張承忠， 葉邦彥, 梁立東, 胡習之, 趙學智

(1. 華南理工大學機械與汽車工程學院， 廣東 廣州 510640; 2. 華南師范大學軟件學院， 廣東 佛山 528225)

小提琴弓弦系統(tǒng)的振動形態(tài)及振動機理研究

張承忠1,2， 葉邦彥1, 梁立東1, 胡習之1, 趙學智1

(1. 華南理工大學機械與汽車工程學院， 廣東 廣州 510640; 2. 華南師范大學軟件學院， 廣東 佛山 528225)

小提琴弓弦系統(tǒng)的振動機理非常復雜。通過分析傳統(tǒng)弓弦黏滑摩擦振動模型和弦振動現(xiàn)代理論模型以及弦振動形態(tài)實驗，提出了基于能量狀態(tài)變換的單擺摩擦振動模型。該模型考慮了振動系統(tǒng)的能量狀態(tài)變化，并對振動周期給出限制，從而較好體現(xiàn)了小提琴琴弦的振動行為。設計了基于高速攝影的非接觸式光學測量系統(tǒng)。通過實驗，測量了撥弦和拉弦兩種不同機制的弦振動狀態(tài)參數(shù)，特別對弦上各點的振動位移和周期、相位變化、弦振動的瞬態(tài)和包絡狀態(tài)等進行了實驗測量和理論分析，從而探明了小提琴弓弦之間摩擦振動的狀況和特性。

亥姆霍茲運動； 粘滑摩擦； 小提琴弓弦振動機理； 自激振動； 高速攝影

1 概 述

小提琴的弓弦振動機理非常復雜。一直以來科學家們提出很多不同模型，來探索其機理和奧秘。

小提琴的弦振動系統(tǒng)由弓(激勵器)、弦、琴馬和琴體共鳴腔組成。當弦被弓激勵后，系統(tǒng)按照其自身振動特性產(chǎn)生振動，如果琴弦得到不斷激勵(拉奏)，系統(tǒng)就保持持續(xù)的振動，這是自然界普遍存在的自激振動現(xiàn)象，其特點是系統(tǒng)從一個非周期性能量源周期性地提取能量補充其損耗。從而產(chǎn)生持續(xù)而穩(wěn)定的振動。

現(xiàn)代關于弓拉弦的物理學研究是由亥姆霍茲1862年開始進行的[1]，隨后，諾貝爾物理獎獲得者拉曼等人對弓拉弦的振動問題一直進行了研究[2-6]。

一般來說,機械系統(tǒng)自激振動現(xiàn)象的理論建模是為了找到方法阻止其振動，這時也許并不太關心振動的細節(jié)行為。然而對于弓弦樂器研究來說，弦運動的細節(jié)就非常重要，因為可以通過控制其振動狀態(tài)來尋找改善樂器的聲學特性的方法。

弓拉弦理論研究的很多工作都是建立在弓弦摩擦力學模型的基礎上的，弓弦經(jīng)典的物理模型是Coulomb摩擦模型，當弓以正常的方式運動時，弦的振動呈現(xiàn)“亥姆霍茲角”，折角沿著弦來回行進，如圖1所示。這種“亥姆霍茲運動” 已被很多學者研究過了[2，8]，但有一些問題目前還不清晰，如弓如何影響弦的運動和系統(tǒng)的能量如何變化等[7]。

本文使用高速攝影三維振動測量系統(tǒng)研究了琴弦的振動形態(tài)，提出了一個弦振動等效單擺模型。該模型考慮了系統(tǒng)的能量狀態(tài)變化，并對振動周期給出限制。

圖1 弓拉弦的Helmholtz 運動Fig.1 Helmholtz motion of bowed string

2 弦振動理論模型的發(fā)展

2.1 Helmholtz運動和弦振動過程的周期特性

亥姆霍茲關于弦運動的理論將弦上點的位移曲線描述成一個不對稱的鋸齒波，如圖1(a)所示，位移以初始恒定速度vr持續(xù)到時間tr。隨后在tF又以恒定速度vF返回到另一端。由于弓的單向運動當弦被弓毛粘著時，受靜態(tài)摩擦力作用產(chǎn)生正向位移；當弦的回彈力大于靜摩擦力之后，弦以相反方向返回并受滑動摩擦力作用。

