唐 皓，段 釗，趙法鎖，宋 飛，李香凝

(1.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610059； 2. 西安科技大學(xué)地質(zhì)與環(huán)境學(xué)院，西安 710054； 3.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，西安 710054)

基于分?jǐn)?shù)階微積分的Q2黃土含水損傷蠕變模型

唐 皓1，3，段 釗2，趙法鎖3，宋 飛3，李香凝3

(1.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610059； 2. 西安科技大學(xué)地質(zhì)與環(huán)境學(xué)院，西安 710054； 3.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，西安 710054)

為探索含水Q2黃土的蠕變特性，對(duì)Q2黃土進(jìn)行不同含水狀態(tài)下的三軸蠕變?cè)囼?yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明隨著含水率的增高，Q2黃土的流變性能增強(qiáng)?；诜?jǐn)?shù)階微積分構(gòu)造的軟體元件可描述理想的固體與流體之間材料性質(zhì)的特性，選用包含軟體元件在內(nèi)的四元件非線性蠕變模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸計(jì)算擬合求參，并對(duì)不同含水率下的模型參數(shù)進(jìn)行分析。結(jié)果顯示：瞬時(shí)變形模量EH與黏彈性系數(shù)ξ1均隨含水率增加呈指數(shù)形式遞減；引入含水損傷變量D(ω)，計(jì)算得出各蠕變參數(shù)含水損傷演化方程，進(jìn)而建立考慮含水損傷的非線性蠕變模型，通過(guò)應(yīng)用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明基于分?jǐn)?shù)階微積分的含水損傷蠕變模型能夠有效地描述Q2黃土的整體流變特征，模型具有較好的應(yīng)用前景。

Q2黃土；蠕變?cè)囼?yàn)；含水率；非線性；損傷；蠕變模型

1 研究背景

黃土在中國(guó)具有分布范圍廣、連續(xù)、地層發(fā)育完整及厚度大的特點(diǎn)。在西北地區(qū)由黃土構(gòu)成的黃土高原因其雄偉壯觀而聞名于世，但由于黃土遇水很容易導(dǎo)致其力學(xué)性質(zhì)降低，致使黃土高原地區(qū)時(shí)常發(fā)生滑坡、崩塌等地質(zhì)災(zāi)害。黃土遇水發(fā)生地質(zhì)災(zāi)害的成因與黃土流變特性具有較大的聯(lián)系，因此，不同含水狀態(tài)下黃土發(fā)生流變具有較強(qiáng)的研究?jī)r(jià)值。一般情況下，涉及黃土遇水發(fā)生流變主要是指蠕變，而描述黃土發(fā)生蠕變性質(zhì)最主要的方式是建立其流變模型。截止目前，已有一些學(xué)者對(duì)黃土的流變模型進(jìn)行了一定的研究，如通過(guò)元件組合建立線性模型；或者改進(jìn)線性元件為非線性元件，構(gòu)建非線性模型；再者應(yīng)用損傷力學(xué)的知識(shí)，結(jié)合元件模型建立了反映黃土損傷的蠕變模型。如郭增玉等[1]應(yīng)用五元件Kelvin模型描述高濕度黃土黏彈性特征，用1個(gè)Maxwell元件串聯(lián)1個(gè)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ颓也⒙?lián)1個(gè)塑性元件來(lái)描述黃土的黏塑性特征，最終將2個(gè)復(fù)合元件進(jìn)行串聯(lián)建立了描述高濕度Q2黃土的非線性流變模型；朱才輝等[2]則將Kelvin模型與Burgers模型串聯(lián)構(gòu)成M-B模型，模型較好地描述了壓實(shí)Q3黃土的蠕變特性；謝星等[3]則在考慮損傷門(mén)檻的統(tǒng)計(jì)損傷基礎(chǔ)上，應(yīng)用應(yīng)變等效原理，建立了考慮瞬時(shí)損傷的統(tǒng)計(jì)損傷流變模型，較好地描述了黃土流變的非線性特征；王東紅等[4]則在謝星的基礎(chǔ)上，將突變破壞時(shí)發(fā)生的蠕變損傷引入黃土的特性研究中，建立了考慮瞬時(shí)損傷和蠕變損傷的一維和三維流變模型。上述模型的建立主要是通過(guò)應(yīng)用Kelvin模型來(lái)描述黃土的線性流變特征，而非線性流變部分則通過(guò)改進(jìn)黏塑元件或者通過(guò)加入損傷演化方程來(lái)反映其性質(zhì)。雖然上述方法建立的模型均基本能夠反映黃土的流變特征，但多數(shù)模型結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，涉及的參數(shù)眾多，這不利于黃土工程建設(shè)的推廣。殷德順等[5]提出了一種軟體元件，應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分的原理描述介于理想固體與流體之間的巖土材料流變特性。該模型不僅能描述黃土的非線性衰減蠕變和等速蠕變，而且其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，涉及參數(shù)少，具有很好的推廣意義。除此之外，一些學(xué)者[6-17]在對(duì)其他巖土材料進(jìn)行蠕變模型研究時(shí)，引入了損傷力學(xué)及其他非線性建模技術(shù)，這給研究黃土蠕變模型積累了一定的技術(shù)經(jīng)驗(yàn)。

