張志剛, 齊朝暉, 吳志剛,2
(1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024;2.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院, 遼寧 大連 116024)
一種基于應(yīng)變插值大變形梁單元的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)分析
張志剛1, 齊朝暉1, 吳志剛1,2
(1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024;2.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院, 遼寧 大連 116024)
柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的“動(dòng)力剛化”現(xiàn)象起因于變形間的耦合。一次近似模型成功地解決了小變形情況下的剛?cè)狁詈辖栴},但在大變形情況下則需要考慮更多的耦合效應(yīng)。選取表征梁彎曲應(yīng)變的曲率和軸向應(yīng)變作為單元參數(shù)進(jìn)行離散;在大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)基礎(chǔ)上得到了單元兩端節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的遞推關(guān)系,構(gòu)造出了能夠自動(dòng)計(jì)及“動(dòng)力剛化項(xiàng)”且適用于大變形剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析的平面梁單元。最后采用所提應(yīng)變插值單元求解了包含大變形和剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)柔性梁的數(shù)值算例,驗(yàn)證了算法的正確性和有效性。
剛?cè)狁詈希?梁單元; 應(yīng)變插值; 動(dòng)力剛化
梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析是近年來力學(xué)、機(jī)械及航空航天領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1-12]。柔性梁的運(yùn)動(dòng)包含大范圍剛體運(yùn)動(dòng)與變形運(yùn)動(dòng)的耦合,且描述梁變形所需的形心位移和截面角之間也存在耦合關(guān)系。這些耦合的作用機(jī)理非常復(fù)雜,給做大范圍運(yùn)動(dòng)梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的建模和求解帶來了困難。
傳統(tǒng)的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)混合坐標(biāo)法直接套用了結(jié)構(gòu)力學(xué)小變形假設(shè),Kane[1]在用其對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性梁進(jìn)行求解時(shí)發(fā)現(xiàn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)數(shù)值結(jié)果發(fā)散,表現(xiàn)為隨著轉(zhuǎn)速增加梁變得更加柔軟,這與事實(shí)相違背,并首次提出了“動(dòng)力剛化”的概念。這一現(xiàn)象引發(fā)了國內(nèi)外廣大學(xué)者的關(guān)注,此后大量研究圍繞剛體運(yùn)動(dòng)與彈性運(yùn)動(dòng)的耦合及“動(dòng)力剛化”問題展開:洪嘉振[2-6]指出,傳統(tǒng)混合坐標(biāo)法在小變形基礎(chǔ)上忽略了縱向位移對(duì)軸向位移的影響是一種零次近似模型,低速轉(zhuǎn)動(dòng)忽略掉變形耦合對(duì)仿真結(jié)果影響不大,但在高速轉(zhuǎn)動(dòng)情況下這種近似將會(huì)產(chǎn)生完全錯(cuò)誤的結(jié)果;其提出小變形情況下在軸向位移表達(dá)式中補(bǔ)充縱向位移二階項(xiàng)的所謂一次近似模型,用該模型進(jìn)行了中心剛體旋轉(zhuǎn)柔性梁及末端帶集中質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)柔性梁動(dòng)力學(xué)特性,并進(jìn)一步通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了一次近似模型能夠捕捉“動(dòng)力剛化項(xiàng)”。