楊金顯, 陳超, 李志鵬

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院, 河南 焦作 454000)

0 引 言

基于MEMS慣性器件構(gòu)建低成本的微型慣性測量組合(Miniature Inertial Measurement Unit,MIMU)其體積小、質(zhì)量輕、價格低、抗震動沖擊能力強等優(yōu)點,越來越受到重視。但是,其系統(tǒng)中存在多個誤差源,包括慣性元器件的安裝誤差、測量誤差、初始對準(zhǔn)誤差以及計算誤差,這些誤差大大影響了系統(tǒng)信號的準(zhǔn)確性與實時性。其中慣性元器件的測量誤差對系統(tǒng)誤差影響最為明顯,而慣導(dǎo)單元測量誤差主要由陀螺漂移產(chǎn)生。所以,陀螺儀的測量誤差決定了系統(tǒng)的精度[1-2]。為解決陀螺儀測量過程中容易產(chǎn)生漂移的問題,近年來不少學(xué)者提出利用小波算法或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論對陀螺儀進行降噪處理[3-4],以減少隨機誤差對陀螺漂移的影響。但是小波算法考察的是整個時域過程的頻域特征或整個頻域過程的時域特征,對于平穩(wěn)過程,有很好的效果,但對于非平穩(wěn)過程卻有諸多不足。鑒于陀螺儀的數(shù)據(jù)分析是動態(tài)的非平穩(wěn)性的,其并不適合。文獻[5-6]提出在時間序列模型的基礎(chǔ)上建立AR模型,對數(shù)據(jù)進行濾波處理,但是對不能使用低階AR模型描述的陀螺漂移,文獻[5-6]的方法濾波效果并不好。

為了克服小波算法的局限性,本文提出一種基于ARIMA模型的MEMS陀螺儀信號卡爾曼濾波處理算法。相對于AR模型,ARIMA模型運用差分方法去除了時間序列的趨勢等因素,并不需要時間序列是均值為0的靜態(tài)時間序列的條件,它的適用性得到了很大的提高。

1 ARIMA模型的判別

按照時間順序把隨機事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成了一個時間序列。對時間序列進行觀察、研究,找尋它變化發(fā)展的規(guī)律,預(yù)測它將來的走勢就是時間序列分析。其中分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列,而ARIMA模型適用于差分平穩(wěn)序列擬合。

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型。其中,p為自回歸AR的自回歸項;q為移動平均MA的移動平均項數(shù);d為時間序列成為平穩(wěn)時所做的差分次數(shù)。ARIMA模型的基本思想:將預(yù)測對象隨時間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機序列,用一定的數(shù)學(xué)模型來近似描述這個序列。

1.1 模型結(jié)構(gòu)

ARIMA(p,d,q)模型差分算子為

Δxt=xt-xt-1=xt-lxt=(1-l)xt

Δ2xt=Δxt-Δxt-1=(1-l)xt-

(1-l)xt-1=(1-l)2xt

Δdxt=(1-l)dxt

(1)

對d階單整序列xt

wt=Δdxt=(1-l)dxt

(2)

若wt是平穩(wěn)序列,可對wt建立ARMA(p,q)模型,所得到的模型稱為ARIMA(p,d,q),模型形式

wt=φ1wt-1+φ2wt-2+…+φpwt-p+δ+

ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q

φ(l)Δdxt=δ+Θ(l)ut

(3)

式中,ut為白噪聲序列;δ是常數(shù)。由此便可轉(zhuǎn)化為ARMA模型。

1.2 樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的識別

(1) 平穩(wěn)AR(p)的自相關(guān)系數(shù)

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+ut

|φi|<1,i=1,2,…,p,E(ut)=0

(4)

xt-kxt=φ1xt-kxt-1+…+φpxt-kxt-p+xt-kxt

(5)

γk=φ1λk-1+φ2λk-2+…+φpλk-p,k>0

(6)

平穩(wěn)AR(p)的自相關(guān)系數(shù)是

pk=φ1pk-1+φ2pk-2+…+φppk-p,k>0

(7)

(2)k階平穩(wěn)自回歸過程AR(k)偏自相關(guān)系數(shù)

xt=φk1xt-1+φk2xt-2+…+φkkxt-k+ut

(8)

xtxt-j=φk1xt-1xt-j+φk2xt-2xt-j+…+

φkkxt-kxt-j+utxt-j

(9)

γj=φk1γj-1+φk2γj-2+…+φkkγj-k

(10)

兩邊同除以γ0

pj=φk1pj-1+φk2pj-2+…+φkkpj-k

(11)

對任意j>0都成立。根據(jù)ρ0=1和對稱性ρj=ρ-j,得到Y(jié)ule-Walker方程組

p1=φk1+φk2p1+…+φkkpk-1

p2=φk1p1+φk2+…+φkkpk-2

?