本文則在上述研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合軟體元件與線性力學(xué)元件，并引入考慮含水損傷的變量，嘗試建立一個(gè)參數(shù)少，又能反映黃土整體蠕變的非線性含水損傷蠕變模型。

2 不同含水率Q2黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)

2.1 試驗(yàn)材料及方法

試樣取自陜西省咸陽(yáng)市禮泉縣某黃土崩塌坡腳處天然Q2黃土。土樣多呈黃褐色，垂直節(jié)理發(fā)育、土質(zhì)密實(shí)均勻、天然含水量低。野外選取的試樣經(jīng)室內(nèi)加工后尺寸均為?39.1 mm×80 mm的圓柱體。按照試驗(yàn)?zāi)康?，采用水膜遷移法對(duì)其他試樣進(jìn)行人工增濕。得到4種不同含水率(8%，13%，17%，23%)的Q2黃土試樣。

蠕變?cè)囼?yàn)所用的儀器為CSS-2901TS型土體三軸流變?cè)囼?yàn)機(jī)。試驗(yàn)采用分級(jí)加載的方式進(jìn)行，圍壓恒定在50 kPa。試驗(yàn)前應(yīng)用常規(guī)三軸固結(jié)不排水試驗(yàn)得出不同含水率試樣的破壞強(qiáng)度，預(yù)先規(guī)定蠕變?cè)囼?yàn)的加載級(jí)數(shù)N，然后確定每級(jí)加載的荷載增量。試驗(yàn)時(shí)每一級(jí)加載持續(xù)12 h，待試樣變形穩(wěn)定后，再加下一級(jí)荷載。

2.2 含水Q2黃土蠕變特性

利用Boltzmann疊加原理對(duì)蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果進(jìn)行分析整理，得到各不同含水率Q2黃土試樣在50 kPa圍壓下的各級(jí)軸向荷載的應(yīng)變-時(shí)間曲線(圖1)。

圖1 不同含水率Q2黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)曲線Fig.1 Strain-time curves of triaxial creep tests on Q2 loess of different moisture contents

圖1中：ε為軸向變形；t為蠕變時(shí)間；ω為含水率；σ3為圍壓。由圖1觀察分析可知，不同含水率的Q2黃土蠕變具有如下特征：

(1) 不同含水率的黃土蠕變均能觀察到初始減速蠕變、等速蠕變和加速蠕變階段。

(2) 加載瞬時(shí)，不同含水率的黃土試樣均出現(xiàn)瞬時(shí)變形，且瞬時(shí)變形會(huì)隨著加載水平的增加而增大。

(3) 當(dāng)圍壓水平一定時(shí)，蠕變變形受含水量影響顯著，隨著含水率的增大，同級(jí)加載下的應(yīng)變量也隨之增加。

(4) 當(dāng)加載的應(yīng)力水平低于某一臨界時(shí)，黃土蠕變呈現(xiàn)衰減穩(wěn)定，且達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間較短，隨后蠕變以接近0的恒定速率繼續(xù)發(fā)展。

(5) 當(dāng)加載應(yīng)力水平高于某一臨界值時(shí)，黃土均會(huì)出現(xiàn)加速蠕變，而且隨著含水率的增大，加速蠕變從出現(xiàn)到試樣破壞時(shí)間減小。

