崔克楠，陶源盛

(電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院， 成都 611731)

最大傳輸功率之再探究

崔克楠，陶源盛

(電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院， 成都 611731)

在信號(hào)傳輸時(shí)，功率是考慮的重要因素之一。在教材中最大功率傳輸定理的基礎(chǔ)上，對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)下的最大傳輸功率做了更深入的討論，得出了戴維南阻抗和負(fù)載在三種特殊限制條件下的最大傳輸功率。介紹了在負(fù)載不能任意改變的情況下，為實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸而通常選用的三種LC匹配網(wǎng)絡(luò):“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)、“T”型匹配網(wǎng)絡(luò)和“π”型匹配網(wǎng)絡(luò)，并經(jīng)討論得出三種匹配網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是一種網(wǎng)絡(luò)，即“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

最大傳輸功率;戴維南阻抗;LC匹配網(wǎng)絡(luò)

在分析從電源到負(fù)載的功率傳輸?shù)脑O(shè)計(jì)方案時(shí)，最大傳輸功率往往是關(guān)注的核心之一。因?yàn)橥ㄐ畔到y(tǒng)和測(cè)量系統(tǒng)的信號(hào)源的輸出功率有限，因此希望在信息或數(shù)據(jù)的傳輸中要求負(fù)載能達(dá)到最大傳輸功率。

文獻(xiàn)[1-2]給出的最大功率傳輸定理僅適用于純電阻電路、共軛匹配、模匹配等三種情況的計(jì)算。

本文將對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的最大傳輸功率做更進(jìn)一步的探討。首先，推導(dǎo)戴維南阻抗與負(fù)載在受限制情況下的最大傳輸功率；然后，推導(dǎo)在不改變負(fù)載的情況下，如何通過(guò)添加匹配網(wǎng)絡(luò)使負(fù)載達(dá)到最大傳輸功率。

1 電路受限制

以往的文獻(xiàn)中，已經(jīng)對(duì)純電阻電路中的最大功率傳輸定理和電抗電路中共軛匹配、模匹配有了詳細(xì)的推導(dǎo)，故在此不再贅述。本文將詳細(xì)地推導(dǎo)在電路受限制[3]的三種情況下的最大傳輸功率。

由戴維南定理可知，任何一個(gè)線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性而言，都可以等效為戴維南電路。因此，工程上常把負(fù)載阻抗Z0=R0+jX0以外的線性網(wǎng)絡(luò)等效為電壓源U0和戴維南阻抗Z0=R0+jX0串聯(lián)的戴維南等效電路，如圖1所示。

圖1 戴維南等效電路圖

1.1 戴維南阻抗為感性，負(fù)載阻抗為感性

在戴維南阻抗為感性，負(fù)載阻抗為感性時(shí)，即滿足這樣的條件：

(1)

則電流和功率可表示為：

(2)

對(duì)P求關(guān)于PL和XL的偏導(dǎo)數(shù)可得：

(3)

由于XL>0，X0>0條件限制，無(wú)法滿足下面的條件：

(4)

而當(dāng)戴維南阻抗為容性，負(fù)載阻抗為容性時(shí)，若要達(dá)到最大傳輸功率，也是同樣的道理。

1.2 戴維南阻抗為純電容或純電感

在戴維南阻抗為純電容或純電感，即滿足這樣的條件：

(5)

則電流和功率可表示為：

(6)

對(duì)P求關(guān)于PL和XL的偏導(dǎo)數(shù)可得：

(7)

當(dāng)XL=-X0，RL越趨近于零，負(fù)載所得到的傳輸功率便越大。

故此類也是一種極限問(wèn)題。在此種情況下，負(fù)載的傳輸功率沒(méi)有最大值。只有當(dāng)XL=-X0，RL越趨近于零，負(fù)載獲得的傳輸功率越大。

1.3 負(fù)載為純電容或純電感

當(dāng)負(fù)載為純電容或純電感時(shí)，滿足以下條件：

(8)

(9)

