王金蓮，陸萬(wàn)春

(1.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)雜志社，江西 南昌 330027；2.萍鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 萍鄉(xiāng) 337055)

半平面上解析的Laplace-Stieltjes變換的對(duì)數(shù)精確級(jí)

王金蓮1，陸萬(wàn)春2

(1.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)雜志社，江西 南昌 330027；2.萍鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 萍鄉(xiāng) 337055)

利用對(duì)數(shù)精確級(jí)的定義，研究了右半平面上解析的Laplace-Stieltjes變換的對(duì)數(shù)精確級(jí)，得到對(duì)數(shù)精確級(jí)與最大模、最大項(xiàng)及中心指標(biāo)的關(guān)系，推廣了Dirichlet級(jí)數(shù)的相關(guān)結(jié)果.

對(duì)數(shù)精確級(jí)；Laplace-Stieltjes變換；最大項(xiàng)；中心指標(biāo)；增長(zhǎng)性

1 預(yù)備知識(shí)

考慮Laplace-Stieltjes變換所定義的函數(shù)

(1)

其中α(x)是對(duì)于x≥0有定義的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值函數(shù)，而且它在任何閉區(qū)間[0，X](0

作序列{λn}：

0=λ0<λ1<λ2<…<λn↑+∞，

(2)

并且滿足

(3)

記：

(4)

時(shí)，其定義的函數(shù)F(s)在右半平面上解析，定義其增長(zhǎng)級(jí)為[2]

當(dāng)ρ=∞和ρ=0時(shí)，分別稱變換(1)為無(wú)窮級(jí)和零級(jí)Laplace-Stieltjes變換.文獻(xiàn)[3-5]利用型函數(shù)研究了無(wú)窮級(jí)Laplace-Stieltjes變換的增長(zhǎng)性.文獻(xiàn)[6-8]研究了零級(jí)Laplace-Stieltjes變換的增長(zhǎng)性.為了進(jìn)一步研究零級(jí)Laplace-Stieltjes變換的增長(zhǎng)性，文獻(xiàn)[2]定義了指數(shù)級(jí)Je(F)和下指數(shù)級(jí)Le(F)，其中

文獻(xiàn)[9]定義了對(duì)數(shù)級(jí)ρ*及下對(duì)數(shù)級(jí)λ*：對(duì)于F(s)∈D0，

(5)

對(duì)于F(s)∈D0，文獻(xiàn)[9]中還介紹了如下的對(duì)數(shù)型T*及對(duì)數(shù)下型t*：

定義1 稱定義在(0，∞)內(nèi)的實(shí)值函數(shù)ρ*(σ)為對(duì)數(shù)精確級(jí)，是指其滿足條件：

(ⅰ) 對(duì)所有滿足0<σ<σ0<∞的σ，ρ*(σ)非負(fù)、連續(xù)、分段可微；

對(duì)于具有對(duì)數(shù)精確級(jí)ρ*(σ)的函數(shù)F(s)∈D0，定義其關(guān)于ρ*(σ)的對(duì)數(shù)型T*及下對(duì)數(shù)型t*為：

定義2 若0

在文獻(xiàn)[10]中，作者把對(duì)數(shù)精確級(jí)和對(duì)數(shù)精確級(jí)的型推廣到更加一般的情況.本文利用文獻(xiàn)[11-12]的思想，通過(guò)對(duì)數(shù)精確級(jí)的定義，進(jìn)一步得到對(duì)數(shù)精確級(jí)與最大項(xiàng)及中心指標(biāo)的關(guān)系.設(shè)F(s)∈D0的對(duì)數(shù)精確級(jí)為ρ*(σ)，記：

(6)

(7)

(8)

2 主要結(jié)果及證明

引理1 設(shè)ρ*(σ)為對(duì)數(shù)精確級(jí)，則對(duì)于ξ<ρ*+1及0<σ<β<σ0，有

(9)

證明

由定義1，有

(10)

由(10)式，可得(9)式成立.

