☉江蘇省啟東中學(xué)蔡罡

把握題目特征思路順利生成
——以三角函數(shù)問題為例說明

☉江蘇省啟東中學(xué)蔡罡

在數(shù)學(xué)教學(xué)中部分學(xué)生常存在“一聽就懂，一過就忘，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象·造成這種現(xiàn)象的一個(gè)主要原因是老師在講解題目時(shí)忽視對學(xué)生審題能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生在審題時(shí)快慢速度掌握不好，不能抓住題目的“題眼”·因此老師要講授的應(yīng)該是審題突破口的尋找，自己是怎么找的，這種想法和思維過程要暴露在學(xué)生面前，讓學(xué)生自己體會(huì)如何尋找“題眼”·本文以三角函數(shù)問題的求解中，解題思路的尋找為例，談幾點(diǎn)看法，供同學(xué)們參考·

一、準(zhǔn)確詮釋條件，探尋解題思路

問題的解答都是從審題入手的，條件的審視是否全面、準(zhǔn)確是題目能否順利求解的關(guān)鍵·考題中每一個(gè)字都不是多余的，審題中尤其要注意一些重要的關(guān)鍵字眼，如題目給了哪些條件，由這些條件可直接或間接得出哪些有用的信息·條件與所求結(jié)論有哪些關(guān)系？如何將條件與結(jié)論進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化即可以是將條件化為結(jié)論，也可以將結(jié)論化為條件等·

評析：思路的生成并不是憑空產(chǎn)生的，題目的求解是否順利，源于審題，題干中包含了解題所需要的全部信息，解題中如果發(fā)現(xiàn)某個(gè)條件沒有用到，或者感覺缺少條件，那就需要對問題進(jìn)行重新審視了·

二、深挖隱含條件，變不定為確定

由于近幾年教學(xué)大綱對三角函數(shù)的要求在難度上有所降低，從而這一類型的試題難度不會(huì)太大·但是由于三角函數(shù)的內(nèi)容繁雜，在三角解題中，公式較多且性質(zhì)靈活，隱含條件多，導(dǎo)致部分同學(xué)顧東不顧西，故解題時(shí)稍有不慎，常會(huì)出現(xiàn)漏解、增解、錯(cuò)解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠·因此，分析研究題目中隱含的條件就顯得很重要·

例2如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f（x）= cos2（ωx+φ）（ω，φ為常數(shù)）的圖像如圖1所示（圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，0）），那么ω的值為（）·

A．1B．2C．3D.4

圖1

圖2

思路生成：圖形是題目所給的重要信息之一，因此把握圖形的結(jié)構(gòu)特征是問題突破的關(guān)鍵·如圖2，易知

又f（x）=cos2（ωx+φ）=

評析：高考解答題中根據(jù)圖像求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是能根據(jù)題目中信息準(zhǔn)確獲得周期、振幅及初相這三個(gè)要素·比如兩個(gè)相鄰的對稱軸之間的距離就是半個(gè)周期·又如某三角函數(shù)圖像至少平移m（m＞0）個(gè)單位后與原圖像重合，也就意味著函數(shù)的最小正周期為T=m，準(zhǔn)確識圖，巧妙用圖是本題求解的關(guān)鍵·

三、將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化生為熟

數(shù)學(xué)問題求解的過程其實(shí)就是轉(zhuǎn)化的過程，即將復(fù)雜的問題簡單化，陌生問題熟悉化等，利用我們所熟悉的問題來求解陌生的問題，是常用的解題思維之一·例3已知函數(shù)（fx）=sin，任取t∈R，定義集合：At=｛y|y=（fx），點(diǎn)P（t，（ft）），Q（x，（fx））滿足|PQ|≤｝·設(shè)Mt，mt分別表示集合At中元素的最大值和最小值，記· h（t）=Mt-mt，則（1）函數(shù)h（t）的最大值是_______；（2）函數(shù)h（t）的單調(diào)遞增區(qū)間為_______·

解析：At=｛y|y=f（x）｝，點(diǎn)P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)f（x）=

圖3

坐標(biāo)的集合，如圖3所示·

因?yàn)閒（-2）=f（0）=0，f（1）= 1，（f-1）=-1，設(shè)A高點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)·

所以函數(shù)h（t）的最大值是2（t=4k或t=4k+2時(shí)取得）·

單調(diào)增區(qū)間為（2k-1，2k），k∈Z·

評析：化歸轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，化歸轉(zhuǎn)化思想解題的途徑是靈活多變的，通過化歸轉(zhuǎn)化，達(dá)到由陌生到熟悉、復(fù)雜到簡單、困難到容易的轉(zhuǎn)化·對于本題的解答，有效地將條件At=｛y|y=f（x），點(diǎn)P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤｝進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化為“以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)f（x）=圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的集合”是問題求解的關(guān)鍵，并利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值可求得Mt，mt，從而求得函數(shù)h（t）=Mt-mt的最大值·

四、注重解題反思，有效避錯(cuò)

有些問題，就思路而言，并沒有錯(cuò)，但學(xué)生的認(rèn)知能力有差距，教師要基于學(xué)生的認(rèn)知水平，找到適合學(xué)生思維能力的認(rèn)知途徑·正如美國認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾所言，當(dāng)學(xué)生把教學(xué)內(nèi)容與自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來時(shí)，意義學(xué)習(xí)便產(chǎn)生了·學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)是新舊知識相互作用并建立聯(lián)系的過程，教師的教學(xué)最基本的工作就是使新知識與學(xué)生頭腦中的知識、經(jīng)驗(yàn)、方法建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系·

反思：本題的求解學(xué)生易想到：利用sin2α+cos2α=1與已知條件組成方程組，求出sinα，cosα，從而求出tanα·

這種方法最易想到，理論上都能解出，但對有些系數(shù)復(fù)雜的方程組解起來有一定的難度·本題把方程組化為一元二次方程后，出現(xiàn)了無理系數(shù)，就不知如何解了·能不能避免這種復(fù)雜計(jì)算呢？

評析：在課堂上，教師要鼓勵(lì)學(xué)生把自己的思維過程用語言表達(dá)出來，進(jìn)而判斷這種方法是否可行，是不是順暢，同時(shí)與其他解法比較，哪種更易想到，更簡捷，哪種方法更具有通性·通過語言表達(dá)充分反應(yīng)出解題過程中是否有“跳步”“漏步”現(xiàn)象，從而增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性·

課堂是教師培養(yǎng)學(xué)生的主要陣地·學(xué)生在課堂上要有所得，主要的不是教師直接告知，而是通過學(xué)生自己的主動(dòng)參與，自主探索，教師引導(dǎo)解題思路的產(chǎn)生，從而達(dá)到對知識的掌握，思想方法的領(lǐng)悟·在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是知道什么，而是我們是怎么知道的，而這個(gè)怎么知道的過程正是課堂中最重要的東西——生成·F