廣義的周期鋸齒波函數(shù)的必要條件是：vrtr=vFtF，根據(jù)Helmholtz的推導[1]，沿著弦的任何位置，如圖1(b)的觀察點C，振動逆程時間與振動周期的比遵從

(1)

式中Xc為琴碼到觀察點的距離，而L是弦的長度。

2.2 圓角和數(shù)字波導模型

圖2 數(shù)字波導模型的摩擦力與弦的速度關系Fig.2 The relationship of friction and speed of the string of digital waveguide mode

實際上，理想的亥姆霍茲運動不太可能出現(xiàn)[7]。通過“平滑”尖角來修改亥姆霍茲運動的想法最早是由Cremer和Lazarus探索的[8]。而且開發(fā)出了一種周期性的類似Helmholtz運動的近似理論。弓弦運動的數(shù)字波導模型是由McIntyre和其同事[9]在擴展Cremer的方法基礎上處理弦的瞬態(tài)運動得到的。弦在拉弓點的速度v(t)和作用在這一點的摩擦力f(t)有兩種關系：第一個是非線性函數(shù)關系，如圖2所示。當弦的速度與弓速v(t)匹配時兩者黏在一起，而力可以取曲線的垂直部分的任何值。當弦和弓之間有相對滑動時，摩擦力改變方向，隨著滑動速度的增加而下降；摩擦力f(t)和v之間的第二個關系來自于弦的振動動力學。f(t)是由于弓的作用激發(fā)弦的特定運動，導致驅(qū)動點產(chǎn)生特定響應v(t)。對于一條理想的無限長弦，作用力會生成一個波速，它與力成正比。波將沿著弦的兩個方向向外對稱輻射，而且不返回。然而在一條有限的弦上，由于波到達弦的兩端后會反射回來，這時有下式

(2)

2.3 現(xiàn)代理論模型

通常有摩擦力的系統(tǒng)都是非光滑的而且在理論和數(shù)值分析上都會引起一些困難。在文獻[12]中，研究了黏滑和滑黏的轉(zhuǎn)換，在文獻[13]中介紹了面向數(shù)值分析的黏滑混沌動力學，通過將Melnikov技術(shù)應用在非光滑動力學系統(tǒng)從而得到了黏著行為明確的公式，同時提出了一種交替摩擦模型，如圖3所示。

圖3 弓拉弦摩擦模型Fig.3 The friction model of bowed string

當皮帶開始向右勻速運動時，質(zhì)量滑塊受靜摩擦力的作用與皮帶黏在一起向右作勻速運動，這時彈簧k1被拉長。當傳送帶繼續(xù)向前運動時，彈簧伸長產(chǎn)生的回彈力大于摩擦力，滑塊就會返回并與傳送帶產(chǎn)生了相對滑動。由于滑塊與傳送帶之間的摩擦力與二者之間的相對運動速度有關，速度越大摩擦力越小，所以滑塊會迅速后退。而當它退到一定距離后，又和傳送帶的速度相同，于是滑塊又被靜摩擦力帶動隨傳送帶一起前進，這樣周而復始，形成摩擦振動。

3 弦振動的等效單擺摩擦模型

彈簧滑塊摩擦模型雖然能解釋弓拉弦的運動變化，但存在一些問題，如該模型沒有固有的頻率和以振動中心的對稱特性，振動周期與皮帶速度(弓速)有關，而且不能模擬撥弦振動形態(tài)。為了更好描述琴弦振動系統(tǒng)的能量狀態(tài)變化和周期性運動特性，本文提出琴弦振動的單擺摩擦模型。該模型通過單擺的重力勢能變化模擬琴弦的彈性勢能變化，用單擺周期類比琴弦的周期運動，通過設定單擺滑塊與圓形皮帶的摩擦力和轉(zhuǎn)速來代表弓壓和弓速；通過改變單擺的桿的剛度，模擬不同特性的弦的振動形態(tài)。顯然，弦振動單擺摩擦模型對其他弓弦類樂器也適用，如馬頭琴、二胡等。