由式(9)可見(jiàn)，當(dāng)負(fù)載為純電感或純電容時(shí)，負(fù)載的傳輸功率一定為零。

在通信和電子設(shè)備的設(shè)計(jì)中，常常需要滿足共軛匹配或模匹配，以便使負(fù)載獲得最大傳輸功率。那么在負(fù)載不能任意變化的情況下，應(yīng)該怎樣才能提高負(fù)載所獲得的傳輸功率呢？

2 匹配網(wǎng)絡(luò)

在含源單口網(wǎng)絡(luò)與負(fù)載之間插入一個(gè)由異性電抗元件構(gòu)成的“阻抗變換電路即匹配網(wǎng)絡(luò)”[5]，可以滿足負(fù)載獲得最大傳輸功率的條件。下面介紹4種常用的LC匹配網(wǎng)絡(luò)。

2.1 “L”型匹配網(wǎng)絡(luò)

在純電阻電路中，通常選用“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。

根據(jù)R0與RL的大小關(guān)系分為兩種情況討論。

1)R0

在這種情況下常用轉(zhuǎn)置“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)[6]。該匹配網(wǎng)絡(luò)由適當(dāng)規(guī)格的電感元件與電容元件組成，電路如圖2所示，虛線框內(nèi)為轉(zhuǎn)置“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

圖2 R0

為了計(jì)算方便，將電容與電阻的并聯(lián)單口等效轉(zhuǎn)換為串聯(lián)單口，再寫出由LC匹配網(wǎng)絡(luò)和負(fù)載電阻共同形成的單口網(wǎng)絡(luò)ab端的輸入阻抗，并令它等于戴維南阻抗的共軛復(fù)數(shù)[7]。

電感與電容元件的具體數(shù)值推導(dǎo)如下：

R0-jX

(10)

令式(10)的實(shí)部等于R，其虛部為零可得：

(11)

(12)

2)R0>RL

在這種情況下選用倒“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)，仍由適當(dāng)規(guī)格的電感與電容元件組成，電路如圖3所示，虛線框內(nèi)即為倒“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

圖3 R0>RL的“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)圖

電感與電容的數(shù)值推導(dǎo)過(guò)程與2.1類似，此處不再贅述，直接給出L與C的計(jì)算公式：

(13)

2.2 “T”型匹配網(wǎng)絡(luò)

在純電阻電路中可采用“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)，在電抗電路中，通常采用“T”型匹配網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸[8]。

例如：戴維南阻抗與負(fù)載阻抗分別為Z0=R0+jX0，ZL=RL+jXL，且X0，XL>0，即戴維南阻抗與負(fù)載阻抗均為感性，要實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸，可以設(shè)計(jì)一個(gè)“T”型匹配網(wǎng)絡(luò)。電路如圖4所示，虛線框內(nèi)為“T”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

圖4 “T”型匹配網(wǎng)絡(luò)圖

匹配網(wǎng)絡(luò)中的兩個(gè)電容元件C2、C3分別抵消了戴維南阻抗、負(fù)載上的電感分量X0、XL。完全抵消后的電路可以等效為2.1中圖1的情形，即可看作純電阻電路。接著按照2.1中的設(shè)計(jì)方法選取適當(dāng)規(guī)格的電感與電容元件構(gòu)成“L”型網(wǎng)絡(luò)就可以實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。

電容C2、C3抵消電感分量X0、XL，故有：

(14)

(15)

電感L與電容C的具體數(shù)值可以利用式(11)與式(12)進(jìn)行計(jì)算

2.3 “π”型網(wǎng)絡(luò)

在電抗電路中，也可以選用“π”型匹配網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸[9]。

例如：戴維南阻抗為純電阻R0與電感L2并聯(lián)，負(fù)載為純電阻RL，我們就可利用“π”型匹配網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。電路如圖5所示，虛線框內(nèi)為“π”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

圖5 “π”型匹配網(wǎng)絡(luò)圖

電容C2的作用是完全抵消電感L2在電路中所起的影響，這時(shí)的電路就可以等效為2.1節(jié)中圖1所示的情形。匹配網(wǎng)絡(luò)余下的L1、C1構(gòu)成“L”型網(wǎng)絡(luò)并實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。

電容C2完全抵消電感L2在電路中所起的影響，故有

(16)

解得

(17)

