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        命題處處陷阱解題步步為營
        ——導(dǎo)數(shù)問題求解中的“對而不全”揭秘

        2015-05-08 11:10:07江蘇省海安縣曲塘中學(xué)夏秀梅
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年9期
        關(guān)鍵詞:極值單調(diào)導(dǎo)數(shù)

        ☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)夏秀梅

        命題處處陷阱解題步步為營
        ——導(dǎo)數(shù)問題求解中的“對而不全”揭秘

        ☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)夏秀梅

        每次考試后總有一部分同學(xué)感覺良好,但成績并不理想,究其原因是問題解答中沒有注意到一些細(xì)節(jié),造成“對而不全”現(xiàn)象,致使整體成績不理想·高考試題中解答題要求嚴(yán)密的推理、詳細(xì)的解答,其分值設(shè)置是按步驟得分·本文以筆者所教授的班級中部分同學(xué)在解答導(dǎo)數(shù)問題中的“對而不全”問題為例進(jìn)行說明·

        一、忽視隱含條件——對而不全

        (1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

        (2)如果對于任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),求a的取值范圍·

        解析:(1)略·

        (2)先考查函數(shù)g(x)=-x2+2x-3,x∈R的圖像,配方得g(x)=-(x-1)2-2,所以函數(shù)g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)閷τ谌我鈞1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立,所以a≤1·

        以下考查函數(shù)h(x)=xlnx,x∈(0,+∞)的圖像,則h′(x)=lnx+1,令h′(x)=lnx+1=0,解得

        例1已知函·隨著x變化時,h(x)和h′(x)的變化情況如下表:

        x 0,1()1()1 e e e,+∞h′(x)-0 + h(x)↘↗

        若對于任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),則g(a)≤h(a),即-a2+2a-3≤alna,解題無法繼續(xù)……

        揭秘:本題解法受常規(guī)解題思維的影響,欲使函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào),則在分段點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系為-a2+2a-3≤alna,但此不等式不易求解·挖掘解題過程

        二、忽視構(gòu)造新函數(shù)——裹足不前

        導(dǎo)數(shù)問題一直是高考的壓軸題,解題中常需要構(gòu)造函數(shù),如何構(gòu)造既是難點(diǎn),也是熱點(diǎn),近年高考題中出現(xiàn)了很多需要構(gòu)造函數(shù)的題,還有一些是二元變量的最值問題,這更是讓學(xué)生感覺無從下手·值大于零?若存在,請求a的取值范圍;若不存在,請說明理由·

        例2

        (1)當(dāng)a≤0時,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故無極值·

        (2)當(dāng)a>0時,-ax2+x+1=0,Δ=1+4a>0且兩根之積為極值點(diǎn)是無理的,若直接代入函數(shù)f(x)中,不可能求出參數(shù)a的取值范圍,那么如何求參數(shù)的范圍呢?

        揭秘:可以通過消參,構(gòu)造函數(shù)求出極值點(diǎn)x2的具體范圍,從而求出a的取值范圍·

        因?yàn)閤1<0,x2>0,即求使f(x2)>0的a的取值范圍,過程如下:構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且g(1)=0,故g(x)=lnx+>0,得x>1,即x=2

        三、忽視對問題的探究——思維中斷

        四、忽視解題方法的優(yōu)化——避簡求繁

        揭秘:一般地在涉及二次函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)或最值的問題上,通常研究的方法都是利用其對稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系生成分類討論的標(biāo)準(zhǔn),然后再逐步依據(jù)題目的要求將問題予以解決,此種做法易想能做,但解題過程繁雜,能否找到有效回避分類討論的處理呢?

        解法2:考慮到h(0)=1>0,問題的對立面為方程(fx) =x在區(qū)間(-1,1)上無解,即函數(shù)h(x)=區(qū)間(-1,1)上無零點(diǎn),

        一個數(shù)學(xué)問題通常都具有兩面性,當(dāng)一方較為煩瑣的時候,往往其對立面一般就會稍顯簡單,解法2正是有效利用這一點(diǎn),使解題過程得到了簡化·

        總之,中等難度的題目是高考試題的主要構(gòu)成,是大部分考生得分的主要來源·對于中檔題,考生普遍存在的現(xiàn)象是“得分容易,得滿分難”,要解決“會而不對,對而不全”的問題,解題中要注意規(guī)范審題、規(guī)范書寫過程、深入挖掘隱含條件、深入反思·F

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