如圖4所示，當圓形皮帶逆時針勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)量滑塊受靜摩擦力的作用被皮帶黏住，一起向右作勻速運動。當運動一段距離后，重力勢能引起的向左分力G2增大到大于靜摩擦力時，滑塊就往相反的方向沿皮帶滑動。這時皮帶與滑塊的相對運動速度增加，摩擦力減少。當滑塊返回通過中點并到達最左邊時，由于重力勢能引起的向右分力和皮帶的摩擦力作用，滑塊又開始與皮帶黏住向右作第二個周期的運動，這樣周而復始。

圖4 等效單擺摩擦模型Fig.4 The equivalent friction pendulum model

本模型通過單擺控制琴弦運動周期的變化。由于對一條理想的長度為L、橫截面積為A的弦，弦兩端固定并且受軸向張力F而拉伸，弦的橫向振動頻率f，即弦的基頻率為

(3)

而在擺角較小的情況下單擺的頻率為[6]

(4)

式中l(wèi)為擺長，g為重力加速度。為了使單擺的頻率與弦的基頻相等，則設計理想單擺的擺長為

(5)

模型中摩擦力的作用可參考摩擦振動模型[4]。設琴弓與琴弦之間的摩擦力為fB(t)，在弦的位置XB處的摩擦力為

(6)

這里vC是弓弦的相對速度函數(shù)，F(xiàn)N是琴弓的標準弓壓，在弓弦黏著期間，由弓速和靜摩擦力控制琴弦的運動，而對于滑動期間有一個變化的較小的摩擦系數(shù)Rg(vC)，滑動摩擦系數(shù)可如下計算[6]

(7)

近年來許多學者對非線性運動的周期進行了大量研究，獲得了周期解的許多有效算法[14-15]。對于圖4等效單擺的理論模型，其周期解的數(shù)值算法可應用打靶算法得到，打靶算法通過求解兩點邊界值問題得到系統(tǒng)的周期解[14]。

4 琴弦振動形態(tài)的高速攝影實驗研究

4.1 實驗原理與方法

為了研究琴弦的振動形態(tài)和驗證琴弦振動模型，在全息光學防振臺上設計了一個琴弦的三維振動測量系統(tǒng)，如圖5所示。測量系統(tǒng)的坐標定義為：X軸是沿著水平面的弦方向，Y軸垂直于弦的方向，Z軸的方向是垂直于面板。由于高速攝影只能拍攝X-Z平面的圖像，通過45°反射鏡，將X-Y平面的琴弦振動圖像同時傳到攝像機，標定點的三維運動特征數(shù)據(jù)通過對序列圖片區(qū)域的裁剪、過濾和圓形霍夫變換等計算機圖像處理方法獲得。

圖5 高速攝影實驗Fig.5 Experiment of high-speed photography

實驗采用HiSpec LTR高速數(shù)碼成像儀進行拍攝，其分辨率為1 280×1 024，幀速率為18～30 000幀/s，實驗中根據(jù)不同需要選擇不同的拍攝參數(shù)。琴弦采用德國Pirastro牌號，分別調(diào)整到標準音高。

表1 高速攝影實驗參數(shù)

小提琴琴弦振動包括撥弦和拉弦兩種狀態(tài)。為了全面測量琴弦的振動狀態(tài)，本實驗進行了全景錄像和局部放大拍攝。放大拍攝需采用足夠亮度的無頻閃光源，以使攝像清晰。圖的比例是根據(jù)照片上測試物預先粘貼的比例尺的長度進行標定。

離開香樟，我就來拜訪我的第二個朋友，夾竹桃。初秋是夾竹桃盛開的季節(jié)。朵朵碩大而紫紅的花朵在微風中搖曳生輝，像一位位婀娜多姿的少女，展示自己柔美的身材，夾竹桃細長的葉子在陽光下歡笑，它的枝條也是細長的，一簇簇細長的枝條在風中左搖右晃。蜜蜂也知道夾竹桃的花不能用來采蜜，所以只是遠遠地觀賞。