(6) 隨著含水率的增大，黃土出現(xiàn)加速蠕變所需要的臨界應(yīng)力也逐漸減小。

3 非線性蠕變模型

3.1 分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件

傳統(tǒng)的巖土材料流變模型是由虎克體、牛頓體及理想塑性體經(jīng)過(guò)不同的串并聯(lián)組合構(gòu)成?；⒖梭w為一彈簧元件，主要用以描述材料的純彈性特征；牛頓體為一阻尼器元件，主要用以描述材料的黏滯性。從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，彈簧元件的本構(gòu)關(guān)系滿足虎克定律：σ(t)- d0ε(t)/dt0；黏滯元件的本構(gòu)關(guān)系滿足Newton定律：σ(t)-d1ε(t)/dt1。含分?jǐn)?shù)微積分的軟體元件(σ(t)-dβε(t)/dtβ)被認(rèn)為是介于理想固體和理想流體之間的一種元件模型(圖2)，能夠很好地反映巖土材料的黏彈性特征。

圖2 軟體元件Fig.2 Soft-matter element

圖2中：ξ為軟體元件黏彈性系數(shù)；β為軟體元件分?jǐn)?shù)階微積分表述時(shí)的階數(shù)。

目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分有很多定義，本文采用Riemannn-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，對(duì)于函數(shù)f(t)的β階積分定義為

(1)

對(duì)分?jǐn)?shù)階微分則定義為

(2)

式中：β>0，且n-1<β≤n(n為正整數(shù))；Γ(β)為Gamma函數(shù)，其定義為

(3)

分?jǐn)?shù)階微積分的拉氏變換公式為

(4)

軟體元件的本構(gòu)方程為

σ(t)=ξdβε(t)/dtβ,(0≤β≤1) 。

(5)

當(dāng)β=1時(shí)，軟體元件即轉(zhuǎn)化為阻尼器元件，代表理想流體；當(dāng)β=0時(shí)，軟體元件則變?yōu)閺椈稍?，代表理想固體；而當(dāng)β介于(0， 1)時(shí)，該軟體元件就表示為介于理想固體與理想流體之間的巖土材料。ξ為黏彈性系數(shù)，其物理量綱為[應(yīng)力·時(shí)間β]。

當(dāng)σ(t)=const時(shí)，軟體元件即描述巖土材料的蠕變行為，對(duì)式(5)兩邊進(jìn)行積分，依據(jù)Riemannn-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，可得到軟體元件的蠕變方程為

(6)

對(duì)于不同材料， 調(diào)整方程中的參數(shù)ξ和β， 即可達(dá)到改變?nèi)渥兦€旋轉(zhuǎn)程度， 更加準(zhǔn)確反映材料的蠕變特性。 根據(jù)文獻(xiàn)[7]的研究成果， 當(dāng)0<β<1時(shí)， 軟體元件描述的是介于理想固體與理想流體之間的巖土材料流變行為； 當(dāng)β>1時(shí)， 式(6)的曲線為上凹形的應(yīng)變隨時(shí)間加速增長(zhǎng)曲線， 單論曲線的形態(tài)是可以描述材料蠕變曲線的加速蠕變階段。

3.2 非線性蠕變模型

根據(jù)含水Q2黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果顯示，黃土的變形包括2個(gè)部分：一為瞬時(shí)變形；另一為蠕變變形。對(duì)于黃土的瞬時(shí)變形通?？捎靡粡椈蓙?lái)描述，而對(duì)于黃土的蠕變變形，當(dāng)加載應(yīng)力小于黃土的屈服應(yīng)力時(shí)，蠕變變形主要出現(xiàn)減速蠕變與等速蠕變；當(dāng)加載應(yīng)力大于黃土的屈服應(yīng)力時(shí)，黃土蠕變曲線出現(xiàn)時(shí)間短暫的加速蠕變；介于其曲線形態(tài)所表現(xiàn)的特點(diǎn)，本文嘗試用軟體元件來(lái)描述黃土的蠕變變形特征。為全面描述Q2黃土的流變特性，我們基于分?jǐn)?shù)階微積分特點(diǎn)，采用文獻(xiàn)[7]提出的四元件蠕變模型(圖3)。

圖3 黃土非線性蠕變模型Fig.3 Nonlinear creep model of loess

由圖3的模型結(jié)構(gòu)及連接特性可得到模型的蠕變方程為

(7)

(8)

對(duì)上式中D(·)采用Riemannn-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算子，可得到黃土非線性蠕變方程為

當(dāng)σ<σs時(shí)，

(9)

當(dāng)σ≥σs時(shí)，

0<β1<1，β2>1 。

(10)

