孔 特，魏建成，陳琳洛，鄒 京， 吳援明

(電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院，成都 610054)

求解微分方程的電路設(shè)計(jì)

孔 特，魏建成，陳琳洛，鄒 京， 吳援明

(電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院，成都 610054)

電子電路的物理特性使其能夠讓人避開煩瑣的數(shù)學(xué)方法而快速求解微分方程。文中從非數(shù)學(xué)手段的方面去分析二階微分方程的解決方法，將其轉(zhuǎn)化成電路設(shè)計(jì)的形式。通過一個(gè)具體的二階微分方程，設(shè)計(jì)出相應(yīng)電路，并且通過計(jì)算機(jī)仿真軟件測試了設(shè)計(jì)電路。針對仿真結(jié)果暴露出的幾個(gè)問題，改進(jìn)了電路，且在改進(jìn)的電路上總結(jié)歸納出了電路設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)要求。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步構(gòu)建出適解一切二階微分方程的電路模型，并給出了電路中元器件參數(shù)的設(shè)計(jì)要求。

解微分方程；集成運(yùn)算放大器；積分電路；計(jì)算機(jī)模擬

1 設(shè)計(jì)目標(biāo)與設(shè)計(jì)思路

1.1 設(shè)計(jì)目標(biāo)

對二階微分方程， 通常通過一系列的數(shù)學(xué)手段來解決。若可運(yùn)用集成電路搭建積分電路的功能，將會是一種解決二階微分方程更加便捷的方法。本文探究和設(shè)計(jì)一種能夠解決二階微分方程的電路。

1.2 設(shè)計(jì)思路

1.2.1 求解微分方程思路的理論分析

設(shè)一個(gè)一般的二階微分方程：

(1)

對式(1)做移項(xiàng)處理得：

(2)

再對式(2)左右兩邊做一次積分處理得：

(3)

分析式(3)，在電子電路的設(shè)計(jì)上，這一步積分可理解為將信號c和信號f(t)送入一個(gè)積分電路(設(shè)為第一級積分電路)。

繼續(xù)對式(3)再做一次移項(xiàng)，使等式的左邊始終保持只有微分項(xiàng)。令：

(4)

對式(4)左右兩邊再做一次積分，得：

(5)

從式(5)可以看出，我們成功解出了y。在電子電路的設(shè)計(jì)上，這一步可理解為將第一級積分電路的輸出和第二級積分電路的輸出的b倍，輸入到第二級積分電路的輸入端。

綜合上述分析，整個(gè)解決二階微分方程的電路需要兩級積分電路，其中第一級積分電路輸入端有兩個(gè)輸入，分別為常量c和獲取信號f(x)。故可使用集成運(yùn)放搭建單項(xiàng)積分電路作為電路的第一級，第一級的輸出即為Z1，搭建一個(gè)兩項(xiàng)加法電路作為電路的第二級，其中兩個(gè)輸入為Z1和by。

1.2.2 電路設(shè)計(jì)的理論分析

由模擬電路的相關(guān)知識知，通過一個(gè)集成運(yùn)放和相關(guān)的外圍電路構(gòu)成一個(gè)積分電路，如圖1所示。

圖1 集成運(yùn)放構(gòu)建的簡單積分電路

由虛短、虛斷的概念和電容的伏安關(guān)系可得：

式中：Vo(t)表示積分電路的輸出；Vi(t)表示積分電路的輸入信號；Vc(0)是電容上的初值電壓；R1C即為圖1中電阻R1與電容C的乘積。由輸入、輸出關(guān)系可知，可以通過R1和C兩個(gè)元件來控制積分中的系數(shù)[3]。

2 設(shè)計(jì)步驟及仿真

2.1 設(shè)計(jì)步驟

為方便起見，我們將以

為特例，通過上文的設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)一個(gè)能夠解決該微分方程的電路，借助Multisim電路仿真模擬軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證。根據(jù)之前的設(shè)計(jì)思路，對式(3)的分析可知，我們需要將信號c和信號f(t)送入一個(gè)積分電路，因?yàn)槭街袩o直流信號c，所以輸入只有一個(gè)f(t)。選用1.2.2中所設(shè)計(jì)的積分電路，該電路即為第一級積分電路。