實驗時通過調(diào)整平面鏡片的位置，使鏡頭內(nèi)同時出現(xiàn)標記點的實像和虛像，實驗參數(shù)如表1所示。

改變實驗參數(shù)進行了拉弦和撥弦實驗，實驗得到的高速攝影視頻圖片以及部分小提琴琴弦振動圖片序列如圖6所示。

圖6 高速攝影部分圖片F(xiàn)ig.6 Several pictures of high-speed photography

4.2 撥弦理論分析與實驗結(jié)果

琴弦在橫向力作用下的運動方程為

(8)

圖7 撥G弦時標定點的振動曲線Fig.7 Vibration curve when plucking G string

從公式(8)可以知道，撥弦時弦的橫向運動屬于阻尼的簡諧運動。圖7(a)是高速攝影實驗測量得到的琴弦上標定點撥弦的衰減振動過程波形。顯然該波形與單擺滑塊不受皮帶摩擦的琴弦單擺摩擦模型的振蕩波形相符。圖7(b)為實驗獲得的撥弦時弦上點的局部振動曲線。包括琴弦在Y，Z方向的位移波形和空間軌跡。由圖可知兩方向的波形都類似簡諧振動的波形，與公式(8)相符。兩波形存在相位差，這是由于標定點是作空間三維振動，其空間運動軌跡為一近似的橢圓。圖7(c)的速度波形是從位移波形通過微分推導得到的。

4.3 拉弦分析與實驗結(jié)果

(9)

式中f0為琴弦的基頻，而β=(xB/L)為琴碼至拉弓點的距離與弦長之比。

圖8 拉G弦時標定點的振動曲線Fig.8 Vibration curve when powing G string

為了深入了解弓拉弦時弦的振動情況，揭示琴弦運動的真實狀態(tài)，本研究對十多萬幀視頻序列圖片進行了數(shù)據(jù)處理和分析，得到拉弦的振動曲線如圖8所示。從標定點的位移曲線可以看出，小提琴琴弦的橫向運動是一個近似的鋸齒三角波形，圖中x軸方向存在微小的位移，從圖中可以看到，波形的正程上升時間較長，逆程較短，這是因為正程時琴弦受較慢弓速的制約作用，逆程則由于受弦的回彈力和較小的弓弦滑動摩擦力，所以快速返回。

圖8(a)下面的圖形為標定點的空間軌跡。由圖可知，拉弦時由于弓的壓力，弦保持在運弓平面內(nèi)振動，本文通過橫向和垂直兩個方向的測量數(shù)據(jù)，證實了拉弦振動屬于平面振動模式，與撥弦不同。這不但有助于分析弦振動的機理，還可根據(jù)運弓軌跡線的傾斜程度補償因攝像頭與運弓平面不垂直產(chǎn)生的幅值誤差。

圖9 G弦上不同標定點的振動波形比較Fig.9 The comparison of vibrational waveform of the different point on the G string

為了對琴弦的運動狀態(tài)有更深入的了解，本文通過處理全景視頻的圖片序列，研究了全弦的振動形態(tài)，得到琴弦不同位置點的橫向位移曲線如圖9所示。結(jié)合弦振動的單擺摩擦模型可知，在弦振動的正程，琴弦受到弓的激勵克服弦的張力產(chǎn)生位移，也就是說琴弦儲存了彈性勢能，振動系統(tǒng)獲得了能量，而逆程時弦在回彈力的作用下，雖受到弓的阻礙，但由于滑動摩擦力較小，回程返回較快，所以系統(tǒng)總的來說是獲得正能量，因此琴弦能一直維持振動。

在圖9各曲線上取同一瞬時琴弦上不同位置的位移值，可描繪出某一瞬時弦的振動軌跡，在一個周期內(nèi)取多個瞬時的數(shù)據(jù)，就可得到弦振動一個周期的形態(tài)，如圖10所示，弦振動包絡線接近拋物線，是由各點位移曲線的最大正負位移值繪出的，它們出現(xiàn)在不同的瞬時，即所看到的包絡線實際是由弦上不同點持續(xù)形成的。這結(jié)論與亥姆霍茲關于琴弦折角運動的描述相符合。

