馮浩鑒

(中國測繪科學(xué)研究院，北京 100039)

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廣義逆平差法詳解

馮浩鑒

(中國測繪科學(xué)研究院，北京 100039)

文獻(xiàn)[1]中提出的廣義逆平差法又稱逆平差法，通過解算廣義逆矩陣來解決測量平差問題是該方法的一個亮點。一般讀者對廣義逆矩陣這個概念可能比較生疏，但本文定義的廣義逆矩陣及其求解公式非常簡單，很容易掌握，對教學(xué)、科研和生產(chǎn)實踐有一定參考價值。

廣義逆矩陣；平差

一、引 言

處理測量平差問題大致分3個步驟：一是測量誤差方程的建立，二是平差模型的選擇，三是精度評定。這3個步驟互相聯(lián)系，互相制約，互相影響。觀測誤差方程建立后，對平差模型的選擇非常重要，它不但決定平差后的觀測精度，而且對整個觀測對象的客觀性產(chǎn)生直接影響。迄今從發(fā)表的大量文獻(xiàn)來看，對此問題進(jìn)行研究的論文很少，似乎沒有引起必要的重視。本文提供了多種平差模型，可能對各種平差對象的處理起拋磚引玉作用，也可能對一些特殊例子有獨到之處，從文獻(xiàn)[1]提供的小型算例可以得到一點提示。

二、基礎(chǔ)知識

假設(shè)矩陣A為非奇異矩陣，則A存在唯一的逆矩陣A-1，滿足AA-1=A-1A=E(單位矩陣)。如果方程組AX=B的系數(shù)矩陣A非奇異，則方程組存在唯一解X=A-1B。但如果A為奇異方陣或長方形矩陣，則A的逆矩陣就不存在，在這種情況下，需要研究A的廣義逆矩陣。

根據(jù)不同條件，可以定義A的不同類型廣義逆矩陣，本文根據(jù)C.R.Rao的著作給出以下定義[2]。

1.廣義逆矩陣定義

設(shè)矩陣A滿足

AA-A=A

(1)

定義A-為A的廣義逆矩陣。由定義可得出以下推論：①當(dāng)A為行滿秩矩陣時，則A-=AT(AAT)-1；②當(dāng)A為列滿秩矩陣時，則A-=(ATA)-1AT；③當(dāng)A為滿秩方陣時，則A-=A-1。其中AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣。

2.廣義逆矩陣唯一性定理

廣義逆矩陣A-若滿足以下4個條件

(2)

則式(2)中的A-存在唯一解。

證：假設(shè)式(2)有兩個解

(AXA)TYTY=(XA)TATYTY=

證畢。

三、平差數(shù)學(xué)模型

1.條件平差

(1) 求平差值

設(shè)條件方程為

(3)

假設(shè)V=A-W為式(3)的解，則得

AA-W=W

(4)

因A為行滿秩矩陣，依廣義逆矩陣的推論得

A-=AT(AAT)-1

(5)

將式(5)代入式(4)得AAT(AAT)-1=E。

由此得

V=A-W=AT(AAT)-1W

(6)

為條件方程式(3)的一個解。下面進(jìn)一步證明式(6)不但是式(3)的解，而且是唯一解。

證：將式(6)代入式(3)并將其系數(shù)矩陣A-代入式(2)的條件(Ⅰ)得

AA-A=AAT(AAT)-1A=A

代入條件(Ⅱ)得

A-AA-=AT(AAT)-1AAT(AAT)-1=A-

代入條件(Ⅲ)得

因此(AA-)T=AA-

代入條件(Ⅳ)得

又由于A-A=AT(AAT)-1A，得

(A-A)T=A-A

證畢。

(2) 求平差值及其函數(shù)的相關(guān)方差矩陣

① 求一組平差值的相關(guān)方差矩陣

設(shè)一組平差值為

(7)