式中：EH為瞬時(shí)彈性模量；ξ1和ξ2為黏彈性系數(shù)；β1,β2為分?jǐn)?shù)階微積分階數(shù)。

3.3 參數(shù)辨識(shí)

采用上述基于分?jǐn)?shù)階微積分構(gòu)造的黃土非線性蠕變模型，應(yīng)用1stOpt數(shù)學(xué)軟件基于Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法，對(duì)前述Q2黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析擬合求參。表1為不同含水率下黃土試樣在不同加載應(yīng)力下的蠕變模型參數(shù)。其中EH，ξ1，ξ2為反映黃土材料本身的物理參數(shù)，β1與β2為調(diào)整曲線形態(tài)參數(shù)。

表1 不同含水率非線性蠕變模型參數(shù)Table 1 Parameters of nonlinear creep model of loess of different moisture contents

4 非線性含水損傷蠕變模型

4.1 蠕變參數(shù)與含水率的關(guān)系

為探索水對(duì)Q2黃土蠕變特性的影響，在不考慮蠕變參數(shù)隨應(yīng)力及時(shí)間的變化情況下，分析蠕變參數(shù)隨含水率的變化規(guī)律。首先統(tǒng)計(jì)不同含水率下黃土蠕變參數(shù)值，繼而應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)法對(duì)蠕變參數(shù)隨含水率變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，擬合出蠕變參數(shù)隨含水率的變化方程。表2為經(jīng)統(tǒng)計(jì)整理的不同含水率下蠕變參數(shù)平均值。

表2 不同含水率蠕變參數(shù)均值Table 2 Mean values of creep parameters of loess of different moisture contents

圖4是根據(jù)表2得到的瞬時(shí)變形模量EH、黏彈性系數(shù)ξ1隨含水率變化的擬合曲線，擬合方程如下式

(11)

由各蠕變參數(shù)隨含水率關(guān)系圖及其數(shù)學(xué)擬合結(jié)果分析，各蠕變參數(shù)數(shù)值均隨著含水率的增加呈指數(shù)形式y(tǒng)=αexp(-βx)遞減。其中ξ1變化最為顯著，其次為EH。各蠕變參數(shù)隨含水率的變化說(shuō)明了水體對(duì)黃土力學(xué)性質(zhì)的弱化和劣化。在黃土受荷時(shí)，由于水的作用，導(dǎo)致黃土材料損傷效應(yīng)更加嚴(yán)重，流變性能增強(qiáng)。

4.2 損傷變量及其演化方程

損傷力學(xué)指出，材料在加載過(guò)程中由于裂紋的不斷連接、擴(kuò)展壯大，致使材料抵御變形和破壞的能力逐漸降低。而黃土材料在水體作用下，力學(xué)性質(zhì)被弱化和劣化得更加明顯，導(dǎo)致其力學(xué)參數(shù)值隨含水率增高而逐漸降低。對(duì)于黃土材料，初始狀態(tài)時(shí)，試樣體內(nèi)本身存在孔隙或空隙缺陷，因此，在應(yīng)力加載下即使產(chǎn)生損傷，在不同含水率下，其損傷程度加劇不同。

根據(jù)能量損傷的定義、含水黃土蠕變特點(diǎn)及前節(jié)蠕變參數(shù)隨含水率變化關(guān)系的研究結(jié)果，本文定義考慮含水損傷的變量為

(12)

式中：F(ω)為任意含水狀態(tài)下蠕變參數(shù)值，即F(ω)=EF(ω)或F(ω)=ξ1(ω)；F(0)為干燥狀態(tài)時(shí)的蠕變參數(shù)值。干燥狀態(tài)損傷為0，隨著含水率的增加，損傷變量D(ω)越來(lái)越大，但其量值始終小于1。利用式(12)可以計(jì)算出不同含水狀態(tài)下反映不同蠕變參數(shù)劣化的Q2黃土損傷量值，即可得出不同含水率與損傷量值之間的關(guān)系數(shù)據(jù)。采用最小二乘法對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，終可得到不同蠕變參數(shù)的損傷變量演化方程，即

(13)

參數(shù)EH與ξ1的損傷與含水率ω?cái)M合曲線如圖5所示。由圖5知，各蠕變參數(shù)下的損傷隨著含水率的增大而增大。當(dāng)含水率達(dá)到30%左右時(shí)，各蠕變參數(shù)的損傷接近于1，臨近溶解破壞。