章定國[7]在一次近似模型基礎(chǔ)上對(duì)平面運(yùn)動(dòng)柔性梁進(jìn)行了進(jìn)一步研究,指出大范圍運(yùn)動(dòng)與彈性運(yùn)動(dòng)的耦合不僅會(huì)產(chǎn)生“動(dòng)力剛化”現(xiàn)象,還會(huì)產(chǎn)生“動(dòng)力柔化”現(xiàn)象,并對(duì)旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁的“動(dòng)力柔化”效應(yīng)進(jìn)行了分析。和興鎖等[8]在Shi P等[9]研究基礎(chǔ)上提出一次近似模型未能充分考慮幾何非線性變形對(duì)橫向變形的影響,因此在縱向與橫向位移中增加了新的變形二次耦合項(xiàng)。
上述研究大都局限于單元本身為小變形情況,針對(duì)包含大變形的柔性梁剛?cè)狁詈蠁栴},劉錦陽[10]采用絕對(duì)坐標(biāo)法對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性梁進(jìn)行了研究,并與一次近似模型進(jìn)行了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)隨著梁剛度降低一次近似模型結(jié)果發(fā)散,而絕對(duì)坐標(biāo)梁單元能夠得到收斂的結(jié)果。陳思佳[11]在一次近似模型基礎(chǔ)上采用模態(tài)坐標(biāo)對(duì)梁進(jìn)行離散,通過保留了動(dòng)力學(xué)中方程中的變形耦合量相關(guān)的高階項(xiàng),對(duì)考慮大變形的平面梁剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析做了初步研究,但是通過模態(tài)坐標(biāo)離散的求解精度和效率取決于模態(tài)集的選取方式。
現(xiàn)有研究大都選取節(jié)點(diǎn)位移作為有限元離散參量,在小變形情況下根據(jù)伯努利梁變形耦合關(guān)系添加位移高階耦合項(xiàng)來構(gòu)造了一次近似模型或者高次近似模型。而直接構(gòu)造滿足大變形大轉(zhuǎn)動(dòng)的變形耦合位移梁單元仍然十分困難和復(fù)雜。本文在對(duì)曲率插值梁單元研究[12]的基礎(chǔ)上,選取梁的彎曲應(yīng)變(曲率)和軸向應(yīng)變作為單元參數(shù)進(jìn)行離散,從而得到了自動(dòng)計(jì)及位移耦合關(guān)系的梁單元。采用本單元對(duì)平面梁大范圍運(yùn)動(dòng)剛?cè)狁詈蠁栴}進(jìn)行了研究,所得結(jié)果與相關(guān)工作[13-16]吻合,從而驗(yàn)證了所構(gòu)造單元的正確性和有效性。
1.1 梁單元運(yùn)動(dòng)學(xué)描述
平面梁單元如圖1所示,整體慣性坐標(biāo)系為{g1g2},在梁左端截面建立固結(jié)在截面上的單元坐標(biāo)系{e1e2},第一根軸e1指向梁長方向,初始時(shí)刻與整體坐標(biāo)系第一根軸夾角φ0。在每個(gè)梁截面建立隨截面轉(zhuǎn)動(dòng)的截面坐標(biāo)系{t1t2},變形前截面坐標(biāo)系與單元坐標(biāo)系方向保持一致。
圖1 大范圍運(yùn)動(dòng)平面梁單元Fig.1 A plane beam element undergoes large range of motion
如圖1所示,弧長s處截面形心矢徑為
(1)
式中r1為單元坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)整體坐標(biāo)系原點(diǎn)矢徑,ρ為弧長s處截面形心相對(duì)于單元坐標(biāo)系原點(diǎn)矢徑。取出原始弧長為ds的一段梁微元,變形后幾何關(guān)系
(2)
(3)
其中 (·)′=d(·)/ds,θ為截面相對(duì)于單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角。
單元左端截面相對(duì)于整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角φ1表征了單元大范圍剛體轉(zhuǎn)動(dòng),截面相對(duì)于單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角θ代表了單元的彈性變形,因此單元域內(nèi)截面相對(duì)于整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角為