式中，符號?表示該式應(yīng)用誤差傳播定律時保持相等關(guān)系。

顧及一組觀測值相互獨立且等精度得

(8)

② 求一組平差值線性函數(shù)的相關(guān)方差矩陣

設(shè)一組平差值線性函數(shù)為

式中，F(xiàn)為非對稱系數(shù)矩陣。其中，元素取決于一組線性函數(shù)表達(dá)式，F(xiàn)0為常量矩陣。由式(7)得

φ?FL-FAT(AAT)-1AL=[F-FAT(AAT)-1A]L

由相關(guān)方差矩陣同一性規(guī)律得φ的相關(guān)方差矩陣為

(9)

2.間接平差

(1) 求平差值

設(shè)觀測誤差方程為

(10)

式中，A、X分別為誤差方程的系數(shù)和未知數(shù)(待估參數(shù))矩陣。用分塊矩陣改寫式(10)得

(11)

BZ=L

(12)

可將式(11)或式(12)看成條件方程，因B行滿秩，所以

Z=B-L=BT(BBT)-1L

(13)

即

(14)

于是

(15)

式中，G-1=[AAT+E]-1。

將B-按式(2)的條件可證得B-的解唯一(證明略)。

(2) 求平差值及其函數(shù)的相差方差矩陣

① 求一組平差值的相關(guān)方差矩陣

由式(15)第二式得平差值X的相關(guān)方差矩陣為

DX=ATG-1DL[ATG-1]T

(16)

顧及觀測值li、lj相互獨立且等精度，則有

DX=ATG-1μ2EG-1A=μ2ATG-1G-1A

(17)

② 求一組平差值線性函數(shù)的相關(guān)方差矩陣

設(shè)一組平差值線性函數(shù)為

同理得

Dψ=μ2FATG-1G-1AFT

(18)

3.附條件式的間接平差

(1) 求平差值

設(shè)觀測誤差方程為式(11)，在t個未知數(shù)之間存在條件

式中，W=-(MX0+A0)，X0為未知數(shù)的近似值，A0為常量矩陣。組成附條件式的觀測誤差方程分塊矩陣形式為

(19)

B1Z1=L1

(19)1

式中，O為零矩陣。由廣義逆矩陣的定義推論以及唯一性定理得Z1的唯一解為

即

(20)

式中，N11、N12、N21、N22分別為逆矩陣解算后的4塊矩陣。其中，N11為其左上角的n階對稱矩陣。將它們代入式(20)得

(21)

(2) 求平差值及其函數(shù)的相關(guān)方差矩陣

由式(21)第一式得X?[ATN11+MTN21]L，顧及觀測值li和lj相互獨立、等精度得X相關(guān)方差矩陣為

DX=μ2[ATN11+MTN21][ATN11+MTN21]T

(22)

令H1=[ATN11+MTN21]，得

(23)

設(shè)一組平差值X的線性函數(shù)為

令H2=F[ATN11+MTN21]=FH1，同理得φ相關(guān)方差矩陣為

(24)

4.帶未知數(shù)的條件平差

(1) 求平差值

設(shè)帶未知數(shù)的條件方程為

(25)

B2Z2=W

因B2行滿秩，依廣義逆矩陣推論及唯一性定理得Z2的唯一解

即

(26)

(2) 求一組平差值及其函數(shù)的相關(guān)方差矩陣

① 求一組未知數(shù)的相關(guān)方差矩陣

由式(26)第一式得

(27)

② 求一組平差值L+V的相關(guān)方差矩陣

設(shè)一組平差值

(28)

③ 求一組平差值函數(shù)的相關(guān)方差矩陣

設(shè)平差值一組(t個)線性函數(shù)為

令H5=[F+FAT[NNT+AAT]-1A+FxNT[NNT+AAT]-1A]

則得平差值一組(t個)線性函數(shù)為

(29)

四、各平差模型方差μ2的估值公式

1.條件平差

由式(6)得

V=AT(AAT)-1W?-AT(AAT)-1AL

(30)