定理1 設(shè)F(s)∈D0具有對(duì)數(shù)級(jí)ρ*，下對(duì)數(shù)級(jí)λ*(1<λ*≤ρ*<+∞)及對(duì)數(shù)精確級(jí)ρ*(σ)→ρ*(σ→0)，則有

b≤λ*≤ρ*≤B，

(11)

(12)

證明 由(8)式，對(duì)于任意滿足0<ε

對(duì)上述不等式兩邊從σ0到σ積分，則有

(b-ε)loglog(1/σ)+O(1)

由(5)式，對(duì)充分小的σ，上述不等式兩邊同除以loglog(1/σ)，并令σ→0，則(11)式成立.

根據(jù)(6)式，對(duì)任意滿足0<ε

(13)

由引理2，有

再由引理1，令ξ=1，則

對(duì)所有滿足0<σ<σ0<∞的σ，

取極限得

(14)

利用(13)式右邊的不等式，類似于(14)式的證明，可得

(15)

由(14)及(15)式易得(12)式成立.

推論 若L=l，則B=b=ρ*=λ*，即F(s)具有正規(guī)對(duì)數(shù)增長(zhǎng)級(jí).

定理2.2 設(shè)F(s)∈D0具有對(duì)數(shù)級(jí)ρ*(1<ρ*<∞)、關(guān)于對(duì)數(shù)精確級(jí)ρ*(σ)的對(duì)數(shù)型T*及下對(duì)數(shù)型t*，則對(duì)1

證明 由(6)式，對(duì)任意滿足0<ε

(16)

而且對(duì)1

(17)

因此，根據(jù)引理2，(16)及(17)式，有

(18)

用類似的方法，利用L的定義，容易得到

(19)

由(18)及(19)式可得定理2結(jié)論.

特別地，由于(18) 及(19)式對(duì)于滿足1

定理3 設(shè)F(s)∈D0具有對(duì)數(shù)級(jí)ρ*(1<ρ*<∞)，對(duì)數(shù)型T*及對(duì)數(shù)下型t*，并且對(duì)數(shù)精確級(jí)ρ*(σ)→ρ*(σ→0)，則

l≤ρ*t*≤ρ*T*≤L.

(20)

推論 如果

則F(s)是完全正規(guī)增長(zhǎng)的，并且ρ*(σ)與T*=L/ρ*.

證明 由上述已知條件與(6)式，l=L=ρ*T*.再由(20)式得T*=t*=L/ρ*，故F(s)是完全正規(guī)增長(zhǎng)的.

[1] 余家榮.Laplace-Stieltjes變換所定義的整函數(shù)之Borel線[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1963，13(3)：471-484.

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[9] 徐洪焱，易才鳳，胡偉.Laplace-Stieltjes變換所表示的解析函數(shù)的對(duì)數(shù)級(jí)與對(duì)數(shù)精確級(jí)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2013，33A(2)： 366-376.

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[11] 涂金，黃海霞，徐洪焱，等.單位圓內(nèi)亞純函數(shù)與解析函數(shù)的級(jí)與型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，37(5)：449-452.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

On the logarithmic proximate order of analytic functions represented by Laplace-Stieltjes transformation

WANG Jin-lian1，LU Wan-chun2

(1.Journal of Jiangxi Normal University，Nanchang 330027，China； 2.Department of Mathematics，Pingxiang University，Pingxiang 337055，China)

By using the definition of logarithmic proximate order，the logarithmic proximate order of functions represented by Laplace-Stieltjes transformation，which are analytic in the half plane，is studied.And the relations which depict how the growth of maximum term is closely connected with that of central index and logarithmic proximate order are derived.Some results of Dirichlet series are improved.

logarithmic proximate order；Laplace-Stieltjes transformation；maximum term；central index；growth

1000-1832(2015)04-0007-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.002

2015-04-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171170)；江西省教育廳科技基金資助項(xiàng)目(GJJ13788).

王金蓮(1963—)，女，編審，主要從事復(fù)分析研究.

O 174.52 [學(xué)科代碼] 110·41

A