(4)
1.2 梁單元應(yīng)變場的離散
對(duì)于不超過彈性范圍的平面梁,其本構(gòu)關(guān)系可用截面坐標(biāo)系中力的分量描述為
(5)
式中F為截面軸向力;M為彎矩;EA,EIz分別為截面拉壓剛度和彎曲剛度。梁的應(yīng)變虛功率
(6)
由上式可知,梁單元應(yīng)變虛功率只與曲率和軸向應(yīng)變有關(guān),而不受單元位移和轉(zhuǎn)動(dòng)大小的影響,因此選取梁曲率和軸向應(yīng)變進(jìn)行離散可以方便地得到單元應(yīng)變虛功率和簡潔的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>
(7)
其中
(8)
其中ξ=s/l,梁曲率速率虛變分由式(7)可得
(9)
將式(7),(9)及軸向應(yīng)變?chǔ)攀浅A康募僭O(shè)代入單元應(yīng)變虛功率式(6)
(10)
式中K為單元?jiǎng)偠汝?/p>
(11)
1.3 單元內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推
單元域內(nèi)截面的轉(zhuǎn)角可由曲率插值函數(shù)式(7)積分得到
(12)
其中
(13)
轉(zhuǎn)角θ為截面相對(duì)于單元轉(zhuǎn)角,它完全由單元的彎曲變形確定,將其代入式(12)可得截面相對(duì)整體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角為
(14)
由梁截面形心坐標(biāo)弧長導(dǎo)數(shù)式(3),對(duì)弧長s積分并注意到軸向應(yīng)變?chǔ)艦槌A?,可以得到截面形心坐?biāo)
(15)
從這兩個(gè)式子可以看出截面形心坐標(biāo)與轉(zhuǎn)角和軸向應(yīng)變高度耦合。需要說明的是傳統(tǒng)混合坐標(biāo)零次近似模型及一次近似模型都假設(shè)轉(zhuǎn)角為小量,即:θ?0,從而將三角函數(shù)近似為:sinθ≈θ,cosθ≈1-θ2/2,并由式(3)得
(16)
將其帶入式(15)得
(17)
上式推導(dǎo)過程中忽略掉了轉(zhuǎn)角θ的二次以上項(xiàng)及θ和軸向應(yīng)變?chǔ)诺鸟詈享?xiàng),式中加下劃線部分為一次近似模型在零次模型基礎(chǔ)上增加的橫向位移對(duì)軸線變形的二次耦合項(xiàng)。由此可見混合坐標(biāo)一次近似模型不適用于包含大轉(zhuǎn)動(dòng)的大變形情況。
本文不作小轉(zhuǎn)角假設(shè),基于此推導(dǎo)的單元完整地保留了變形間的耦合關(guān)系,不僅適用于小轉(zhuǎn)角情況,同樣也能滿足大轉(zhuǎn)角情況。由式(12)可知截面轉(zhuǎn)角θ為弧坐標(biāo)s的二次式,因此式(15)兩個(gè)積分不存在有理形式解,本文由高斯積分得到數(shù)值解。
直接由式(15)就可得到截面形心坐標(biāo)場,但是在推導(dǎo)質(zhì)量陣和廣義力時(shí)將會(huì)出現(xiàn)二重?cái)?shù)值積分,從而會(huì)引起公式推導(dǎo)和數(shù)值求解上的不便。再次考察單元坐標(biāo)系下截面形心坐標(biāo)x,w在端部滿足
(18)
(19)
式中
(20)
(21)
弧長s處截面形心坐標(biāo)為
(22)
其中單元坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣
(23)
式中φ0為單元初始方位角。
對(duì)式(22)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到截面形心速度
(24)
(25)
根據(jù)單元坐標(biāo)系下截面形心坐標(biāo)式(19),可得
(26)
其中
(27)
(28)
將式(26)代入得到截面形心速度
(29)
對(duì)速度取變分
(30)
將式(26)代入式(25)得到截面形心加速度
(31)
其中加速度余量
(32)
對(duì)截面轉(zhuǎn)角式(14)求導(dǎo)可得截面轉(zhuǎn)動(dòng)角速度及虛角速度
(33)
角加速度
(34)