上式兩邊取數(shù)學(xué)期望得

(31)

(32)

于是

VTV=ΔTAT(AAT)-1AAT(AAT)-1AΔ=ΔTAT(AAT)-1AΔ

(33)

(34)

式(34)為條件平差觀測值方差μ2的估值公式，其詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[3]。

2.間接平差

(35)

將式(35)減式(15)第一式得

因此

(36)

假設(shè)

其對角線上元素分別為

令k1=(at)11+(at)22+…+(at)nn

則得

于是得

(37)

式(37)為間接平差觀測值方差估值的實用公式。其中，k1為G-1G-1對角線上元素之和。因G-1為對稱方陣，將k1展開后不難發(fā)現(xiàn)，其和即為G-1中每個元素平方之和。

3.附條件式的間接平差

由式(21)第二式得

V=-N11L+N12W?-N11L

(38)

兩邊取數(shù)學(xué)期望得

(39)

由式(39)減式(38)得

(40)

上式兩邊取數(shù)學(xué)期望值得

(41)

將其代入式(41)展開后，兩邊求數(shù)學(xué)期望值并顧及觀測值相互獨立、等精度得

令k2=(bt)11+(bt)22+…+(bt)nn，于是得

(42)

4.帶未知數(shù)的條件平差

由式(26)第二式得

(43)

兩邊取數(shù)學(xué)期望得

(44)

將式(43)減式(44)得

VTV=ΔTωωΔ

兩邊取數(shù)學(xué)期望值得

(45)

假設(shè)

代入式(45)展開后顧及觀測值相互獨立、等精度得

(46)

式(46)為帶未知數(shù)條件平差估值μ2的實用公式。其中k3為ωω矩陣對角線元素之和，其和等于ω各元素平方值之和。因為AT[MMT+AAT]-1在解算V值的過程中已知，將其左乘矩陣A即得ω。

式(34)、式(37)、式(42)和式(46)分別為條件平差、間接平差、附條件式間接平差以及帶未知數(shù)條件平差求解觀測值方差的實用公式。

五、結(jié)束語

縱觀全文，可看到一整套與最小二乘平差法推理過程完全不一樣的平差方法。這種區(qū)別源于兩者立論的基本思想不同。前者依據(jù)觀測誤差平方和最小的基本思想出發(fā)，運用微分學(xué)的基礎(chǔ)知識導(dǎo)出一套最小二乘平差法；后者根據(jù)廣義逆矩陣特性及其唯一性定理建立另一套平差法——廣義逆平差法。筆者曾用矩陣代數(shù)及其微分理論，按本文討論的4種平差模型演繹過最小二乘平差法全過程[5]，如果將其與本文作一比較，兩者的區(qū)別一目了然。在本文中，廣義逆矩陣貫穿在各個平差模型的求解過程中。特別要指出的是，所求的廣義逆矩陣不但唯一，而且可以通過一般的、眾所周知的矩陣求逆方法答解，這就是廣義逆平差法最主要的特點。

[1] 馮浩鑒.廣義逆平差理論及其應(yīng)用[J].測繪科學(xué)，2009,34(4)：5-8.

[2] RAO C R.Linear Statistical Inference and Its Application[M].[S.l.]： John Wileg and Sons Inc，1973.

[3] 馮浩鑒.相關(guān)平差概論[M].北京：測繪出版社，1982.

[4] 魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計算[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[5] 馮浩鑒.矩陣代數(shù)在最小二乘法中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報，1963(6)：31-36.

Explaining in Detail for Generalized Inverse Adjustment

FENG Haojian

馮浩鑒.廣義逆平差法詳解[J].測繪通報，2015(7)：27-31.

10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0204

2015-01-03

馮浩鑒(1936—)，男，研究員，長期從事大地測量、測量平差等方面的研究。E-mail：fangaip@casm.ac.cn

P22

：B

：0494-0911(2015)07-0027-05