pk=φk1pk-1+φk2pkk-2+…+φkk

(12)

對于給定的k,p1,p2,…,pk已知,每個方程組最后一個解就是相應(yīng)的偏自相關(guān)系數(shù)φ11,φ22,…,φkk。

(3) MA(q)自相關(guān)系數(shù)

xt=μ+ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q

(13)

γk=E(xtxt-k)=

σ2(θk+θ1θk+1+…+θk-qθq)0

0k>q

(14)

pk=rkr0=1k=0

0k>q

(15)

當(dāng)k>q時,pk=0,xt與xt+k不相關(guān),這種現(xiàn)象稱為截尾,可根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點開始一直為0判斷MA(q)模型的階數(shù)q。

(4) MA(q)偏自相關(guān)系數(shù)。MA(q)模型對應(yīng)一個AR(∞),通過AR(∞)解決。

1.3 模型參數(shù)識別

通過觀察數(shù)據(jù)相關(guān)圖中自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏相關(guān)函數(shù)(PACF)可以得出數(shù)據(jù)適用于AR、MA還是ARIMA模型,并通過圖形形狀判斷p、d、q。表1和表2為ACF與PACF的理論模式圖形判斷的標(biāo)準(zhǔn)。

表1 ACF的典型模式

表2 PACF的典型模式

確定p、d、q,步驟:①通過單位根檢驗法確定xt～I(d)的d;②確定xt～AR(p)中的p;③確定xt～MA(q)中的q。平穩(wěn)序列自相關(guān)函數(shù)

pk=cov(xt,xt+k)var(xt)var(xt+k)=

cov(x0,xk)var(x0)var(x0)=rkr0

(16)

其中,p0=1,p-k=pk(對稱)。

1.4 建模步驟

(1) 識別。找出適當(dāng)?shù)膒、d、和q值。通過相關(guān)圖和偏相關(guān)圖可以解決。

(2) 估計。估計模型周所含自回歸和移動平均項的參數(shù)。有時可以用最小二乘法,有時候需要用非線性估計方法。

(3) 診斷(檢驗)。檢驗計算出來的殘差是不是白噪音,是,則接受擬合;不是,則重新再做。

(4) 預(yù)測。短期更為可靠。

2 MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)建模

2.1 數(shù)據(jù)采集與分析

因為MEMS陀螺角速度為0時的陀螺輸出信號能夠較好地反映其噪聲特性[10],所以本文首先以靜態(tài)漂移信號為例進行建模處理。由于陀螺噪聲信號是連續(xù)信號,而時序建模的對象是離散的時間序列,這就需要對連續(xù)信號進行采樣。以x軸的陀螺為例,采樣周期為10 ms。即每10 ms采集1次陀螺輸出的瞬時數(shù)據(jù)。進行20 min試驗。陀螺漂移原始測量部分信號如圖1所示。

圖1 原始數(shù)據(jù)

由圖1可知陀螺儀靜態(tài)信號由常量的零位偏移與噪聲信號組成,樣本序列是隨機時間序列。從文獻[10]對陀螺儀信號噪聲成分的分析可以知道,陀螺儀的隨機誤差主要為角度隨機游走和零偏不穩(wěn)定性;角度隨機游走是指由角速率隨機白噪聲積分引起的具有隨機游走特性的誤差角增量,角度隨機游走具有角速率白噪聲功率譜,是輸出信號的測量白噪聲。所以本文首先對陀螺儀原始數(shù)據(jù)進行時間序列分析建立ARIMA模型,然后使用卡爾曼濾波算法減小陀螺儀隨機誤差。

2.2 模型階數(shù)確定

由圖1可知,原始數(shù)據(jù)并未有明顯的上升與下降趨勢,只是在0值附近不斷的偏移,所以可以把陀螺儀靜態(tài)漂移信號看作平穩(wěn)信號進行處理,ARIMA模型參數(shù)中d=0。

觀察數(shù)據(jù)的相關(guān)分析圖(見圖2)。從圖2中可以看到,自相關(guān)函數(shù)序列ACF呈現(xiàn)正弦波形狀,這是AR(2)模型的特征。對時間序列,可以初步判定序列屬于二階自回歸模型;此外偏相關(guān)函數(shù)序列PACF呈現(xiàn)正弦波形狀,其自相關(guān)函數(shù)序列只有一個顯著不為0,因此判定時間序列適用于二階移動平均模型MA(1)。結(jié)合AR(2)、MA(1),可以判斷此時間序列滿足ARIMA(2,0,1)。