第一級積分電路的元器件及參數(shù)設(shè)置如下：選用OPAMP741集成運(yùn)放，2腳連的輸入電阻R1選擇50kΩ，3腳連的接地電阻Re1選擇10kΩ，反饋電容選擇0.2μF。再對式(5)的分析可知，電路的第二級積分電路需要兩個(gè)輸入Z1和-by，故對第二級積分電路做雙輸入處理。

第二級積分電路的元器件及參數(shù)設(shè)置如下：選用OPAMP741集成運(yùn)放，2腳第一個(gè)輸入是來自第一級積分電路的輸出，其輸入電阻R2選擇5kΩ，第二個(gè)輸入來自第二級積分電路的輸出，其輸入電阻選擇120kΩ，反饋電容選擇0.2μF，3腳的接地電阻Re2選擇10kΩ。

將兩級積分電路連接就得到了解決所給的特例微分方程的電路，設(shè)計(jì)好的積分電路如圖2所示。

圖2 初次構(gòu)建求解微分方程的電路圖

2.2 仿真測試

經(jīng)由2.1節(jié)的設(shè)計(jì)，電路的主體部分已經(jīng)搭建好。接上直流電源，再由函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生頻率50 Hz、振幅500 mV的正弦信號作為測試信號，檢驗(yàn)搭建的電路是否滿足微分方程的理論解：

仿真結(jié)果顯示，第一級積分電路和第二級積分電路的輸出都有明顯的失真(對輸出信號使用了示波器的交流檔，只顯示了輸出信號交流部分的波形)，使用探針測試輸出端的電壓、電流參數(shù)，探針測試結(jié)果表明，輸出具有嚴(yán)重的直流偏移現(xiàn)象，Vdc=-14.1 V。這次仿真結(jié)果并沒有達(dá)到要求，如圖3所示。

3 關(guān)鍵問題與改進(jìn)方法

3.1 問題發(fā)現(xiàn)

根據(jù)以上的測試結(jié)果，電路輸出存在兩個(gè)關(guān)鍵問題：(1)電路的輸出存在直流偏移現(xiàn)象；(2)輸出的波形存在失真情況。

3.2 改進(jìn)方法

針對電路輸出波形失真情況，可采用在反饋電容上并聯(lián)一個(gè)數(shù)值合適的電阻來解決。通過不斷改

圖3 初次測試的輸入與輸出波形

變3腳上的接地電阻的阻值大小來調(diào)節(jié)直流偏移[3]。

結(jié)合以上改進(jìn)，我們決定在兩級電路的反饋電容上各自并聯(lián)一個(gè)200 kΩ的電阻。同時(shí)，調(diào)節(jié)第一級積分電路的接地電阻為80 kΩ左右，調(diào)節(jié)第二級積分電路的接地電阻為75 kΩ左右。

3.3 再次仿真

再次仿真結(jié)果表明，在之前仿真中出現(xiàn)的問題得到了較好的解決，電路的直流偏移現(xiàn)象基本消除，波形的失真現(xiàn)象也得到了很好的解決，如圖4所示。

圖4 改進(jìn)電路之后測試的輸入與輸出波形

3.4 電路改進(jìn)測試

雖然上次的電路改進(jìn)基本解決了失真和直流偏移問題，但是電路從開始運(yùn)行到達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要較長的時(shí)間，即電路的響應(yīng)比較慢，延遲比較嚴(yán)重。