圖10 琴弦的振動形態(tài)Fig.10 The vibration of the string

實驗得到拉弦時弦上不同位置點的位移回程時間變化見表2。從表2的數(shù)據(jù)可知，弦的位移回程時間與弦振動周期的比值基本滿足公式(1)，其中的誤差估計是受弓弦作用的外部條件影響，如弓的壓力和松香的摩擦作用等。

表2 弦上各標定點位移曲線的周期變化

本實驗還研究了拉弓參數(shù)對弦振動的影響，G弦各種拉弓參數(shù)實驗情況如圖11所示。從實驗結(jié)果看到，運弓方法無論是拉弓還是推弓，以及弓速和弓弦接觸位置發(fā)生變化時，位移曲線都符合亥姆霍茲描述的鋸齒波形，且基本滿足公式(1)。

圖11 各種拉弓參數(shù)的位移比較Fig.11 The comparison of displacement of the different bowing parameters

由拉弦經(jīng)驗可知，增加弓速或者靠近琴碼拉弓需要更大的拉弓力才能保持合適的琴弦振動。因為如果拉力太小，正程時弓不能保持握住弦；如果拉弓力太大，逆程滑動階段振幅會發(fā)生故障，從而不能形成正常的Helmholtz運動。

5 結(jié) 論

本文通過理論分析和高速攝影實驗，研究了小提琴弦的振動形態(tài)和琴弦亥姆霍茲運動，得到如下結(jié)論：

(1) 采用三維高速攝影光學測量系統(tǒng)和計算機圖像處理技術(shù)，能較精確地檢測琴弦的三維振動形態(tài)。實驗數(shù)據(jù)驗證了弓拉弦的運動曲線是由亥姆霍茲預言的鋸齒三角波。對琴弦上不同位置點的位移數(shù)據(jù)考察可知，琴弦振動包絡線是由弦上不同點持續(xù)形成的，這與亥姆霍茲的琴弦折角運動描述一致。

(2) 基于琴弦振動形態(tài)的實驗研究，本文提出了一個等效單擺摩擦振動模型來描述提琴琴弦撥弦和拉弦的振動特性。該模型能較好模擬弓弦的黏滑運動過程和解釋振動鋸齒波形的正、逆程時間變化；

(3)本文通過分析琴弦等效單擺摩擦振動模型，明確了弓弦自激振動的作用機理：弦振動正程時，弦受到較大的靜摩擦力激勵，琴弦儲存了彈性勢能，逆程雖受到弓的阻礙，但由于滑動摩擦力較小，回程時間較短，所以系統(tǒng)總的來說是獲得正能量，琴弦能一直維持振動。

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Research on vibration state and mechanism of violin string

ZHANGCheng-zhong1，2，YEBang-yan1，LIANGLi-dong1，HUXi-zhi1，ZHAOXue-zhi1

(1.School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China；2. School of Software, South China Normal University, Foshan 528225, China)

The mechanism of bow-string vibrating system of violins has been awaysa complicated problem. Through the analysis of the classical stick-slip friction string vibration model and the modern theory of string vibration respectively, as well as the experiment results of string vibration state, anequivalent pendulum friction model based on energy state changing is proposed. The model takes into account the changing of energy state of vibrating system, and set restrictions for the vibrating period. As a result, the vibration behavior of violin string is well reflected. In this paper, a non-contact optical measurement system based on high-speed photography is designed. In the experiment, the state parameters of string vibration for the mechanisms of plucked and bowed string are investigated respectviely. Experimental measurement and theoretical analysis are carried out in particular for the vibrating displacement and period of points on the string, as well as the phase change, transient string vibration state and the envelope of string vibration, whichleads to a better understanding of the friction vibration state and characteristics of violin string.

Helmholtz motion; stick-slip friction; vibration mechanism of violin bow-string system; self excitation vibration; high speed video photography

2013-12-17；

2015-01-17

國家自然科學基金資助項目(51375178)

TN911.7; TH165.3

A

1004-4523(2015)03-0359-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.004

張承忠(1968—)，女，博士。電話： (0757)86687822；E-mail: zcz_505@163.com

葉邦彥(1949—)，男，教授，博士生導師。E-mail: byye@scut.edu.cn