圖2 相關(guān)性分析圖

圖3 ARIMA模型擬合圖

圖3為ARIMA模型的擬合效果及殘差。計算ARIMA模型與AR模型的擬合殘差均值、擬合殘差方差見表3,可以看出陀螺儀靜態(tài)漂移信號的模型中,相對于常用的AR模型,本文選用的模型ARIMA(2,0,1)在擬合效果上有了一定的提高,是更為精確的模型。

表3 模型擬合數(shù)據(jù)比較

3 卡爾曼濾波方程的建立

卡爾曼濾波是一個高效的遞歸濾波器,它可以實現(xiàn)從一系列的噪聲測量中估計動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)[11-12]。

由以上得到的ARIMA(2,0,1)模型的參數(shù),即自回歸系數(shù),由最小二乘法可以算出模型參數(shù)為[0.7822;-0.04502;0.05241],則卡爾曼濾波方程的狀態(tài)空間模型

Xk=AXk-1+BWk-1

Zk=HXk+Vk

(17)

同時,Wk和Vk滿足

系統(tǒng)狀態(tài)為Xk=[t,t-1]T,過程噪聲為Vk=[at,0]T,狀態(tài)空間模型系數(shù)A、B為,

A=0.7822-0.04502

10,B=0,052410T

設(shè)系統(tǒng)的輸出為Zk=Xk,則輸出方程中的系數(shù)為H=[1,0]T

k,k-1=Ak-1,k-1
k,k=k,k-1+Kg(Zk-Hk,k-1)
Kg=Pk,k-1HT(HPk,k-1HT+R)-1
Pk,k-1=APk-1,k-1AT+BQBT
Pk,k=[I-KgH]Pk,k-1

(19)

圖4為卡爾曼濾波處理后的效果圖。由圖4可以看到濾波后的數(shù)據(jù)明顯比濾波前的數(shù)據(jù)平滑了,把漂移誤差角度有效的控制在0.01°范圍內(nèi)。表4中,σ2表示數(shù)據(jù)的方差,這個統(tǒng)計量是描述數(shù)據(jù)離散狀態(tài)很重要的指標(biāo),較小時,表示數(shù)據(jù)比較集中;較大時,表示數(shù)據(jù)的取值比較分散。從表4可以看出陀螺儀隨機漂移信號在經(jīng)過卡爾曼濾波后,σ2明顯減小。表4中2個模型濾波前后信號方差的對比,ARIMA模型的濾波效果相比于AR模型提高了42%,這些結(jié)果表明,選取以ARIMA誤差模型的卡爾曼濾波更能有效地抑制微機械陀螺的隨機漂移。

圖4 卡爾曼濾波處理效果圖

數(shù)據(jù)方差濾波前AR模型濾波ARIMA模型濾波σ2121E?0045281E?0053068E?005

圖5 動態(tài)非平穩(wěn)過程擬合圖

為驗證ARIMA建模在動態(tài)非平穩(wěn)過程條件下的處理效果,實驗室條件下,使用Z1C-DW-26H型電鎬分別模擬了鉆頭在空氣、磚塊、石灰、水泥等不同地質(zhì)情況下的鉆井工作,采集了不同的信號數(shù)據(jù)。圖5是對不同數(shù)據(jù)進行ARIMA模型擬合的效果圖。從圖5可以看出,在不同的動態(tài)非平穩(wěn)過程條件下ARIMA模型的擬合效果都很好,說明模型在動態(tài)非平穩(wěn)過程條件下依舊適合數(shù)據(jù)的擬合。

表5是在動態(tài)非平穩(wěn)過程條件下,陀螺儀隨機漂移信號經(jīng)過濾波處理后的方差對比。從表5可以看出,動態(tài)漂移信號在經(jīng)過卡爾曼濾波后,方差σ2明顯減小,說明ARIMA模型對于動態(tài)非平穩(wěn)信號的處理效果在大多數(shù)情況下優(yōu)于其他模型。表6分別在靜態(tài)和動態(tài)條件下,給出了1500個數(shù)據(jù)處理時2種模型算法的消耗時間,從表6數(shù)據(jù)可以看出,ARIMA誤差模型的濾波算法效率相比于AR模型也有著一定的優(yōu)勢。

表5 動態(tài)非平穩(wěn)過程濾波方差對比

表6 算法效率對比

4 結(jié) 論

(1) 提出了一種基于ARIMA模型的MEMS陀螺儀信號卡爾曼濾波處理算法,從算法思路及算法步驟等方面做了詳細講解,并對實測的陀螺儀的隨機噪聲信號進行降噪處理,處理結(jié)果與常用AR模型進行了對比說明。

(2) 該方法選用的誤差模型能夠較其他的模型更為精確,可以有效增強濾波效果,大大降低陀螺儀的零位偏移,減小陀螺儀的隨機誤差,這將對于隨鉆測量系統(tǒng)姿態(tài)估計的精度提高有很大幫助。

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