為了使電路的響應(yīng)變快，需要減小電路的時(shí)間常數(shù)，即R、C的乘積值。將電容值改為原值的1/10，再次測試發(fā)現(xiàn)電路又出現(xiàn)了失真，可知，電路的時(shí)間常數(shù)不能任意減小，所以電容、電阻選擇具有一定的范圍。超出一定范圍可能會使電路不能工作在正常狀態(tài)。本次試驗(yàn)選的電阻、電容值已在合理范圍內(nèi)，故不再做改動。

4 結(jié)束語

通過求解12(d2y/dt2)-0.5(dy/dt)=f(t)的電子電路的設(shè)計(jì)，已經(jīng)證實(shí)上文關(guān)于求解二階微分方程電路的設(shè)計(jì)分析是合理的，通過兩級積分電路確實(shí)能夠解決二階微分方程。對于一般的微分方程a(d2y/dt2)+b(dy/dt)+c=f(t)，該兩級積分電路一般具有如圖5所示的電路結(jié)構(gòu)。

圖5 求解二階微分方程的電路模型

第一級電路中的R1C1的數(shù)值應(yīng)該等于1左右(合理的數(shù)量級應(yīng)該在10-2上)，并聯(lián)在電容上的直流電源為電容提供初始值(初始值為0時(shí)，可去除這個(gè)直流電源)。3腳上的接地電阻具有調(diào)節(jié)電路輸出的直流偏移的作用，并聯(lián)在電容上的電阻具有穩(wěn)定電路輸出、調(diào)節(jié)失真的作用。這兩者都要在電路中調(diào)節(jié)不同的值。第二級積分電路中R2C2的數(shù)值上應(yīng)該等于1/a(合理的數(shù)量級在10-2上)；R3C3的數(shù)值上應(yīng)等于b/a(合理的數(shù)量級在10-2上)；至于3腳上的接地電容和并聯(lián)在電容上的電阻的作用同第一級的一樣(效果作用于第二級電路上)[4]。

除此之外，積分電路利用了電容的記憶性，所以，在設(shè)計(jì)電路時(shí)，考慮到電容大小對電路的影響。首先，輸入信號的頻率必須滿足f>1/(2πR1C)，否則起不到積分作用；其次，電容的選取不能太小，電容過小容易導(dǎo)致出現(xiàn)飽和的情況，導(dǎo)致輸出的波形有所缺失。選取電容的時(shí)候，盡量選取容值較小的電容、大電阻，使得電路的輸入電流較小。

[1]施學(xué)東.求解微分方程的一種簡明方法[EB/OL].[2013.12.17].http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-XYSK198904004.htm.

[2]吳援明，唐軍.模擬電路分析與設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社，2006:387-388.

[3]吳援明，唐軍，曲健.模擬電路分析與設(shè)計(jì)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:科學(xué)出版社，2007:202-203.

[4]崔紅玲，李朝海，陳駿蓮， 等.電子技術(shù)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)[M].成都:電子科技大學(xué)出版社，2008:166-167.

Circuit Design of Solving Differential Equation

KONG Te, WEI Jiancheng, CHEN Linluo, ZOU Jing, WU Yuanmin

(School of Optoelectronic Information, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

The physical properties of electronic circuit can make people avoid using the tedious mathematical methods,and solve the differential equation more easily. In consideration of these advantages of electronic circuit, the following text will analyze the methods to solve second-order differential equation from the aspects of non-mathematical methods, and convert it to the form of circuit design. Through a concrete second-order differential equation, we can design the corresponding circuit, and test the designed circuit through computer simulation software. According to a few questions revealing from simulation results, we modify the circuit accordingly, and summarize the several requirements of circuit design in the modified circuit. On these basis, we can build a circuit model available to all of second-order differential equation further, as well as the design requirements of circuit components parameters.

solving differential equations；integrated operational amplifier；integrator circuits；computer simulation

2014-04-08；修改日期: 2014-12-23

孔 特(1994-)，男，本科在讀，專業(yè):信息顯示與光電技術(shù)。

吳援明(1966-)，男，教授，研究方向：光電信息處理。

TM

Bdoi:10.3969/j.issn.1672-4550.2015.04.066