為了方便推導(dǎo),本文將整體坐標(biāo)系坐標(biāo)下截面形心坐標(biāo)r和轉(zhuǎn)角φ組成列陣為q,兩端面運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)
(35)
由式(14),(29),(31),(33),(34),單元兩端截面運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推關(guān)系可以用矩陣表示為
(36)
其中
(37)
(38)
1.4 梁單元慣性力虛功率
根據(jù)伯努利梁理論,平面梁可以看作由無數(shù)做平面運(yùn)動(dòng)的剛性截面組成,其慣性力虛功率為
(39)
其中ρ代表梁的線密度,Iz代表梁截面慣性矩。
將式(30)~(34)代入上式
(40)
質(zhì)量矩陣和廣義力為
(41)
(42)
其中
(43)
(44)
質(zhì)量陣和廣義力中常系數(shù)矩陣
(45)
1.5 梁單元外力虛功率
梁單元上作用的外力虛功率為
(46)
式中p(s)為分布載荷;fi,mi分別為單元節(jié)點(diǎn)處所受集中力和力矩。將式(30),(33)代入上式
(47)
其中
(48)
(49)
對(duì)于考慮重力的情況,可將重力看做一種特殊的分布力,其對(duì)應(yīng)廣義力為
(50)
(51)
另外,還可以將結(jié)構(gòu)阻尼當(dāng)做外力處理,本文采用文獻(xiàn)[13]阻尼模型,單元結(jié)構(gòu)阻尼力虛功率為
(52)
式中η為阻尼系數(shù)。對(duì)比單元應(yīng)變虛功率式(10),可將機(jī)構(gòu)阻尼力虛功率表示為
(53)
其中廣義結(jié)構(gòu)阻尼力列陣為
(54)
2.1 單元間運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推
(1)單元坐標(biāo)系原點(diǎn)選在靠近起始點(diǎn)一端節(jié)點(diǎn),第一根軸方向背離起始節(jié)點(diǎn)指向第二個(gè)節(jié)點(diǎn);
(2)沿背離起始節(jié)點(diǎn)方向單元編號(hào)遞增。
單元連接拓?fù)潢P(guān)系通過定義鄰接單元數(shù)組L描述:L為1×n行向量,其中L(i)代表與第i號(hào)單元相鄰并靠近起始節(jié)點(diǎn)1的那一側(cè)單元編號(hào);規(guī)定與起始節(jié)點(diǎn)相連單元的鄰接單元為0。
如圖2所示,下面單元標(biāo)號(hào)滿足規(guī)則標(biāo)號(hào),箭頭標(biāo)出了單元坐標(biāo)系原點(diǎn)所在節(jié)點(diǎn)和第一根坐標(biāo)軸方向。
圖2 梁單元規(guī)則標(biāo)號(hào)Fig.2 Regularly labeling of beam elements
按照上述約定,圖示由三個(gè)單元組成的梁的鄰接單元數(shù)組為:L=[0 1 2]。
利用鄰接單元數(shù)組L,根據(jù)單元內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推關(guān)系式(36),可將i號(hào)單元坐標(biāo)系所在節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參量與起始節(jié)點(diǎn)關(guān)系表示為
(55)
其中
(56)
(57)
2.2 梁系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程
彈性體虛功率方程表述為:彈性體所受外力虛功率等于慣性力虛功率和應(yīng)變虛功率之和。劃分為n個(gè)單元柔性梁的虛功率方程為
(58)
將梁單元應(yīng)變虛功率式(10)、慣性力虛功率式(40)、外力虛功率式(47)及單元間運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推關(guān)系式(55)代入上式得到
其中質(zhì)量矩陣
(60)
廣義力列陣
(61)
由梁系統(tǒng)虛功率方程式(59)中虛變分獨(dú)立,其系數(shù)為零可得平面梁動(dòng)力學(xué)方程
(62)
在這一節(jié)中采用本文單元編寫了動(dòng)力學(xué)分析程序,分別選取了懸臂梁純彎曲、大范圍運(yùn)動(dòng)已知的旋轉(zhuǎn)柔性梁及包含大變形的自由下落柔性單擺3個(gè)算例進(jìn)行了求解,并將所得結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)[10-11,14-15]進(jìn)行了分析比較。
3.1 懸臂梁受梁端集中彎矩作用