L1、C1的數(shù)值同樣可以利用式(11)與式(12)計(jì)算，此處不再贅述。

2.4 “L”型、“T”型、“π”型匹配網(wǎng)絡(luò)的一致性

“L”型、“T”型、“π”型三種匹配網(wǎng)絡(luò)的形式雖然不同，但本質(zhì)是相同的。

“T”型、“π”型匹配網(wǎng)絡(luò)都是在“L”型網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來(lái)的。當(dāng)電路為純電阻電路且戴維南等效電阻與負(fù)載不相等時(shí)，根據(jù)兩者的大小關(guān)系分別選用兩種“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)電路為電抗電路，根據(jù)電路的實(shí)際情況，只需在“L”型網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上添加相應(yīng)的電抗元件抵消掉戴維南阻抗與負(fù)載的電抗分量即可，增加的電抗元件和原有“L”型網(wǎng)絡(luò)就構(gòu)成了“T”或者“π”型網(wǎng)絡(luò)型匹配網(wǎng)絡(luò)。

由此可見(jiàn)，三種網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是一種網(wǎng)絡(luò)，即“L”型匹配網(wǎng)絡(luò)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文從教材中已給出的純電阻電路最大功率傳輸定理和共軛匹配、模匹配出發(fā)，對(duì)電路在限制條件下達(dá)到最大傳輸功率做了更為深入的討論，從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出了戴維南阻抗為感性且負(fù)載阻抗為感性、戴維南阻抗為純電容或純電感、負(fù)載為純電容或純電感等三種特殊情況時(shí)的最大傳輸功率。當(dāng)戴維南阻抗和負(fù)載阻抗不能任意改變時(shí)，根據(jù)電路的實(shí)際情況，通過(guò)設(shè)計(jì)添加“L”型、“T”型、“π”型三種匹配網(wǎng)絡(luò)，使負(fù)載獲得最大傳輸功率，并分別通過(guò)推導(dǎo)說(shuō)明如何添加電抗元件來(lái)構(gòu)成匹配網(wǎng)絡(luò)。

[1]胡翔駿.電路分析[M].2版.北京:高等教育出版社，2007.

[2]張偉，張蛟龍，韓素敏.重視電路中最大功率傳輸定理的使用條件[J].中國(guó)電子教育，2009(3):55-57.

[3]左全生.負(fù)載阻抗受限制情況下的最大功率傳輸?shù)难芯縖J].常州工學(xué)報(bào)，2008，21(2):32-34.

[4]傅英定.微積分(下冊(cè))[M].2版.北京:高等教育出版社，2009:11-14，66-67.

[5]拉巴次仁.正弦穩(wěn)態(tài)電路中負(fù)載獲得最大平均功率情況分析[J].西藏大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27(1):107-110.

[6]魯業(yè)頻.基于匹配網(wǎng)絡(luò)若干問(wèn)題的推論[J].大學(xué)物理，1997，16(7):11-12.

[7] 胡翔駿.電路分析[M].2版.北京:高等教育出版社，2007:411-412.

[8] 劉秀成，黃松嶺，于歆杰，等.關(guān)于最大功率傳輸問(wèn)題的討論[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(1):19-22.

[9] 劉嵐，聶丹.分立元件的匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與仿真[J].信息技術(shù)，2004，28(4):58-60.

Reconsideration of Maximum Power Transfer Law

CUI Ke’nan, TAO Yuansheng

(School of Optoelectornic Information, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

In the signal transmission, power is one of the most important factors to be considered. The first part of the paper discusses on sinusoidal steady-state maximum power transmission on the basis of the maximum power transfer theorem, and works out the maximum power transfer of Thevenin’s equivalent resistance under three specific boundary conditions. The second part of the paper introduces three typical LC matching networks used to achieve maximum power transfer under the circumstances in which the load cannot be changed arbitrarily: the “L” matching network, the “T” matching network and “π” matching network, and discuss the three matching networks are essentially a network that is “L” matching network.

maximum power transfer; Thevenin impedance; LC matching network

2014-07-16；修改日期: 2014-09-08

崔克楠(1995-)，男，本科在讀，專業(yè)方向：光電信息顯示專業(yè)。

TM131

B

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.04.068