到一組關(guān)于關(guān)節(jié)力矩的線性方程組，然后采用偽逆法求解該方程組。本文以六足機器人三條腿支撐為例，利用偽逆法、優(yōu)化法和新算法求解機器人一步行走過程中的關(guān)節(jié)力矩大小。從計算結(jié)果來看，偽逆法得到的結(jié)果偏于保守，能耗較大，而優(yōu)化法和新算法得出的關(guān)節(jié)力矩比較小，保證了機器人能耗較小。從計算時間上看，新算法求解速度快，用時短，計算效率高，優(yōu)于優(yōu)化方法。因此，用新算法得到的力/力矩分配方案既保證了關(guān)節(jié)力矩最小，又保證了高的計算效率，可用于實時控制。

［1］ Cheng Fan-Tien，Orin David E．Efficient Algorithm for Optimal Force Distribution-The Compact-Dual LP Method［J］．IEEE Transactions on Robotics and Automation，1990，6(2):178-187．

［2］ V．Kumar，K．J．Waldron．Force Distribution in Closed Kinematic Chains［J］．IEEE Journal of Robotics and Automation，1988，4(6):657-664

［3］ J．F．Gardner．Efficient Computation of Force Distributions for Walking Machines on Rough Terrain［J］．Robotica，1992，10(5):427-433．

［4］ Mustafa Suphi Erden，Kemal Leblebicio?glu．Torque Distribution in a Six-Legged Robot［J］．IEEE Transactions on Robotics，2007，23(1):179-186．

［5］ 王新杰．多足步行機器人運動及力規(guī)劃研究［D］．武漢:華中科技大學(xué)，2005．

［6］ H．Y．Liu，B．C．Wen．Force Distribution for the Legs of a Quadruped Walking Vehicle［J］．Journal of Robotic Systems，1997，14(1):1-8．

［7］ 趙士杰．六足機器人運動軌跡規(guī)劃［D］．北京:北京航空航天大學(xué)，2014．