懸臂梁端受集中彎矩M作用,梁長度L=10 m,梁端線位移u,v如圖3所示。
圖3 懸臂梁受集中彎矩作用Fig.3 Cantilever beam undergoes bending load
由于存在結(jié)構(gòu)阻尼,梁最終會(huì)處于靜平衡狀態(tài),這里采用本文算法將整個(gè)梁劃分為5個(gè)單元,為了減少懸臂梁達(dá)到平衡狀態(tài)所用時(shí)間,這里選取阻尼比η=0.1進(jìn)行仿真。在不同彎矩作用下梁最終的變形狀態(tài)如圖4所示。
圖4 不同彎矩作用下懸臂梁的大變形Fig.4 Large deformation of the cantilever under bending moments
下面給出懸臂梁在彎矩M=2πEIz/L作用下梁末端位移隨時(shí)間變化曲線如圖5所示。
圖5 懸臂梁末端受集中彎矩的位移Fig.5 The tip displacements of the cantilever with an end bending load
從位移時(shí)間曲線圖可以看出,在較大結(jié)構(gòu)阻尼作用下懸臂梁經(jīng)過兩個(gè)周期就達(dá)到了最終的平衡狀態(tài),且僅用5個(gè)單元就得到了與解析解高度吻合的結(jié)果,由此表明本文單元在處理包含大變形問題的優(yōu)越性。
3.2 旋轉(zhuǎn)柔性梁大范圍運(yùn)動(dòng)已知
大范圍運(yùn)動(dòng)已知的旋轉(zhuǎn)柔性梁已被很多學(xué)者[14-15]用來考察所提方法補(bǔ)充“動(dòng)力剛化項(xiàng)”的能力。如圖6所示,柔性梁物理參數(shù)選取與文獻(xiàn)[14]相同:梁長L=10 m截面面積A=1 m2,截面慣性矩Iz=5×10-4m4,彈性模量E=2.8×107Pa,密度ρ=1.2 kg/m3。
圖6 旋轉(zhuǎn)柔性梁Fig.6 A flexible beam on a rotating base
柔性梁繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心的轉(zhuǎn)角φ(t)規(guī)律為
(63)
這里忽略梁結(jié)構(gòu)阻尼,將梁劃分為5個(gè)單元,仿真時(shí)間為30s,得到梁自由端位移響應(yīng)曲線如圖7所示。
圖7 自由端位移曲線Fig.7 Displacement curves at the free end
從圖7可以看出:梁端部位移隨著轉(zhuǎn)動(dòng)速度增加而增大,當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定數(shù)值維持不變,軸向位移逐漸回落并穩(wěn)定在5.14×10-4m,橫向位移在0附近小幅度波動(dòng)。采用本文單元的仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[14-15]完全相符,可以驗(yàn)證算法對(duì)動(dòng)力剛化問題的適用性。
3.3 自由下落柔性單擺
最后一個(gè)算例研究柔性單擺在重力作用下自由下落問題,單擺初始時(shí)刻水平放置如圖8所示。
圖8 柔性單擺Fig.8 The flexible pendulum
這個(gè)算例的大范圍剛體運(yùn)動(dòng)是未知的,是個(gè)典型的大范圍運(yùn)動(dòng)與變形運(yùn)動(dòng)耦合的問題。針對(duì)這個(gè)算例劉錦陽[10]和陳思佳[11]分別采用不同建模方法進(jìn)行仿真求解,并與混合坐標(biāo)法一次近似模型進(jìn)行了對(duì)比。通過選取較低的材料彈性模量使得彈性變形不再是小量,以此來驗(yàn)證方法對(duì)大變形問題的適用性。柔性擺的長度L=1.8 m,E=6.895×109Pa,A=2.5 cm2,Iz=0.13 cm4,密度ρ=2 766.67 kg/m3。
這個(gè)算例中將單擺劃分為5個(gè)單元,以本文方法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法[10]在Matlab環(huán)境中選用剛性微分方程組求解器ode23tb,數(shù)值積分參數(shù)設(shè)定為:絕對(duì)誤差限AbsT=0.1,相對(duì)誤差限RelT=0.01,在同一臺(tái)微機(jī)上進(jìn)行仿真2.5 s,所用CPU時(shí)間如表1所示。
表1 絕對(duì)坐標(biāo)方法與本文方法CPU時(shí)間對(duì)比