圖5 DEH(ω)與Dξ1(ω)隨含水率的擬合曲線Fig.5 Fitted curves of DEH(ω) and Dξ1(ω)vs. moisture content

4.3 考慮含水損傷的非線性蠕變模型

基于損傷力學(xué)的應(yīng)變等效性原理，以前述建立的Q2黃土非線性蠕變模型為基礎(chǔ)，建立考慮含水參數(shù)損傷的Q2黃土非線性蠕變模型。對(duì)于一維蠕變問(wèn)題，將各蠕變參數(shù)的含水損傷演化方程代入式(9)與式(10)，可得Q2黃土含水損傷蠕變本構(gòu)方程。

當(dāng)σ<σs時(shí),

(14)

當(dāng)σ≥σs時(shí),

(15)

4.4 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文建立的Q2黃土含水損傷蠕變模型的正確性及準(zhǔn)確性，再次應(yīng)用1stOpt數(shù)學(xué)軟件對(duì)前述含水率8%的Q2黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析擬合求參。求取的參數(shù)如表3所示，圖6為模型理論值與試驗(yàn)值的對(duì)比曲線。由圖6可觀察出，考慮含水損傷的非線性蠕變模型在描述Q2黃土流變特性時(shí)，其精確效果較高。

表3 含水率8%黃土損傷蠕變模型參數(shù)Table 3 Parameters of damage creep model (moisture content 8%)

圖6 含水率8%試樣蠕變?cè)囼?yàn)值與理論值Fig.6 Test values and theoretic values of creep of loess specimen (moisture content 8%)

5 結(jié) 論

(1) 不同含水率Q2黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果顯示，含水率的增高伴隨著黃土流變性能的增強(qiáng)。

(2) 由蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析得出的非線性蠕變模型參數(shù)值隨含水率的增加呈現(xiàn)指數(shù)型遞減的規(guī)律，此現(xiàn)象充分說(shuō)明了水對(duì)黃土具有較強(qiáng)的力學(xué)劣化影響。

(3) 依據(jù)能量損傷建立的考慮含水因素的損傷變量及其演化方程，可有效描述不同含水量對(duì)黃土的損傷劣化效果。

(4) 應(yīng)用損傷力學(xué)的應(yīng)變等效原理，將各損傷演化方程代入分?jǐn)?shù)階微積分蠕變模型，得到考慮含水損傷的非線性蠕變方程，該方程經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，可有效描述Q2黃土瞬時(shí)變形、衰減蠕變、等速蠕變和加速蠕變。

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(編輯：姜小蘭)

Creep Damage Model of Q2Loess in Consideration ofMoisture Content Based on Fractional Calculus

TANG Hao1,3, DUAN Zhao2, ZHAO Fa-suo3, SONG Fei3, LI Xiang-ning3

(1.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059,China; 2.School of Geology and Environment, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China; 3.College of Geology Engineering and Surveying Engineering,Chang’an University, Xi’an 710054,China)

Triaxial creep tests on Q2loess of different moisture contents were carried out to explore the creep properties of water-containing Q2loess. Test results show that the rheological property of Q2loess strengthens with the increase of moisture content. Furthermore, since the soft-matter element built by fractional calculus could simulate the material between ideal solid and ideal fluid, a four-element nonlinear creep model which contains the soft-matter element was applied to fit data, and the model parameters under different moisture contents were analyzed. The results suggest that instantaneous deformation modulusEHand viscoelastic coefficientξ1have a negative relationship with moisture content with an exponential decline. A water damage evolution equation of each creep parameter was obtained by introducing the water damage variableD(ω), which was further used to establish a nonlinear creep model in consideration of water damage effect. The nonlinear creep model was verified by test data. It was proved that the nonlinear creep model considering water damage could effectively characterize the overall rheological property of Q2loess，and has a good application prospect.

Q2loess; creep test; moisture content; nonlinear; damage; creep model

2014-02-24；

2014-03-25

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(CHD2010JC118)

唐 皓(1985-)，男，陜西勉縣人，博士后，主要從事地質(zhì)災(zāi)害防治與巖土流變研究，(電話)18615783673(電子信箱)329689614@qq.com。

10.3969/j.issn.1001-5485.2015.08.014

TU432

A

1001-5485(2015)08-0078-06

2015,32(08):78-83