Tab.1 The CPU time comparison between absolute coordinate method and the proposed method
方法文獻(xiàn)[10]絕對(duì)坐標(biāo)法本文方法CPU時(shí)間225.05s6.29s
兩種方法所得單擺末端位移時(shí)間曲線如圖9所示。
圖9 柔性單擺的末端位移Fig.9 The tip deformation of the flexible pendulum
根據(jù)文獻(xiàn)[10-11]結(jié)果,混合坐標(biāo)法一次近似模型仿真結(jié)果發(fā)散,表明其不適用與包含大變形的梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析。而本文采用應(yīng)變插值所得結(jié)果與文獻(xiàn)[10-11]相吻合,具有較好的計(jì)算精度。
從兩種方法所用CPU時(shí)間對(duì)比可以看出,本文單元求解效率優(yōu)于文獻(xiàn)[10]絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元,也具有很好的計(jì)算效率。
本文通過直接選取單元應(yīng)變進(jìn)行插值構(gòu)造了一種不受單元變形大小限制,適用于剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析的平面梁單元。梁變形的位移及轉(zhuǎn)角之間的耦合關(guān)系通過幾何方程積分得到,并由此給出了節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推關(guān)系。本文所提梁單元有如下特點(diǎn):
(1)選取單元應(yīng)變進(jìn)行離散不受單元?jiǎng)傮w運(yùn)動(dòng)的影響,得到了簡潔的單元?jiǎng)偠染仃嚰肮?jié)點(diǎn)力;
(2)根據(jù)應(yīng)變場由幾何方程積分得到梁截面形心坐標(biāo)和轉(zhuǎn)角耦合關(guān)系,自動(dòng)計(jì)及了“動(dòng)力剛化項(xiàng)”;
(3)單元不受變形大小的限制,適用于包含大變形梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析。
[1] Kane T R, Ryan R, Banerjee A K. Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1987, 10(2): 139—151.
[2] 楊輝, 洪嘉振, 余征躍. 動(dòng)力剛化問題的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 36(1): 118—124.
YANG Hui, HONG Jiazhen, YU Zhengyue. Experimental investigation on dynamic stiffening phenomenon[J]. Acta Mechanica Sinica, 2004,36(1):119—124.
[3] 楊輝, 洪嘉振, 余征躍. 剛?cè)狁詈辖@碚摰膶?shí)驗(yàn)驗(yàn)證[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 35(2): 253—256.
YANG Hui, HONG Jia-zhen,YU Zheng-yue.Experiment validation of modeling theory for rigid-flexible coupling systems[J].Acta Mechanica Sinica,2003,35(2):253—256.
[4] Cai G P, Hong J Z, Yang S X. Dynamic analysis of a flexible hub-beam system with tip mass[J]. Mechanics Research Communications, 2005, 32(2): 173—190.
[5] Cai G P, Lim C W. Dynamics studies of a flexible hub-beam system with significant damping effect[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 318(1): 1—17.
[6] 劉錦陽, 洪嘉振. 柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2002, 15(2): 194—198.
Liu Jinyang, Hong Jiazhen. Study on rigid-flexible coupling dynamic behaviour of flexible beam[J]. Journal of Vibration Engineering,2002, 15(2): 194—198.
[7] 方建士, 章定國. 旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)特性分析[J]. 物理學(xué)報(bào), 2013,62(4): 305—311.
Fang Jianshi, Zhang Dingguo. Analyses of rigid-flexible coupling dynamic properties of a rotating internal cantilever beam[J]. Acta Physica Sinica,2013,62(4) : 305—311.
[8] 鄧峰巖, 和興鎖, 楊永鋒, 等. 計(jì)及非線性變形的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)建模[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2006, 28(6): 800—804.
Deng Fengyan, He Xingsuo, Yang Yongfeng, et al. Dynamics modeling for a rigid-flexible coupling system with onlinear deformation field[J]. Journal of Mechanical Strength, 2006, 28(6): 800—804
[9] Shi P, McPhee J, Heppler G R. A deformation field for Euler-Bernoulli beams with applications to flexible multibody dynamics[J]. Multibody System Dynamics, 2001, 5(1): 79—104.
[10]李彬, 劉錦陽. 大變形柔性梁系統(tǒng)的絕對(duì)坐標(biāo)方法[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 39(5): 827—831.
Li Bin, Liu Jinyang. Application of absolute nodal coordination formulation in flexible beams with large deformation[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2005, 39(5):827—831.
[11]陳思佳, 章定國, 洪嘉振. 大變形旋轉(zhuǎn)柔性梁的一種高次剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 45(2): 251—256.
Chen Sijia, Zhang Dingguo, Hong Jiazhen. A high-order rigid-flexible coupling model of a rotating flexible beam under lagre deformation[J]. Acta Mechanica Sinica, 2013, 45(2): 251—256.
[12]張志剛, 齊朝暉, 吳志剛. 基于曲率插值的大變形梁單元[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2013 34(6): 620—629.
Zhang Zhigang, Qi Zhaohui, Wu Zhigang. A large deformation beam element based on curvature interpolation[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(6): 620—629.
[13]Garcíd D, Valverde J, Dominguez J. An internal damping model for the absolute nodal coordinate formulation[J]. Nonlinear Dynamics, 2005, 42(4): 347—369.
[14]Simo J C, Vu-Quoc L. On the dynamics in space of rods undergoing large motions—a geometrically exact approach[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1988, 66(2): 125—161.
[15]Zhao Z, Ren G. A quaternion-based formulation of Euler-Bernoulli beam without singularity[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67(3):1 825—1 835.
Rigid-flexible dynamics analysis of a large deformation beam element based on interpolation of strains
ZHANGZhi-gang1,QIZhao-hui1,WUZhi-gang1,2
(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2.School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)
The “dynamic stiffening” phenomenon in flexible multi-body system dynamics is due to the deformation coupling. The first-order approximation model has been successfully applied in the rigid-flexible coupling modeling of small deformation. However, it is found necessary to consider more deformation coupling effects in lager deformation cases. In this paper, the beam bending curvature and axial strain are selected as the element parameters. Then the recursion formulations are obtained for the kinematic parameters of two end nodes of an element based on theories of large deformation and finite rotation. A planar beam element used for large deformation rigid-flexible dynamics analysis is proposed, which can automatically take into account the “dynamic stiffening terms”. Finally, the validity and effectiveness of the proposed algorithm are verified through some numerical examples which involve the large deformations and rigid-flexible dynamics of beams.
rigid-flexible coupling; beam element; strain interpolation; dynamic stiffening
2013-12-26;
2014-06-12
國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372057)
O313.7
A
1004-4523(2015)03-0337-08
10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.001
張志剛(1984—),男,博士研究生。電話: 15326175369; E-mail:zhigangzhang@foxmail.com
齊朝暉(1964—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail: zhaohuiq@dlut.edu.cn